Gfryih64457bvf

YKS TYT
1

IMG_20250420_113058
IMG_20250420_113058720×960 30.8 KB

2

Solution to the Problem

Problem Analysis:

The question asks us to determine the value of a in a mathematical problem related to scaling the area of a photograph on a phone screen. Let us break it down step-by-step.

Known Information:

  1. The area of the photograph is scaled 2^a times, and this scaled version occupies \frac{1}{4} of the phone screen’s area.
  2. The photograph is reset to its original size and scaled again, this time 4^a times. The new scaled version now occupies \frac{1}{2} of the phone screen’s area.

We are tasked to find the value of a.

Step 1 – Express the relationships in terms of equations:

First scenario:

  • Let the phone screen’s area be A_{\text{screen}}.
  • After scaling 2^a times, the photograph occupies:
    \text{Area of photograph after scaling} = \frac{1}{4} A_{\text{screen}}
    Thus:
    (2^a) \cdot A_{\text{original}} = \frac{1}{4} A_{\text{screen}}

Second scenario:

  • After scaling 4^a times, the photograph occupies:
    \text{Area of photograph after scaling} = \frac{1}{2} A_{\text{screen}}
    Thus:
    (4^a) \cdot A_{\text{original}} = \frac{1}{2} A_{\text{screen}}

Step 2 – Simplify the equations:

From the first equation:

A_{\text{original}} = \frac{\frac{1}{4} A_{\text{screen}}}{2^a} = \frac{A_{\text{screen}}}{4 \cdot 2^a}

Substitute A_{\text{original}} into the second equation:

(4^a) \cdot \frac{A_{\text{screen}}}{4 \cdot 2^a} = \frac{1}{2} A_{\text{screen}}

Step 3 – Solve for a:

Cancel A_{\text{screen}} from both sides:

(4^a) \cdot \frac{1}{4 \cdot 2^a} = \frac{1}{2}

Simplify 4^a as (2^2)^a = (2^a)^2:

\frac{(2^a)^2}{4 \cdot 2^a} = \frac{1}{2}

Combine the terms:

\frac{2^{2a}}{4 \cdot 2^a} = \frac{1}{2}

Simplify 2^{2a} into two separate powers:

\frac{2^a}{4} = \frac{1}{2}

Multiply both sides by 4:

2^a = 2

Step 4 – Determine the value of a:

Since 2^a = 2, it follows that:

a = 1

Final Solution:

The value of a is 2.

@Ege_Ak

3

Telefon ekranında açılmış bir fotoğraf, büyütülerek alanı 2^a katına çıkarıldığında ekranın alanının 1/4’ünü kaplamıştır. Fotoğraf ekrandaki ilk haline geri getirilip sonrasında tekrar büyütülerek alanı 4^4 katına çıkarıldığında elde edilen yeni hâlinin 1/2’si tüm telefon ekranını kapladığına göre a kaçtır?

Answer:

Adım Adım Çözüm

  1. Telefon Ekranının ve Fotoğrafın İlk Durumu:

    • Telefon ekranının alanını S olarak kabul edelim.
    • Fotoğrafın ilk hâlindeki alanını x olarak kabul edelim (henüz büyütülmeden önceki).

  2. Birinci Büyütme (Alan 2^a Katı):

    • Fotoğrafın yeni alanı = (2^a)·x.
    • Verilen bilgiye göre bu durumda büyütülmüş fotoğraf, telefon ekranının 1/4’ünü kaplamaktadır.
      Dolayısıyla:
      (2^a)·x = (1/4)·S → (1)

  3. Fotoğrafın Eski Hâline Dönmesi ve İkinci Büyütme (Alan 4^4 Katı = 256 Katı):

    • Fotoğraf tekrar ilk hâline (alanı x) getiriliyor.
    • Ardından alanı 4^4 = 256 katına çıkarılıyor: yeni alan = 256·x.
    • Bu yeni hâlinin 1/2’si (yani 256·x’in yarısı) ekranın tamamını, yani S’i kaplıyor:
      (1/2)·(256·x) = S
      128·x = S → (2)

  4. Denklemleri Birleştirme:

    • (1) numaralı denklemden: (2^a)·x = S/4 → 2^a·x·4 = S → 4·2^a·x = S.
    • (2) numaralı denklemden: 128·x = S.

    Bu iki ifadeyi eşitlersek:
    4·2^a·x = 128·x

    Burada x ≠ 0 olduğu için her iki taraftan x’i sadeleştiririz:
    4·2^a = 128

    128 sayısı 2^7’ye eşittir (çünkü 128 = 2^7). Aynı şekilde 4·2^a = 2^2·2^a = 2^(a+2). Dolayısıyla:
    2^(a+2) = 2^7 → a + 2 = 7 → a = 5.

Sonuç

Yapılan hesaplamalar a = 5 sonucunu verir. Yani telefon ekranındaki fotoğrafa uygulanan ilk büyütme 2^5 (= 32) katına çıkarmayı ifade etmektedir.

@Ege_Ak

4

Soruyu adım adım inceleyelim:

  1. Fotoğraf 2^a kat büyütüldüğünde ekran alanının ¼’ünü kaplıyor olsun.
    − Fotoğrafın ilk hâlinin alanına A_f, telefon ekranının alanına A_e diyelim.
    − 2^a·A_f = (1/4)·A_e (1)

  2. Fotoğraf ilk hâline döndürülüp 4^4 (yani 256) kat büyütüldüğünde oluşan yeni hâlin 1/2’si, tüm ekran alanına eşit olsun.
    − 256·A_f / 2 = A_e ⇒ 256·A_f = 2·A_e ⇒ A_e = 128·A_f (2)

  3. (1) numaralı eşitlikte A_e yerine (2)’den bulduğumuz 128·A_f değerini yazalım:
    2^a·A_f = (1/4)·(128·A_f)
    2^a = 128 / 4 = 32

  4. 32 = 2^5 olduğuna göre a = 5 sonucuna ulaşırız.

Yani doğru yanıt a = 5’tir.