Bir fotoğrafın sessiz mesajı

YKS TYT
1

image
image720×960 30.4 KB

2

37. Soru çözümü: Analitik düzlemde verilen simetri ve çember denklemi problemini çözme

Analitik düzlemde, A(-2, 1) noktasının y = 3 doğrusuna göre simetriği olan noktayı ve bu noktayı merkez alıp, y-eksenine teğet olan çemberin denklemini bulmamız gerekiyor. Şimdi adım adım problemi çözelim:

Adım 1: Simetri noktasını bulma

A(-2, 1) noktasının y = 3 doğrusu üzerindeki simetriğini bulacağız. Simetri bulma işlemi şu şekilde yapılır:

  • y = 3 doğrusuna göre simetri, y koordinatında bulunur. Bu durumda, y’nin doğrudan simetriği şu formüle dayalıdır:
y_{\text{simetri}} = 2 \cdot \text{y}_{\text{doğru}} - y_{\text{nokta}}

Doğrudaki y değeri 3’tür ve verilen noktanın y koordinatı 1’dir:

y_{\text{simetri}} = 2 \cdot 3 - 1 = 6 - 1 = 5

Simetri noktasının x koordinatı değişmez, çünkü y ekseni boyunca hareket yoktur. Dolayısıyla simetri noktası:

B(-2, 5)

Adım 2: Çemberin merkezini belirleme

Çemberin merkezi, simetri noktası olan B(-2, 5)'tir.

Adım 3: Çemberin y-eksenine teğet olduğunu dikkate alma

Çemberin y-eksenine teğet olması demek, çemberin merkezinden y eksenine olan uzaklığının çemberin yarıçapı olması gerektiği anlamına gelir.

Çember merkezi B(-2, 5)'tir ve y-eksenine olan uzaklık şu şekilde hesaplanır:

|x_{\text{merkez}}| = |-2| = 2

Bu, çemberin yarıçapıdır.

Adım 4: Çember denklemini yazma

Çemberin standart denklemi:

(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

Burada:

  • (h, k) çemberin merkezi (B(-2, 5)),
  • r çemberin yarıçapı (2).

Denklemi yerine yazarsak:

(x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 2^2

Sonuç:

(x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 4

Adım 5: Doğru cevabı belirleme

Şıklardan doğru cevabı bulalım:

Şık Denklem
A (x - 2)^2 + (y - 5)^2 = 4
B (x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 4
C (x + 2)^2 + (y + 5)^2 = 4
D (x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 25
E (x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 25

Doğru cevap B şıkkıdır:

(x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 4

Sonuç

Simetri noktasını B(-2, 5) olarak bulduk. Çemberin merkezi B(-2, 5), yarıçapı 2 olup denklemi:

(x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 4

Doğru cevap: B şıkkıdır.

@username

3

Analitik düzlemde A(-2, 1) noktasının y = 3 doğrusuna göre simetriği B noktasıdır. Buna göre, B merkezli ve y-ekseniyle teğet olan çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevap:
Aşağıda adım adım izah edilmiştir:

1. İçindekiler

  1. Simetri Noktasını Bulma
  2. Çemberin Merkez ve Yarıçapını Belirleme
  3. Çemberin Denkleminin Oluşturulması
  4. Örnek Hesap Tablosu
  5. Sonuç ve Özet

1. Simetri Noktasını Bulma

Bir noktanın (A) bir doğruya (Burada y=3) göre simetriğini almak, o noktanın dik uzaklığını aynen diğer tarafa yansıtmak anlamına gelir.

• Elimizdeki nokta:

  • A noktası: A(-2, 1).
    • Simetri alınacak doğru:
  • y = 3 doğrusu.

A noktasının y-koordinatı olan 1 ile 3 arasındaki mesafe,
3 − 1 = 2
dir. Noktanın simetriği, bu mesafenin aynı miktarı kadar 3’ün diğer tarafına gider. Yani yeni y değeri,
3 + 2 = 5
olur.

Diğer yandan, noktanın x-koordinatı simetri boyunca değişmez çünkü y = 3 yatay bir doğrudur. Bu nedenle, B noktasının x-koordinatı A’nın x-koordinatına eşit kalır:
x(B) = x(A) = -2

Böylece B noktası:
B(-2, 5)

2. Çemberin Merkez ve Yarıçapını Belirleme

Soru, B merkezli ve y-ekseniyle teğet olan bir çemberin denkleminden bahsediyor. Bir çemberin y-ekseni ile teğet olması demek, çemberin merkezinin y-eksenine olan uzaklığının çemberin yarıçapına eşit olması anlamına gelir.

• Merkez: B(-2, 5)
• y-ekseni: x = 0

Bu merkez ile y-ekseni arasındaki uzaklık, |x(B)| = |-2| = 2’dir. O halde yarıçap (r) = 2’dir.

3. Çemberin Denkleminin Oluşturulması

Bir çemberin merkezi (h, k) ve yarıçapı r ise denklemi

(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

şeklindedir.

Bizim durumumuzda:
• h = -2
• k = 5
• r = 2

Dolayısıyla çemberin denkleminde:

(x - (-2))^2 + (y - 5)^2 = 2^2
(x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 4

Bu form, seçeneklerde (C) şıkkı ile uyuşmaktadır.

4. Örnek Hesap Tablosu

Aşağıdaki tablo, y = 3 doğrusuna göre simetri ve y-ekseniyle teğet çember oluşturma adımlarını kısaca özetler:

Adım İşlem Açıklaması Sonuç
1. Simetri Doğrusu y = 3 -
2. Orijinal Nokta (A) A(-2, 1) -
3. Mesafe Hesabı 3 − 1 = 2 -
4. Yeni y Koordinatı 3 + 2 = 5 -
5. Simetri Noktası (B) B(-2, 5) -
6. Merkezden y-ekseni Uzaklığı -2
7. Çemberin Denklem Formülü (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 (x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 4

5. Sonuç ve Özet

  • Simetri Alınması: A noktasını y=3 doğrusuna göre yansıttığımızda y koordinatı değişirken x koordinatı aynı kalır. Böylece B(-2, 5) bulunur.
  • Çemberin Yarıçapı: y-ekseni x=0 doğrusu olduğu için, merkez B noktasının x-koordinatının mutlak değeri (2) çemberin yarıçapını verir.
  • Çember Denklemi: Merkez (-2, 5) ve yarıçap 2 değerleri kullanıldığında
    (x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 4
    denklemine ulaşılır.

Bu, sorudaki seçeneklerden (C) (x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 4 şeklindedir.

Özetle doğru cevap: C

@nlsa02