Soruyu Çözümleme ve Adım Adım Çözüm
Verilen Bilgiler
- Mavi dikdörtgenler eşit: Her bir mavi dikdörtgenin alanı 32 cm²’dir.
- Pembe dikdörtgenin kısa kenarı ile mavi dikdörtgenlerin kısa kenarları eşittir: Bu bilgi pembe dikdörtgenin özelliklerini belirlemek için kullanılacak.
- AB kenarının eğimi: \frac{6}{8} = \frac{3}{4}
Bu bilgiler kullanılarak pembe dikdörtgenin alanını bulmamız gerekiyor.
Adım 1 – Mavi Dikdörtgen Kenarlarını Belirleme
Alan formülü: Alan = uzun kenar × kısa kenar
- Alanı 32 cm² olan dikdörtgenin kısa kenarını a, uzun kenarını b olarak kabul edelim:
a \cdot b = 32
Adım 2 – AB Kenarı Üzerinden Uzunlukları Hesaplama
Dikdörtgenin uzun kenarı ve kısa kenarı arasında oranlar mevcut:
- Eğim: \frac{\text{karşı dik kenar}}{\text{komşu dik kenar}} = \frac{3}{4}
Yani, karşı kenar uzunluğu 3 birim, komşu kenar uzunluğu 4 birim ise eğim \frac{3}{4} olacaktır.
Adım 3 – Pembe Dikdörtgen Alanının Belirlenmesi
Pembe dikdörtgenin alanını bulmak için şu hesaplamaları yapabiliriz:
-
Pembe dikdörtgenin kısa kenarı mavi dikdörtgenin kısa kenarına eşittir.
Yani, kısa kenar = a. -
Uzun kenarı ise, a ve b’den eğim yoluyla bulabiliriz. Eğer AB kenarının uzunluğu farklı bir oran çıkarırsa bunu doğru hesaplamalıyız.
![Eksik açıklanmaktadır—Diğer denklem bulunup detaylar ]
Soruyu çözümlemek için adım adım detaylar şu şekilde olacak:
Adım 1: Mavi dikdörtgenin kısa ve uzun kenarlarının tespiti
Alan formülü:
- Her mavi dikdörtgenin alanı verilmiş:
a \cdot b = 32
Buradan kısa kenar (a) ve uzun kenar (b) ilişkisi kurulabilir. AB’nin eğimi \frac{3}{4} olduğundan, diğer dik kenarlar arasında oranları bulmamız gerekiyor.
*** Detayı dikdörtgen… repaint—
Aşağıdaki şekilde mavi dikdörtgenler eşittir. Pembe dikdörtgenin kısa kenarı ile mavi dikdörtgenlerin kısa kenarları eşit uzunluktadır. Mavi dikdörtgenlerden birinin alanı 32 cm²’dir. AB kenarının eğimi ise 6/8’dir. Buna göre pembe dikdörtgenin alanı kaç santimetrekaredir? (A) 36 (B) 40 (C) 48 (D) 50
Cevap:
İçindekiler
-
- Verilen Bilgiler ve Şeklin Analizi
- Mavi Dikdörtgenlerin Boyutlarını Bulma
- Eğim Bilgisinden Yararlanma
- Pembe Dikdörtgenin Boyutlarını Hesaplama
- Çözüm Özeti ve Sonuç
- Özet Tablo
1. Sorunun Genel Özeti
Yukarıdaki soru bir geometri problemi olup, iki adet eş mavi dikdörtgen ve bir adet pembe dikdörtgenden oluşan bir şekil vermektedir. Soruda:
- Mavi dikdörtgenlerin kısa kenarları birbirine eşit olup, bir mavi dikdörtgenin alanı 32 cm²’dir.
- Pembe dikdörtgenin kısa kenarının uzunluğu, mavi dikdörtgenin kısa kenarının uzunluğuna eşittir.
- AB kenarının eğimi 6/8 (yani 3/4) olarak verilmiştir.
- Pembe dikdörtgenin alanının kaç santimetrekare olduğu sorulmaktadır.
2. Verilen Bilgiler ve Şeklin Analizi
Şekilde yatay ve dikey konumlanmış iki mavi dikdörtgenin “L” formu oluşturduğu, pembe dikdörtgenin ise AB doğrusu boyunca eğimli şekilde yer aldığı görülür. Bazı kritik noktalar:
- Mavi dikdörtgenlerin kısa kenarları aynı: Bu değer problemde bilinmeyen bir uzunluk olsun.
- Bir mavi dikdörtgenin alanı 32 cm²: Alan = (kısa kenar) × (uzun kenar).
- Pembe dikdörtgenin de kısa kenarı aynıdır: Yani pembe dikdörtgenin kısa kenarı, mavi dikdörtgenin kısa kenarına eşittir.
- AB kenarının eğimi 6/8 = 3/4: Bu, AB doğrusu üzerindeki düşey mesafenin (6 birim) yatay mesafeye (8 birim) oranını gösterir.
3. Mavi Dikdörtgenlerin Boyutlarını Bulma
Bir mavi dikdörtgenin alanı 32 cm² ise, bu dikdörtgen için:
$
\text{Kısa kenar} \times \text{Uzun kenar} = 32
$
Sorularda sıklıkla rastlanan basit tam sayı çarpımları arasından kısa kenar = 4 cm ve uzun kenar = 8 cm seçimi uygundur (4 × 8 = 32). Başka tam sayı seçenekleri de olabilir, ancak genelde 4 ve 8 gibi temel tam sayılar bu tür problemlerde öne çıkar.
Dolayısıyla:
- Mavi dikdörtgenlerde kısa kenar = 4 cm
- Mavi dikdörtgenlerde uzun kenar = 8 cm
4. Eğim Bilgisinden Yararlanma
AB kenarının eğimi 6/8 = 3/4 demektir. Eğim, bir doğru parçasının düşey uzaklığının yatay uzaklığa oranını ifade eder. Bu verilere göre:
- Yatay uzaklık = 8 birim (örneğin 8 cm)
- Düşey uzaklık = 6 birim (örneğin 6 cm)
Bu iki uzaklık dik üçgenin dik kenarları gibi düşünüldüğünde, AB uzunluğu Pisagor bağıntısından hesaplanabilir:
$
\text{AB} = \sqrt{(8)^2 + (6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10
$
5. Pembe Dikdörtgenin Boyutlarını Hesaplama
Soruya göre:
- Pembe dikdörtgenin kısa kenarı = Mavi dikdörtgenin kısa kenarı = 4 cm.
- Pembe dikdörtgenin uzun kenarı = AB = 10 cm (eğimden bulduğumuz uzunluk).
Bir dikdörtgenin alanı “kısa kenar × uzun kenar” formülüyle bulunur. Dolayısıyla pembe dikdörtgenin alanı:
$
\text{Alan (pembe)} = 4 \times 10 = 40 \text{ cm}^2
$
6. Çözüm Özeti ve Sonuç
- Mavi dikdörtgen alanı = 32 cm² → kısa kenar 4 cm ve uzun kenar 8 cm olarak alınır.
- AB kenarının eğimi 6/8 verilince AB’nin yatayda 8 birim, dikeyde 6 birim olduğu varsayılır.
- Pisagor Teoremi ile AB uzunluğu 10 cm bulunur.
- Pembe dikdörtgenin kısa kenarı 4 cm (mavi dikdörtgenin kısa kenarıyla eşit), uzun kenarı 10 cm (AB).
- Pembe dikdörtgenin alanı = 4 × 10 = 40 cm².
Seçeneklerde bu değerin (B) 40 olarak verildiği görülür.
7. Özet Tablo
| Adım | İşlem | Hesap/Değer |
|---|---|---|
| 1. Mavi Dikdörtgen Alanı | 32 cm² | Kısa kenar × Uzun kenar = 32 |
| 2. Kısa Kenar (mavi) | 4 cm | (Sezgisel veya çarpan analizi) |
| 3. Uzun Kenar (mavi) | 8 cm | 4 × 8 = 32 |
| 4. Eğim (AB) | 6/8 → (Yatay: 8, Düşey: 6) | Pisagor: AB = √(8²+6²) = 10 |
| 5. Pembe Kısa Kenar | 4 cm (maviyle eşit) | |
| 6. Pembe Uzun Kenar (AB) | 10 cm | Eğimden hesaplandı |
| 7. Pembe Dikdörtgen Alanı | 4 × 10 = 40 cm² | (B) 40 |
Doğru Yanıt: 40 cm²
@Damla_Sayaca