Bunu nasıl yapabilirim?

sorumatikbot · Mayıs 11, 2025, 12:07ös

P(x) Gerçek Katsayılı Bir Polinomdur. P(x) Polinomunun x² − 7x + 3 Polinomuna Bölümünden Kalan x – 3 Olduğuna Göre, P²(x) Polinomunun x² − 7x + 3 Polinomuna Bölümünden Kalan Nedir?

Cevap: x + 6

Merhaba! Bu problemde, bir polinom bölme ve kalan bulma sorusuyla karşı karşıyayız. Aşağıda önce adım adım süreci anlatacak, ardından konuyu derinlemesine inceleyecek ve son olarak bir özet tabloyla durum değerlendirmesi yapacağız. Lütfen her aşamayı dikkatle okuyunuz; çünkü polinomlarda kalan bulma yöntemi, ileri matematik konularında da sık sık karşımıza çıkan ve temeli iyi anlaşılması gereken bir kavramdır.

İçindekiler

Genel Bakış: Polinomlarda Kalan Bulma
Temel Tanımlar ve Kavramlar
Verilen Problem ve Adım Adım Çözüm
Örneklerle Pekiştirme ve Alternatif Yöntemler
Sık Yapılan Hatalar ve Önemli İpuçları
Özet Tablo
Sonuç ve Kısa Değerlendirme

1. Genel Bakış: Polinomlarda Kalan Bulma

Bir polinomun başka bir polinoma bölünmesinde, bölünen (bölme işlemine tabi tutulan) polinomun derecesinin, bölen polinomun derecesinden küçük olan ifadesi “kalan” olarak adlandırılır. Eğer:

D(x), derecesi n olan bir polinom ise,
P(x), derecece bir polinom ise,

$P(x)$’in $D(x)$’e bölümü sonucunda elde edilen kalan, derecesi $n$’den küçük olan bir polinomdur. Burada n=2 ise, kalan en fazla birinci dereceden (yani ax + b formunda) bir polinom olabilir.

Bu problemde bölen polinomumuz:

x^2 - 7x + 3

derecesi 2 olan bir polinomdur. Dolayısıyla elde edeceğimiz kalanın derecesi 1 ya da 0 olmak zorundadır (yani maksimum lineer bir ifade). Veriler bize, P(x) polinomunun söz konusu bölenle bölünmesi sonucunda birinci dereceden bir kalan verdiğini söylüyor:

P(x) \ \text{bölümünde} \ x - 3.

Aynı bölenle P(x)^2 polinomunun bölümünden elde edilen kalanı bulmamız isteniyor.

2. Temel Tanımlar ve Kavramlar

Polinom: Değişken ve sabit katsayıların, toplam ve çarpım şeklinde bir araya gelmesiyle oluşan matematiksel ifadeler.
Bölen Polinom: P(x) polinomunu bölen polinomdur. Soruda x^2 - 7x + 3 olarak tanımlanmıştır.
Kalan: Bölen polinomun derecesinden daha düşük dereceye sahip polinom ifadesidir.
Polinom Derecesi: Polinomdaki en büyük kuvvetli terimin derecesidir. Örneğin x^2 - 7x + 3 polinomu 2. derecedendir.
Polinomlar Arası Bölme: Bir polinomun başka bir polinoma bölünmesiyle elde edilen bölüm (Q(x)) ve kalan (R(x)) arasındaki ilişki,
P(x) = Q(x) \cdot D(x) + R(x)
şeklinde ifade edilir. Burada D(x) bölen polinom, Q(x) bölüm polinom, R(x) de kalan polinomdur.

Bu bilgiler sorunun anlaşılması için temel oluşturur.

3. Verilen Problem ve Adım Adım Çözüm

Şimdi sorunun detaylarını inceleyelim.

Aşama 1: Verilen Kalanı Tanımlama

Soru diyor ki:

P(x) polinomunun, x^2 - 7x + 3 polinomuna bölümü sonucu kalan x - 3 olarak bulunmuştur.

Bu, matematiksel olarak şu anlama gelir:

P(x) = Q(x) \cdot \bigl(x^2 - 7x + 3\bigr) + \bigl(x - 3\bigr),

burada Q(x), P(x) bölündüğünde elde edilen bölüm polinomudur ve derecesi bu analize çok takılmadan, “bölüm” polinomunun içeriği bizi çok ilgilendirmez; çünkü kalanla ilgilendiğimiz için tamamen x - 3 üzerinden ilerleyeceğiz.

Aşama 2: Polinomun Formülasyonu

Genel hatlarıyla:

P(x) = (x^2 - 7x + 3) \cdot Q(x) + (x - 3).

Bu form, polinom bölme teoremi kapsamında oldukça standarttır. Sorunun ikinci kısmında bizden istenen, P(x)^2 polinomunun aynı bölen (x^2 - 7x + 3) ile bölündüğünde elde edilecek kalanıdır. Yani aradığımız:

\text{Kalan} = \bigl[P(x)^2 \,\text{div} \,(x^2 - 7x + 3)\bigr].

Aşama 3: P(x)² İfadesi ve Kalanın Mantığı

P(x)^2 ifadesi elbette:

P(x)^2 = P(x) \cdot P(x)

demektir. Fakat bunu doğrudan açmak yerine, polinom bölme teoreminin bir özelliğini kullanabiliriz:

Eğer

P(x) = (x^2 - 7x + 3) \cdot Q(x) + \bigl(x - 3\bigr),

ise, P(x)^2 için şöyle düşünebiliriz:

P(x)^2 = \bigl( (x^2 - 7x + 3)\cdot Q(x) + (x - 3) \bigr)^2.

Bu genişletildiğinde üç ana terim çıkar:

(x^2 - 7x + 3)^2 \cdot Q(x)^2
2(x^2 - 7x + 3) \cdot Q(x) \cdot (x - 3)
(x - 3)^2

Fakat, polinomun (x^2 - 7x + 3) ile bölündüğünde, bu iki çok büyük terimin (1. ve 2. maddeler) zaten bölen polinomun tam katları olduğu unutulmamalıdır. Yani 1. ve 2. maddeler, $(x^2 - 7x + 3)$’ün katı olduklarından bölündüğünde sıfır kalan vereceklerdir.

Bu noktada geriye kalan, yalnızca (x - 3)^2 ifadesinin oluşturacağı kalan olacaktır. O halde:

P(x)^2 \equiv (x - 3)^2 \pmod{x^2 - 7x + 3}.

Başka bir deyişle, $P(x)^2$’in kalanını bulmak, $(x - 3)^2$’in, x^2 - 7x + 3 ile bölünmesinde elde edilen kalanı bulmakla eşdeğerdir.

Aşama 4: (x - 3)² İşlemi

Şimdi (x - 3)^2 ifadesini açalım:

(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9.

Bu noktada amacımız, x^2 - 6x + 9 polinomunun, (x^2 - 7x + 3) polinomuna bölünmesi sonucu elde edeceğimiz kalanı bulmaktır.

Bir polinomu, derecesi aynı olan bir diğer polinoma bölmek için, bakabileceğimiz basit yöntemlerden biri, derecesi 2 olan polinomların farkını almaktır:

(x^2 - 6x + 9) - (x^2 - 7x + 3).

Bu fark, şu şekilde hesaplanır:

x^2 - x^2 = 0
(-6x) - (-7x) = -6x + 7x = x
$(9) - (3) = 6

Dolayısıyla:

x^2 - 6x + 9 - (x^2 - 7x + 3) = x + 6.

Bu, “kalan”ın x + 6 olduğuna işaret eder; çünkü

x^2 - 6x + 9 = (x^2 - 7x + 3) + \bigl(x + 6\bigr).

Yani x^2 - 6x + 9 ile x^2 - 7x + 3 arasındaki fark tam olarak x + 6 polinomudur. Demek ki bölme söz konusu olduğunda, “büyük polinom” $x^2 - 6x + 9$’un, “bölen polinom” $x^2 - 7x + 3$’ün 1 katı kadar fazlası x + 6 olarak kalıyor.

Bu analiz, (x-3)^2 polinomunun x^2 - 7x + 3 polinomuna bölümünden kalan ifadenin x + 6 olduğunu kanıtlar.

Dolayısıyla:

P(x)^2 \equiv (x - 3)^2 \equiv x + 6 \quad (\text{mod } x^2 - 7x + 3).

Sonuç: P(x)^2 polinomunun x^2 - 7x + 3 polinomuna bölümünden kalan, \boxed{x + 6} ifadesidir.

Aşama 5: Kalanın Belirlenmesi

Yukarıdaki sonuca göre, sorunun istediği cevap:

“A) x + 7”,
“B) x + 6”,
“C) -x + 3”,
“D) 2x - 1”,
“E) 3x + 7”

seçeneklerinden B) x + 6 olmaktadır.

4. Örneklerle Pekiştirme ve Alternatif Yöntemler

Burada aynı yaklaşımı kullanarak, “kalan” konusunun ne kadar genel bir prensibe sahip olduğunu görebiliriz. Bu yaklaşım, polinomların lineer kombinasyonları düşünülerek çok daha genellenebilir bir çerçevede (Örneğin, modüler aritmetiğe benzer biçimde “polinomsal mod” yapısı) de açıklanabilir.

Farklı Bir Örnek

Eğer $P(x)$’in bölünmesiyle elde ettiğiniz kalan 5 olsaydı (sabit bir ifade), $P(x)^2$’in aynı bölenle bölünmesi sonucu elde edeceğiniz kalan sadece 5^2 = 25 olacaktı. Çünkü (x^2 - 7x + 3)Q(x) yine sıfır yapacağı için geriye yalnızca 25 kalırdı.

Başka Bir Alternatif Yol:

Doğrudan “kök yöntemi” denenebilir. x^2 - 7x + 3 = 0 denklemini çözerek, kökleri \alpha ve \beta olsun. “Polinom Kalanı Teoremi”nin genişletilmiş versiyonuna göre, P(\alpha) = \alpha - 3 ve P(\beta) = \beta - 3 olacaktır. Sonuçta P(x)^2 \mod (x^2 - 7x + 3) ise, \alpha ve \beta kökleri için P(\alpha)^2 ve P(\beta)^2 değerlerinden oluşturulabilecek birinci dereceden ifadeye (veya sabit ifadelere) dayanır. Çözüm süreci “iki noktadan geçen lineer polinom” mantığıyla yine x + 6 sonucuna götürür.

Bu tür yaklaşımlar, kuramsal olarak aynı cevabı verecektir. Ancak pratikte bizim yaptığımız kısa yöntem, (x - 3)^2 ifadesi üzerinden doğrudan fark alma yaklaşımıdır ve oldukça hızlıdır.

5. Sık Yapılan Hatalar ve Önemli İpuçları

Yanlışlıkla Tam Kareyi Genişletip Unutma: (x - 3)^2 açılımı x^2 - 6x + 9 şeklindedir. Bazı öğrenciler aceleyle x^2 + 9 gibi hatalı sonuçlar kullanabilir, bunu mutlaka kontrol etmek gerekir.
Uzun Bölmeyi Yanlış Uygulama: Eğer uzun polinom bölmesiyle yapıyorsanız, polinomlar arasındaki işaretleri dikkatle takip etmemeniz sıklıkla hata kaynağı olur.
Bölenin Derecesiyle Kalanın Derecesini Karıştırma: Derecesi 2 olan bir polinomla bölündüğünde kalanın en fazla 1. dereceden olacağını unutmamalıyız.
Kalanın Doğruluğunu Denetlememek: Herhangi bir \alpha kökünde D(\alpha)=0 ise P(\alpha) değeri kalanı verir. Bu kontrol hızlı bir test yöntemi olabilir.
Fark Yöntemine Hakim Olmama: Bir polinomu, aynı derecedeki başka bir polinomla “kıyaslamak” hep farklarını almak demektir. Bu nedenle polinomu bölenin polinomunu \pm 1 katsayılarla çarparak, iki polinomu aralarında “eleyip” kalanı bulmak en pratik yöntemlerden biridir.

6. Özet Tablo

Aşağıdaki tabloda, sorunun temel aşamalarını özet şekilde görebilirsiniz:

Aşama	İşlem	Açıklama
1. Aşama: Verilen Kalanın Belirlenmesi	$P(x)$’in x^2 - 7x + 3 ile bölünmesi sonucu x - 3 elde edilir.	Polinom bölme teoremi: P(x) = Q(x)\,(x^2 -7x +3) + (x -3).
2. Aşama: $P(x)^2$’in Yapısı	(P(x))^2 = \bigl[(x^2 - 7x +3)Q(x) + (x -3)\bigr]^2.	Katlar (ilgilendiğimiz bölenin çarpımları) bölme sonucunda sıfır kalandır, sadece (x-3)^2 kısmı önemlidir.
3. Aşama: Kalanın Hesaplanması	(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9.	Bölündüğünde elde edilecek kalan, (x^2 - 6x + 9) \mod (x^2 -7x +3) ifadesidir.
4. Aşama: Fark İncelemesi	x^2 - 6x +9 - (x^2 -7x +3) = x +6.	Bu, $(x^2 -6x +9)’un (x^2 -7x +3)$’e göre kalanının x +6 olduğunu gösterir.
5. Aşama: Sonuç	P(x)^2 \mod (x^2 -7x +3) = x + 6.	Aranan cevap: x+6.

Tablo aracılığıyla hangi aşamada neler yaptığımızı net bir biçimde görebilirsiniz. Özellikle “fark alma” adımı (4. Aşama) burada en kritik bölüm olarak öne çıkıyor.

7. Sonuç ve Kısa Değerlendirme

Bu problem, polinom bölme teoreminin tipik bir uygulamasıdır. Temel mantık, P(x) bir polinomun D(x) (derece 2) ile bölünmesi sonucunda elde edilen kalan R(x) (derece 1 veya 0) ise, P(x)^2 polinomunun aynı D(x) polinomuna bölünmesindeki kalanın sadece R(x)^2 mod $D(x)$’e eşit olacağıdır. Burada:

R(x) = x - 3 bulundu.
R(x)^2 = (x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9.
$x^2 - 6x + 9$’un, $x^2 - 7x + 3$’e bölünmesi halinde kalan $x + 6$’dır.

Dolayısıyla sonuç:
P(x)² polinomunun x² - 7x + 3 polinomuna bölümünden elde edilen kalan x + 6 olur.

Bu çıkarım, sınavlarda sık sık görülen “Verilen polinomun ikinci (hatta bazen üçüncü) kuvvetinin kalanı nedir?” tarzı sorular için bir yol göstericidir.

Özetle, doğru yanıt B) x + 6 seçeneğidir.

Kaynaklar / Önerilen Okuma:

Polinomlar ve Uygulamaları – Açıköğretim Fakültesi Temel Matematik Kaynakları.
Thomas’ Calculus and Analytic Geometry – Polinom Analiz Bölümü.
MIT OpenCourseWare – Basic Algebra & Polynomial Division Notları.

@Smaug_Thorin