Sorunun Çözümü ve Açıklaması
Soruda bir ok fırlatılarak m kütleli elmaya çarpması planlanıyor ve çizgisel momentum ile ilgili bir bağlantı aranıyor. Çizgisel momentum (\vec{p}), kütle ve hız ile ilişkilidir ve şu formülde ifade edilir:
Burada:
- m: Cisimlerin kütlesi
- \vec{v}: Cisimlerin hızı
Verilenler ve Sorudan Anlaşılanlar
- Okun kütlesi (M), momentumun oluşmasında direkt etkili olacaktır.
- Yay gerilme miktarı (x), fırlatılan okun hızını belirler. Hız ise momentumun bir bileşenidir.
- Elmanın kütlesi (m), momentum hesaplaması açısından etkili değildir çünkü elmanın çarpma sonrasında hareketi dikkate alınmıyor (yay etkisi dikkate alınır).
Bu nedenle çizgisel momentum, okun kütlesi (M) ve yay gerilmesi (x) ile ilişkilidir.
Doğru Seçenek:
İlgili nicelikler II ve III olduğundan D seçeneği doğru cevaptır.
Özet:
Çizgisel momentum, fırlatılan okun kütlesiyle (M) ve yay gerilme miktarıyla (x) ilişkilidir. Elmanın kütlesi çizgisel momentum üzerinde bir etkisi bulunmaz.
Fırlatılan ok ile elma çarpıştıktan sonra ortak kütlenin çizgisel momentumu hangi niceliklere bağlıdır?
Cevap:
Sorunun Çözümü ve Konu Özeti
Bir ok (kütlesi M) bir elmaya (kütlesi m) masa üzerinde saplanıyor. Ok-elma sistemi çarpışmadan sonra birlikte hareket ediyor. Sürtünmeler önemsenmiyor.
Çizgisel momentumun korunumu geçerlidir (izole sistem).
1. Ok-elma birleşik sisteminin momentumunu hesaplarken:
- Çarpışma sonucunda ok ve elma birlikte hareket eder.
- İlk durumda elma durgun, okun ise bir hızı vardır (çünkü yayın gerilimi sayesinde fırlatılıyor).
- Ok-elmanın çarpışmadan sonraki toplam momentumu, sadece okun yayın çekişinden kazandığı ivmeye bağlıdır.
2. Yay gerilimi (x)
Yayın gerilimi sayesinde ok hareket kazanır. Yayda biriken enerji okun kinetik enerjisine dönüşür:
Bu enerji ile ok hızı kazanır:
3. Çarpışmadan hemen sonra ortak hız (V)
Çizgisel momentumun korunumu:
- Okun momentumu: p_{\text{ok}} = M v
- Elmanın momentumu: p_{\text{elma}} = 0 (duruyor)
Çarpışma sonrası toplam kütle: M + m, hız V.
Çizgisel momentum:
4. Hangi büyüklüklere bağlı?
- v yayın gerilimine (x) bağlıdır.
- Momentumu hesaplarken ok kütlesi (M), elma kütlesi (m) ve yayın gerilimi (x) kullanılmıştır.
Ancak dikkat! Toplam momentumun büyüklüğü, sadece okun başlangıç momentumu kadardır:
Burada M ve x belirleyicidir. Elmanın kütlesi (m) ise sadece birleşik sistemin hızı için gerekli olup, toplam momentum için gerekmez. (Momentumun büyüklüğü okun ilk momentumu kadar olur.)
5. Analiz
- Yayın gerilimi x ⇒ Evet (okun hızını belirler)
- Okun kütlesi M ⇒ Evet (momentumda direkt var)
- Elmanın kütlesi m ⇒ Hayır (toplam momentumun büyüklüğü için gerek yok)
Doğru Şık:
D) II ve III (“Okun kütlesi M ve yayın gerilimi $x$”)
Ekstra:
- Çizgisel momentumun korunumu, sadece hareket eden cismin kütlesi ve kazandığı hızla (yay veya başka bir dış kuvvetten kazandığı enerjiyle) ilgilidir. Durgun cisme ait kütle, sistemin toplam hızı için gereklidir ama toplam momentumun büyüklüğü, çarpışma öncesindeki hareketli cismin (okun) momentumuna eşittir.
Cevap: D) II ve III
Soru:
m kütleli bir elma masa üzerinde dururken, Koray’ın fırlattığı ok elmeya saplanıyor. Fırlatılan okun kütlesi M, yayda depolanan gerilme miktarı x olduğuna göre, ok+elma sisteminin birleşik çizgisel momentumu hangi niceliklere bağlıdır? (Sürtünmeler önemsiz.)
Şıklarda:
I. m II. M III. x
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) Yalnız III
D) II ve III
E) I, II ve III
Çözüm Adımları
-
Çarpışma öncesi ve sonrası momentum korunumu
- Ok inject edilmeden önce hızı v olan okun momentumu:
(p_{\rm ok}=M,v). - Elmaya saplanıp birlikte hareket ettiklerinde toplam momentum hâlâ (M,v)’dir.
- m (elma kütlesi) burada momentumun büyüklüğünü etkilemez; sadece ortak kütleyi değiştirir, fakat çizgisel momentum korunumu bağlamında (M,v) sabittir.
- Ok inject edilmeden önce hızı v olan okun momentumu:
-
Yay enerjisinin okun kinetik enerjisine dönüşmesi
- Yayda biriken potansiyel enerji: (E_{\rm yay}=\tfrac12,k,x^2).
- Bu enerji sürtünmesiz ortamda tamamen okun kinetik enerjisine dönüşür:
[
\tfrac12,k,x^2 ;=;\tfrac12,M,v^2
\quad\Longrightarrow\quad
v=;x\sqrt{\tfrac{k}{M}}.
] - Dolayısıyla okun momentumu:
[
p_{\rm ok}=M,v
=M;x\sqrt{\tfrac{k}{M}}
=x,\sqrt{k,M}.
] - Burada m değil, M ve x (ve yay sabiti k) rol oynar.
-
Sonuç
- Elma+ok sisteminin çizgisel momentumu yalnızca okun kütlesine (II) ve yayın gerilme miktarına (III) bağlıdır.
- Elmanın kütlesi (I) momentum büyüklüğünü belirlemez.
Özet Tablo
| Nicelik | Momentum Üzerine Etkisi |
|---|---|
| I. m (elma) | Etkisi yok |
| II. M (ok) | Etkisi var |
| III. x (yay) | Etkisi var |
Doğru seçenek: D) II ve III
Cevap: II ve III.
m kütleli bir elma masa üzerinde duruyorken Koray’ın fırlattığı ok elmaya saplanıyor. Fırlatılan okun kütlesi M, yayın gerilme miktarı x olduğuna göre ortak kütlenin çizgisel momentumu; I. m, II. M, III. x niceliklerinden hangilerine bağlıdır? (Sürtünmeler önemsiz.)
Answer:
Bu soruda yayın gerilmesi (x) sayesinde okun kazandığı hız, okun kütlesi (M) ile ilişkilidir. Elma (m) başlangıçta durmaktadır ve sürtünme ihmal edildiği için çarpışma öncesi toplam momentum, çarpışma sonrasında sabit kalır. Dolayısıyla sistemin nihai momentumu, okun ilk momentumu ile aynıdır.
- Elmanın kütlesi (m) ilkin harekete katılmadığı (başlangıçta durduğu) için okun ilk momentumu üzerinde etkisi yoktur. Elmanın dahil olması yalnızca son hızın bölüşülmesini etkiler ancak toplam momentum değerini değiştirmez.
- Okun kütlesi (M) yayın enerjisi sebebiyle kazanacağı hızı doğrudan belirler. Okun hızı yaklaşık olarak yayın sıkıştırılma miktarı ve okun kütlesinin birleşiminden hesaplanır (örneğin, yayın potansiyel enerjisinin tamamının okun kinetik enerjisine dönüştüğü varsayılır).
- Yayın gerilme miktarı (x), yayın potansiyel enerjisiyle orantılıdır ve okun ilk hızını belirleyerek okun momentumu üzerinde doğrudan etki yapar.
Dolayısıyla çizgisel momentumu belirleyen büyüklükler, II. M ve III. x olup, elma kütlesi (m) toplam momentumu etkilemez. Bu nedenle doğru seçenek ( II ve III )’tür.