(×+1)ile(y+3) ters orantılıdır ×=4 iken y=6 ise ×=8iken y kaçtır

YKS TYT
1

(×+1)ile(y+3) ters orantılıdır ×=4 iken y=6 ise ×=8iken y kaçtır

2

Soru: (×+1) ile (y+3) ters orantılıdır. ×=4 iken y=6 ise ×=8 iken y kaçtır?

Cevap:

Ters Orantı Nedir?

Ters orantı iki değişkenin çarpımı sabit olduğunda oluşur. Eğer (x+1) ile (y+3) ters orantılı ise:
$
(x+1) \cdot (y+3) = K
$
Burada K, sabit bir değer olup değişmez.

Adım Adım Çözüm

  1. Verilen Bilgileri Kullanarak Sabiti (K) Hesaplayalım:
    x = 4 ve y = 6 olduğunda:
    $
    (x+1) \cdot (y+3) = K
    $
    $
    (4+1) \cdot (6+3) = K
    $
    $
    5 \cdot 9 = K \quad \Rightarrow \quad K = 45
    $

  2. x = 8 İken y Değerini Bulalım:
    Yine aynı formülü kullanıyoruz:
    $
    (x+1) \cdot (y+3) = K
    $
    Sabit değer K = 45 olduğundan:
    $
    (8+1) \cdot (y+3) = 45
    $
    $
    9 \cdot (y+3) = 45
    $

    Buradan (y+3) ifadesini bulalım:
    $
    y+3 = \frac{45}{9} = 5
    $

    Son olarak y’yi hesaplayalım:
    $
    y = 5 - 3 = 2
    $

Sonuç

x = 8 iken y = 2 olur.

Özet Tablo

Verilen Sabit (K) Sonuç
x = 4,\ y = 6 K = 45
x = 8 (x+1) \cdot (y+3) y = 2

@ilknur_bicer

3

(×+1) ile (y+3) ters orantılıdır ×=4 iken y=6 ise ×=8 iken y kaçtır?

Cevap:

İçindekiler

  1. Ters Orantı Kavramına Genel Bakış
  2. Problemin İncelenmesi
  3. Adım Adım Çözüm
  4. Tablo: Adımların Özeti
  5. Ek Örnekler ve Öneriler
  6. Kısa Özet

1. Ters Orantı Kavramına Genel Bakış

Bir matematiksel ilişkiyi açıklarken en temel kavramlardan biri orantıdır. İki ya da daha fazla değişkenin birbirleriyle olan ilişkilerini türlerine göre “doğru orantı” veya “ters orantı” şeklinde ifade edebiliriz:

  • Doğru Orantı: İki değişkenden biri artarsa, diğeri de aynı oranda artar. Benzer şekilde biri azalırsa, diğeri de azalır.
  • Ters Orantı: İki değişkenden biri artarsa, diğeri buna “ters bir şekilde” tepki verir; yani artma durumunda diğeri azalır ya da tam tersi.

Bu problemde, (x+1) ile (y+3)’ün ters orantılı olduğu söylenmektedir. Ters orantı ifadesi genellikle şu şekilde gösterilir:
(x+1) · (y+3) = sabit (k)

Yani, (x+1) ile (y+3) çarpımı her durumda aynı değere eşittir.

2. Problemin İncelenmesi

Sorumuzda verilenler:

  1. (x+1) ile (y+3) ters orantılıdır → (x+1)(y+3) = k (burada k sabittir).
  2. x = 4 iken y = 6’dır.
  3. x = 8 iken y kaçtır?

Bu tür problemlerde ilk işimiz, aradaki sabiti (k) bulmaktır. Çünkü dilimizde “ters orantılıdır” diye ifade edilmiş olsa da matematikselleştirdiğimizde, (x+1) ile (y+3)’ün çarpımı sabit bir değere eşit demektir. Bu sabit değeri genelde k ile gösteririz. Sonrasında ikinci durumda x = 8 verildiğinde, gözlemleyeceğimiz y değerini bulmamız istenmektedir.

3. Adım Adım Çözüm

Adım 1: Sabit Değeri (k) Bulma

Öncelikle, x=4 ve y=6 değerleri kullanılarak sabit değerimizi hesaplayalım:

  • (x+1) = 4 + 1 = 5
  • (y+3) = 6 + 3 = 9

Ters orantı gereği:
(4+1)(6+3) = 5 × 9 = 45

Dolayısıyla,
k = 45

Adım 2: x=8 için (x+1)(y+3) = 45 Eşitliğini Kullanma

Şimdi x=8 iken y’nin değerini araştırıyoruz. Sabit k=45 olduğuna göre:
(x+1)(y+3) = 45
(8+1)(y+3) = 45
9(y+3) = 45

Adım 3: y’yi Bulma

9(y+3) = 45 denkleminde, her iki tarafı 9’a bölersek:
y + 3 = 45 / 9
y + 3 = 5

Ardından, y değerini tek başına bırakmak için:
y = 5 – 3
y = 2

Bu sonuç, x = 8 olduğunda y’nin 2 olması gerektiğini gösterir.

Cevap: y = 2

4. Tablo: Adımların Özeti

Adım Uygulanan İşlem Sonuç / Elde Edilen Değer
1. (x+1)(y+3) = k ifadesini yazma x=4, y=6 değeriyle k bulunur k = 5 × 9 = 45
2. Yeni durumu hesaplama x=8 verildiğinde (x+1)(y+3) = 45 (8+1)(y+3) = 45
3. Denklemi çözme 9(y+3) = 45 ⇒ y+3 = 5 ⇒ y = 2 y = 2

5. Ek Örnekler ve Öneriler

Bu problemi çözmüşken, konuyu pekiştirmek amacıyla şu ek bilgileri göz önünde bulundurabilirsiniz:

  • Benzer Problem: “(2x - 1) ile (y + 2) ters orantılıdır, 2x - 1 = 9 iken, y + 2 = 2 ise x=5 iken y kaçtır?” tarzındaki sorular da aynı mantıkla çözülür. Burada da yine (2x - 1)(y + 2) = k sabiti bulunur, sonra istenilen x değeri için y hesaplanır.
  • Yanlış Oranlama Hataları: Yeni başlayanların yaptığı yaygın hata, “(x+1) ile (y+3) ters orantılıdır” ifadesini yanlışlıkla (x+1)/(y+3) = k şeklinde almasıdır. Oysaki ters orantı demek, çarpımlarının sabit olması anlamına gelir. (x+1)/(y+3) sabit sayıya denk geliyorsa bu “doğru orantı”ya işaret ederken, çarpım sabit ise bu “ters orantı” demektir.
  • Genelleştirme: İki değişken a ve b ters orantılı şeklinde verilirse a·b = sabit formu kullanılır. Problemde, ifadelere eklenen sabitler (örneğin x+1, y+3) sadece a ve b yerine geçen, x ve y cinsinden yeniden düzenlenmiş terimlerdir.

Bu konularda deneyim sahibi olmak için geçmiş yılların YKS-AYT-TYT matematik sorularına ve benzer kitap/deneme sınavlarına göz atarak daha fazla alıştırma yapabilirsiniz.

6. Kısa Özet

  • (x+1) ile (y+3)’ün ters orantılı olduğu ifade edilmiştir. Bu, (x+1)(y+3) = k sabitine eşittir anlamına gelir.
  • x=4, y=6 verildiğinde k=45 olarak hesaplanır.
  • x=8 verildiğinde, 9(y+3) = 45 ⇒ y+3=5 ⇒ y=2 bulunur.
  • Benzer tüm sorular aynı mantıkla, denklemin sabit çarpım (k) üzerinden çözülmesiyle rahatlıkla çözülebilir.

Bu adımları doğru uyguladığınızda, x=8 için y=2 sonucuna ulaşırsınız.

@Ilknur_Bicer