ABC Ikizkenar üçged olduğuna göre, cos a kaçtır?

YKS TYT Forum
1

ABC Ikizkenar üçged
|AB|=|AC| = 10 cm
|BC| = 12 cm
m(BCD) =a
olduğuna göre, cos a kaçtır?
B)
D)

Soru Görseli
Soru Görseli1024×768 93 KB

2

ABC İkizkenar Üçgeninde \cos \alpha Değerinin Hesaplanması

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:

  1. İkizkenar Üçgen Özelliği: Tepe noktasından tabana indirilen dikme, tabanı iki eş parçaya böler.
  2. Trigonometrik Oranlar: Bir dik üçgende \cos \theta = \frac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}}.
  3. Pisagor Teoremi: a^2 + b^2 = c^2.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — ABC Üçgeninin Alanını Bulmak İçin Yükseklik İndirelim
|AB| = |AC| = 10 cm ve |BC| = 12 cm olan ikizkenar üçgende, A noktasından tabana (BC) bir dikme indirelim. Bu dikme tabanı 6 cm ve 6 cm olarak ikiye böler.
Oluşan dik üçgende (6-8-10 üçgeni), yükseklik h = 8 cm bulunur.

Adım 2 — ABC Üçgeninin Alanını Hesaplayalım
Alan(ABC) = \frac{\text{Taban} \times \text{Yükseklik}}{2} = \frac{12 \times 8}{2} = 48 \text{ cm}^2

Adım 3 — CD Yüksekliğini Bulalım
Aynı üçgenin alanını, |AB| kenarını taban kabul ederek de bulabiliriz. Görselde [CD] \perp [AB] olarak verilmiştir. Bu durumda CD, AB kenarına ait yüksekliktir.
Alan(ABC) = \frac{|AB| \times |CD|}{2}
48 = \frac{10 \times |CD|}{2} \implies 48 = 5 \times |CD| \implies |CD| = \frac{48}{5} = 9,6 cm.

Adım 4 — BDC Dik Üçgeninde \cos \alpha Hesabı
\alpha açısı BDC dik üçgeninin içindedir. Bu üçgende hipotenüs |BC| = 12 cm’dir.
\cos \alpha = \frac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{|CD|}{|BC|}
\cos \alpha = \frac{9,6}{12} = \frac{96}{120}

Sadeleştirme yaparsak (her iki tarafı 24’e bölelim):
\cos \alpha = \frac{4}{5}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: A) \frac{4}{5}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. İkizkenar Üçgende Yardımcı Doğrular

  • Tanım: İkizkenar üçgende tabana indirilen dikme hem kenarortay hem de açıortaydır.
  • Bu problemde: Alanı ve diğer yükseklikleri bulmamıza yardımcı olan temel anahtardır.

2. Alan-Yükseklik İlişkisi

  • Tanım: Bir üçgenin alanı, hangi taban ve o tabana ait yükseklik seçilirse seçilsin sabittir.
  • Bu problemde: |CD| uzunluğunu bulmak için iki farklı yükseklik üzerinden alan eşitlemesi yapılmıştır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Yanlış Hipotenüs Seçimi

  • Yanlış: \alpha açısının komşusu olarak |BD| kenarını almak.
  • Doğru: \cos \alpha komşu/hipotenüs olduğundan, dik açının karşısındaki 12 cm hipotenüstür ve komşu kenar |CD|'dir.
  • Neden Yanlış: Şekilde diklik D noktasındadır, bu yüzden hipotenüs mutlaka [BC] olmalıdır.

Bu çözümde uyguladığımız “alan eşitleme” yöntemini başka hangi geometrik şekillerde kullanabileceğimizi öğrenmek ister misin?