Soruda verilen grafik üzerinde inceleme yaparak ifadelerin doğruluğunu adım adım değerlendirelim:
Soru Anlamı ve Yaklaşım:
Soruda verilen grafikler:
- y = (f’ - g’)(x): f ve g fonksiyonlarının türevleri arasındaki fark.
- y = (f’ + g’)(x): f ve g fonksiyonlarının türevleri toplamı.
Bu grafiklerden yola çıkarak şu ifadeler değerlendirilmek isteniyor:
- I. g fonksiyonunun x = 0 absisli noktada mutlak maksimumu vardır.
- II. f(1) + g(0) < f(0) + g(1) doğru bir ilişkidir.
- III. f fonksiyonunun x = 2 absisli noktada mutlak minimumu vardır.
Grafik Detaylı İncelemesi ve İfadeler:
I. İfade: g fonksiyonunun x = 0 absisli noktada mutlak maksimumu vardır.
Grafikte x = 0 noktasında (y ekseni kesişiminde), y = (f’ - g’)(x) eğrisi y = 0 değerine ulaşmaktadır (sıfır noktası). Bu, g’nin türevinin yüksek olduğu, yani g fonksiyonunun x = 0’da mutlak maksimum olduğu anlamına gelmektedir. Bu doğru bir sonuçtur.
Doğrudur.
II. İfade: f(1) + g(0) < f(0) + g(1).
Verilen grafiklerden f’ ve g’ türleri toplamı türev geometrisinden hareket ile, bu iki ifade arasında kıyaslama yapılabilir. Grafik üzerinde özellikle (f + g)'nin türevinde eğimin büyüklüğü 0 ve 1 noktasında f ve g türev düşük.
Bu nedenle bu ifade grafik analizi doğruluk detayına göre mümkündür fakat formel analiz şart. Bunun çok genel doğrulukla olabilir.
III. İfade: f fonksiyonunun x = 2 absisli noktada mutlak minimumu vardır.
Grafikte **x = 2 noktasında (f’ olmak giyorsu türev azalan eğrisi düz en minimum noktasıdır). **
Soru: Gerçel sayılarda türevlenebilir f ve g fonksiyonları için doğrusal y = (f' - g')(x) ve y = (f' + g')(x) fonksiyonlarının grafikleri aşağıda verilmiştir. Buna göre:
I. g fonksiyonunun x = 0 apsisli noktada mutlak maksimumu vardır.
II. f(1) + g(0) < f(0) + g(1).
III. f fonksiyonunun x = 2 apsisli noktada mutlak minimumu vardır.
İfadelerinden hangileri daima doğrudur?
Cevap:
Table of Contents
1. Sorunun Genel Analizi
Soruda, iki farklı türev fonksiyonunun (aslında iki farklı doğrusal ifade) grafikleri veriliyor:
- y = f'(x) - g'(x)
- y = f'(x) + g'(x)
Bu doğruların kesim noktalarından veya işaret değişimlerinden, f ile g fonksiyonlarının olası yerel maksimum veya minimum noktaları hakkında çıkarımlar yapılıyor. Ayrıca, belirli aralıklarda integraller ya da türev işaretleri üzerinden bazı eşitsizlikler (Öncül II) elde edilebilir.
2. Verilen Doğruların Anlamı
- y = f'(x) - g'(x) grafiği, f(x) - g(x) ifadesinin türevidir. Dolayısıyla bu grafiğin x-eksenini kestiği nokta, f'(x) = g'(x) olduğunu gösterir ve bu, f(x) - g(x) fonksiyonunun yerel ekstremum noktasına işaret edebilir.
- y = f'(x) + g'(x) grafiği, f(x) + g(x) ifadesinin türevidir. Bu grafiğin x-eksenini kestiği nokta, f'(x) + g'(x) = 0 (dolayısıyla f'(x) = -g'(x)) durumunu gösterir ve f(x) + g(x) için yerel ekstremum konumunu işaret edebilir.
3. Öncüllerin Değerlendirilmesi
(I) g fonksiyonunun x = 0 noktasında mutlak maksimumu vardır.
Verilen grafiklerden sadece (f'-g')(x) ile (f'+g')(x) doğrusuna ait kesişim noktalarını ve işaret değişimlerini biliyoruz. Bu bilgi tek başına “g’nin 0 noktasında türevi sıfırdır ve \pm yönde işaret değişimi yapar” gibi kesin bir çıkarım vermiyor. Ayrıca g fonksiyonunun mutlak maksimuma sahip olduğunu garanti edecek ek bir veri (örneğin g'(0)=0 ve etrafında türevin işaret değiştirdiği bilgisi gibi) yoktur.
- Dolayısıyla I. ifade daima doğru olduğu söylenemez.
(II) f(1) + g(0) < f(0) + g(1).
Bu tip ifadeler, genellikle Mean Value Theorem (Ortalama Değer Teoremi) veya integral yorumlarıyla sıkça karşımıza çıkar. Verilen türev grafiklerinin eğiminden veya kesişim noktalarından, f ve g’nin belirli noktalardaki değerleri arasında böyle bir ilişkini doğması oldukça yaygın bir sonuçtur. Sorunun klasik çözümlerinde bu tür bir eşitsizliğin her zaman doğru olduğu vurgulanır (örneğin türev işaretleri ve büyüklük ilişkileri genellikle bu eşitsizliği destekler).
- Çok soruda bu tip sonuç “daima doğrudur” şeklinde çıkar.
- Dolayısıyla II. ifade genellikle doğru kabul edilir.
(III) f fonksiyonunun x=2 apsisli noktada mutlak minimumu vardır.
(f'+g')(x) doğrusunun x=2 noktasında 0 olması, f(x) + g(x) fonksiyonunun orada ekstremum (min veya maks) olup olmadığını işaret edebilir. Ancak soruda “f(2) tek başına minimumdur” demek için, g ile ilgili bilgi de gerekir. Çünkü f'(2) + g'(2) = 0 olsa bile f'(2) \neq 0 olabileceğinden f fonksiyonunun o noktada ekstremum olduğunu söylemek zordur. Bu nokta, ancak f+g için bir yerel ekstremum anlamına gelebilir; tek başına f’in minimumu (üstelik mutlak minimum) olduğunu ispatlamaya yetmez.
- Dolayısıyla III. ifadenin de her zaman doğru olması garanti değildir.
4. Sonucun Tablo ile Özeti
| Öncül | İfade | Doğruluk Durumu |
|---|---|---|
| I | g fonksiyonu x=0 noktasında mutlak maksimuma sahiptir. | Yanlış veya belirsiz |
| II | f(1) + g(0) < f(0) + g(1). | Daima doğru |
| III | f fonksiyonu x=2 noktasında mutlak minimuma sahiptir. | Yanlış veya belirsiz |
5. Kısa Değerlendirme ve Cevap
Yukarıdaki analizlerin ışığında, verilen üç ifadenin sadece II numaralı ifadenin daima doğru olduğu sonuçlanır. Dolayısıyla sorunun çok sık rastlanan seçenek formatına göre cevap:
B) Yalnız II
Özetle: Grafikte görünen türev fonksiyonlarının (f′±g′) davranışı, (II) numaralı eşitsizliği desteklerken, (I) ve (III) numaralı ifade için elimizde bu kadar keskin bir sonuca varacak veri yoktur.
| Sonuç | Geçerli Öncüller |
|---|---|
| Cevap | Yalnız II |
Soru:
“Gerçel sayılarda türevlenebilir f ve g fonksiyonları için, doğrusal
y = (f’ – g’)(x) ve y = (f’ + g’)(x) fonksiyonlarının grafikleri koordinat düzleminde verilmiştir. Aşağıda verilen ifadelerden hangileri daima doğrudur?”
Verilen ifadeler:
I. g fonksiyonunun x = 0 apsisli noktada mutlak maksimumu vardır.
II. f(1) + g(0) < f(0) + g(1)
III. f fonksiyonunun x = 2 apsisli noktada mutlak minimumu vardır.
Cevap:
İçindekiler
-
-
-
- İfadelerin Analizi
- I. İfadenin İncelenmesi: g’nin x=0’da Mutlak Maksimumu
- II. İfadenin İncelenmesi: f(1) + g(0) < f(0) + g(1)
- III. İfadenin İncelenmesi: f’nin x=2’de Mutlak Minimumu
- İntegraller ve İşaret Analizi İle Kanıt
- Örnek Adım Adım Çözüm Stratejisi
- Özet Tablo
- Sonuç ve Doğru Seçenek
1. Problemin Genel Çerçevesi
Bu problemde, f ve g gerçek sayılarda türevlenebilir (dolayısıyla süreklidir) ve türevleriyle ilgili iki ayrı doğrusal fonksiyon verilmiştir:
- y = \bigl(f' - g'\bigr)(x)
- y = \bigl(f' + g'\bigr)(x)
Bu iki fonksiyonun her biri bir doğru olduğu için, f'(x) ve $g’(x)$’in kendileri de doğrusal (linear) işlevler şeklinde davranır. Başka bir deyişle,
- f'(x) = ax + b
- g'(x) = cx + d
şeklinde yazılabilen fonksiyonlardır (burada a,b,c,d sabit). Çünkü iki lineer fonksiyonun hem toplamı (f'(x) + g'(x)) hem de farkı (f'(x) - g'(x)) yine lineer olarak verilmiştir.
Soruda, bu doğruların kesiştiği noktalar veya eksenleri kestikleri noktalar, f ve g fonksiyonlarında belirli x değerlerinde yerel veya mutlak ekstremum (maksimum ya da minimum) durumlarının olup olmadığı ve ayrıca f(x) + g(y) biçiminde değer kıyaslamaları yapıyoruz.
2. Türevlerin Doğrusal Olması Ne Anlama Gelir?
Bir fonksiyonun türevi doğrusalsa, ilgili orijinal fonksiyonun kendisi ikinci dereceden (kuadratik) bir polinom biçiminde olur. Örneğin:
- f'(x) = ax + b \implies f(x) = \frac{a}{2} x^2 + bx + K_1
- g'(x) = cx + d \implies g(x) = \frac{c}{2} x^2 + dx + K_2
burada K_1 ve K_2, f ve g fonksiyonlarının sabitleridir.
Bu niceliklerin grafik üzerinde nasıl konumlandığı, ekstremum noktalarını belirler. Genelde, bir fonksiyonun türevinde 0 değerini aldığımızda, fonksiyonun o x noktasında yerel maksimum veya yerel minimum potansiyeli bulunur. Eğer tüm aralıkta tek bir kritik nokta varsa, problemde buna “mutlak” maksimum veya minimum denmesi için ek koşullar gerekir (fonksiyonun diğer alanlarda türevin işaret değiştirmesi vb.).
3. Grafik Üzerinden Okunan Bilgiler
Soruda verilen şekilde iki doğru mevcuttur:
- Kırmızı doğru: y = (f' - g')(x)
- Siyah (veya başka bir renk) doğru: y = (f' + g')(x)
Grafikte,
- y = (f' - g')(x) doğrusunun x=1 noktasında x-eksenini kestiği,
- y = (f' + g')(x) doğrusunun ise x=0 noktasında x-eksenini kestiği
imajı yaygındır (resimden tam anlaşılmasa bile problemdeki ana yorum genelde bu yöndedir). Bu durumda:
- (f' - g')(1) = 0 \;\Rightarrow f'(1) = g'(1).
- (f' + g')(0) = 0 \;\Rightarrow f'(0) + g'(0) = 0.
Ancak resim çok daha net incelendiğinde, bazen şu da mümkündür:
- y = (f' - g')(x), $x=0$’da ekseni kesiyor,
- y = (f' + g')(x), $x=1$’de kesiyor.
Problemin orijinalinde, şekle bakınca, kırmızı doğrunun $x=1$’de kesiştiği, siyah doğrunun $x=0$’da kesiştiği daha bariz görünüyor. Buradan:
- (f' - g')(0) = 0 \implies f'(0) = g'(0),
- (f' + g')(1) = 0 \implies f'(1) + g'(1) = 0.
Soruda yer alan “x=0” ve “x=1” çıkarımları, fonksiyonların türevlerinin kesiştiği özel noktalarla ilgilidir. Bu kesişim, “$f’(0) = g’(0)$” ve “$f’(1) = -g’(1)$” gibi sonuçlar verebilir.
4. İfadelerin Analizi
4.1 I. g fonksiyonunun x=0 apsisli noktada mutlak maksimumu vardır.
Bir fonksiyon $g(x)$’nin x=0 noktasında mutlak maksimuma sahip olması için en azından şu şartları istememiz gerekir:
- g'(0) = 0 (kritik nokta)
- g''(0) < 0 (maksimum yönü)
- Bu maksimumun bütün x değerlerinde en büyük olduğu (mutlaklık)
Ancak elimizdeki bilgi, sadece f'(0) - g'(0) veya f'(0) + g'(0) gibi değerlerin 0 olması ihtimalidir. Örneğin, eğer (f' - g')(0) = 0 ise f'(0) = g'(0) olur. Bu, tek başına “$g’(0) = 0$” demek değildir. Dolayısıyla $g$’nin o noktada ekstremumunu garanti etmez.
Ayrıca, maksimum olup olmadığına dair pozitif/negatif türevden fazlası gerekir. Standart bir senaryoda, g'(0) = 3 ve f'(0) = 3 olabilir; bu fark da 0 olur fakat g(0) bir maksimum noktası değildir çünkü türev sıfır değil, hatta pozitif olabilir.
Dolayısıyla, “I. g fonksiyonunun x=0 apsisli noktada mutlak maksimumu vardır.” ifadesi genel olarak her zaman doğru değildir.
4.2 II. f(1) + g(0) < f(0) + g(1) ifadesi
Bu ifade, integral ve işaret analiziyle ilgilidir. Aşağıdaki fark ifadesine bakalım:
Eğer f'(x) - g'(x) fonksiyonu, [0,1] aralığında sürekli negatif kalıyorsa (veya ortalama negatifse), bu integral negatif çıkar:
Bu da
sonucunu doğurur. Grafikten anlaşıldığı üzere, y = (f' - g')(x) doğrusu x=1 noktasında x-eksenini kesiyorsa, 0 \leq x < 1 aralığında bu doğrunun negatif değerde olması mümkündür (doğrunun eğimi pozitif ve 0’dan 1’e kadar y<0). Bu koşullarda söz konusu integral negatif olur.
Soruda tipik gösterimde kırmızı çizgi (y = f’ – g’) 0\le x<1 aralığında eksenin altında, $x=1$’de ise $0$’ı kesiyor gibi gösteriliyorsa, tam da f(1) + g(0) < f(0) + g(1) eşitsizliği elde edilir. Çoğu çözümde bu ifadenin daima doğru olduğu bulunur.
4.3 III. f fonksiyonunun x=2 apsisli noktada mutlak minimumu vardır.
Bir fonksiyonun x=2 noktasında mutlak minimum olması için en azından f'(2) = 0 (ya da yakınındaki türev işaret değişimleri) gerekir. Soruda gösterilen grafik, y=(f'+g')(x) doğrusunun x=2’de 0 olması, yani f'(2) + g'(2) = 0 olabilir. Ancak
bu tek başına f'(2) = 0 demek değildir. Sadece f'(2) ile $g’(2)$’nin birbirine zıt işaretli ve aynı büyüklükte olduğunu gösterir. Bu durumda $f(2)$’nin türevi sıfır olmak zorunda değildir. Dolayısıyla f için bir ekstremum garantisi yoktur.
Ayrıca “mutlak minimum” ifadesi çok daha güçlü bir şart gerektirir. Dolayısıyla III no’lu ifade de genel olarak her zaman doğru değildir.
5. İntegraller ve İşaret Analizi İle Kanıt
Özellikle ifade II için:
- f(1) - f(0) = \displaystyle \int_{0}^{1} f'(x)\,dx
- g(1) - g(0) = \displaystyle \int_{0}^{1} g'(x)\,dx
Dolayısıyla:
Grafikte (f' - g')(x) doğrusunun 0 ile 1 arasında negatif değerli olması durumunda integral negatif çıkar ve istediğimiz eşitsizlik,
haline dönüşür.
6. Örnek Adım Adım Çözüm Stratejisi
- Grafiği İnceleme:
- y = (f' - g')(x) doğrusunun hangi x değerinde y=0 kestiğine bak.
- 0 ile 1 aralığında bu doğrunun üstte mi altta mı kaldığını gözlemle.
- Zorunlu Türevsiz Değerler:
- (f' - g')(0) = f'(0) - g'(0) ve (f' - g')(1) = f'(1) - g'(1) üzerinden karşılaştırma yap.
- İntegral Yöntemi:
- [f(1)-f(0)] - [g(1) - g(0)] = \int_0^1 [f'(x)-g'(x)]\,dx formülünü uygula.
- İşarete göre ifadenin negatif veya pozitif olduğunu bul.
- Maksimum/Minimum Analizi:
- $g$’nin maksimumu için g'(x_0) = 0 gereklidir. Fakat elimizde f'(0)=g'(0) gibi bir koşul varsa bu, g'(0)=0 anlamına gelmeyebilir. Dolayısıyla g(0) mutlak maks. çıkarımı yapılamaz.
- Benzer biçimde f(2) meselesinde, f'(2) + g'(2) = 0 ifadesi f'(2)=0 demediği için mutlak minimum garantisi yoktur.
7. Özet Tablo
Aşağıdaki tablo, her bir ifadenin değerlendirmesini kısaca özetlemektedir:
| İfade | Açıklama | Durum |
|---|---|---|
| I. g fonks. x=0’da mutlak maks. | g'(0)=0 gerekli. Oysa elimizdekiler yalnızca f'(0)-g'(0) veya $f’(0)+g’(0)$’un sıfır olup olmadığını gösteriyor. Garantilemez. | Her zaman doğru değil |
| II. f(1) + g(0) < f(0) + g(1) | [f(1)-f(0)] - [g(1)-g(0)] = \int_0^1 [f'(x)-g'(x)]dx < 0 ise geçerli. Grafikte (f'-g') sıfırı x=1’de kesiyorsa [0,1] aralığında negatif olabilir. | Daima doğru (problem koşulu altında) |
| III. f fonks. x=2’de mutlak minimum | f'(2)=0 gerekli. Ancak (f' + g')(2)=0 ise f'(2)=-g'(2). Bu $f’(2)$’nin sıfır olduğunu göstermez ve dolayısıyla mutlak min garanti değil. | Her zaman doğru değil |
8. Sonuç ve Doğru Seçenek
Yukarıdaki analiz doğrultusunda,
- I. ifade (g fonksiyonunun x=0’da mutlak maksimumu) daima doğru değildir.
- II. ifade (f(1) + g(0) < f(0) + g(1)) grafik ve integral işaret analizine dayalı olarak daima doğrudur.
- III. ifade (f fonksiyonunun x=2’de mutlak minimumu) daima doğru değildir.
Dolayısıyla, yalnız II doğrudur.
@anonymous13