Resimde verilen ifadeleri inceleyelim:
- Q(x-1) = x^2 + 4x + 1
- P(x+2) = ax^2 + bx + c
- P(x) = Q(x) olduğuna göre, a + b + c = ?
Polinomun iç yapısını inceleyerek çözebiliriz.
1. İlk Polinomu Düzenleme
Verilen Q(x-1) = x^2 + 4x + 1 ifadesinden, Q(x) polinomu x^2 + 4x + 1 'nin x+1 'e göre ters çevrilmesiyle elde edilir. Yani:
Q(x) = (x+1)^2 + 4(x+1) + 1
Bunu açarsak,
Q(x) = (x^2 + 2x + 1) + 4x + 4 + 1 = x^2 + 6x + 6
2. Polinomları Eşitleme
Şimdi P(x) = Q(x) olduğuna göre:
P(x) = x^2 + 6x + 6
3. P(x+2) 'yi Düzenleme
P(x+2) = a(x+2)^2 + b(x+2) + c
Açarsak:
P(x+2) = a(x^2 + 4x + 4) + b(x + 2) + c = ax^2 + 4ax + 4a + bx + 2b + c
Bu ifadeyi düzenlersek:
P(x+2) = ax^2 + (4a + b)x + (4a + 2b + c)
4. Katsayıların Karşılaştırılması
Verilen P(x+2) = ax^2 + bx + c şeklinde ve bu P(x) ile aynı olmalıdır. Yani katsayıları karşılaştıralım.
Karşılaştırma ile:
- a = 1
- 4a + b = 6 denklemi ile b bulunur.
- 4a + 2b + c = 6
Bu denklemleri çözerek:
-
4a + b = 6 denkleminden:
- 4(1) + b = 6 ile,
- b = 2
-
4a + 2b + c = 6 denkleminden:
- 4(1) + 2(2) + c = 6 ,
- 4 + 4 + c = 6 ,
- c = -2
5. a + b + c Toplamı
Son adım olarak:
a + b + c = 1 + 2 + (-2) = 1
Sonuç olarak, a + b + c = 1 .