$4\sin^2x - \sin x \cos x + \cos^2x = 1$ denkleminin $[0, 4\pi]$ aralığındaki kök sayısı

LİSE
1

osisie 2x0os
lalgnst oobsollbisbuns ioon
MERAKLISINA SORU 3
4 - sinx- sinx • cosx + cosx =1
denkleminin [0, 4r] aralığında kaç farklı kökü vardır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9

Soru Görseli
Soru Görseli1024×768 146 KB

2

4\sin^2x - \sin x \cos x + \cos^2x = 1 denkleminin [0, 4\pi] aralığındaki kök sayısı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Trigonometrinin temel kimliği olan \sin^2x + \cos^2x = 1 formülünü kullanarak denklemi sadeleştireceğiz.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Denklemi Düzenleme
Verilen denklem: 4\sin^2x - \sin x \cos x + \cos^2x = 1
Eşitliğin sağ tarafındaki 1 yerine \sin^2x + \cos^2x yazalım:
4\sin^2x - \sin x \cos x + \cos^2x = \sin^2x + \cos^2x

Adım 2 — Sadeleştirme
Her iki taraftaki \cos^2x terimleri birbirini götürür. Denklemi şu hale getiririz:
4\sin^2x - \sin x \cos x = \sin^2x
\sin^2x terimini sol tarafa atalım:
3\sin^2x - \sin x \cos x = 0

Adım 3 — Ortak Paranteze Alma
Denklemi \sin x parantezine alalım:
\sin x (3\sin x - \cos x) = 0

Bu durumda iki ihtimal vardır:

  1. \sin x = 0
  2. 3\sin x - \cos x = 0 \implies 3\sin x = \cos x \implies \tan x = \frac{1}{3}

Adım 4 — [0, 4\pi] Aralığındaki Kökleri Bulma
[0, 4\pi] aralığı iki tam turu (0’dan 720^\circ’ye) temsil eder.

  • \sin x = 0 durumu için:
    Kökler: x = 0, \pi, 2\pi, 3\pi, 4\pi (Toplam 5 kök)

  • \tan x = \frac{1}{3} durumu için:
    \tan x pozitif olduğu için 1. ve 3. bölgelerde kökler vardır.

    1. turda (0, 2\pi): 2 kök
    2. turda (2\pi, 4\pi): 2 kök
      (Toplam 4 kök)

Adım 5 — Toplam Kök Sayısını Hesaplama
Tüm kökleri topladığımızda: 5 + 4 = 9 farklı kök elde ederiz.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: E) 9
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Trigonometrik Kimlikler

  • Tanım: \sin^2x + \cos^2x = 1 ifadesi her x değeri için geçerlidir.
  • Bu problemde: Denklemi homojen hale getirmek ve sadeleştirmek için kullanıldı.

2. Periyot ve Kök Sayısı

  • Tanım: \sin x ve \tan x fonksiyonları belirli aralıklarla kendini tekrar eder.
  • Bu problemde: [0, 4\pi] aralığı $2\pi$’lik periyodun iki katı olduğu için birim çemberdeki köklerin iki katı (sınır değerleri hariç) dikkate alındı.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Sınır Değerlerini Unutmak

  • Yanlış: Aralığı (0, 4\pi) gibi açık aralık düşünerek 0 ve 4\pi köklerini saymamak.
  • Doğru: Köşeli parantez [0, 4\pi] olduğu için uç noktalar denklemi sağlıyorsa dahil edilmelidir.
  • Neden Yanlış: Soruda kapalı aralık verildiği için çözüm kümesi eksik kalır.

Bu çözümdeki adımlardan birini daha detaylı açıklamamı ister misin, yoksa benzer bir trigonometrik denklem sorusuyla pratik yapmak ister misin?