Soru:
n. yörüngede bulunan bir elektronun sahip olduğu toplam enerjiyi veren ifade aşağıdakilerden hangisidir?
(R: Rydberg sabiti; Z: Atom numarası)
Cevap:
Bir elektronun toplam enerjisini veren formül, Bohr atom modeli çerçevesinde elde edilen aşağıdaki formülle ifade edilir:
E_n = -R \cdot \frac{Z^2}{n^2}
Burada:
- E_n elektronun toplam enerjisi,
- R Rydberg sabiti,
- Z atom numarası (çekirdek yükü),
- n elektronun bulunduğu enerji seviyesidir.
Bu formül, atomun enerji düzeylerinde elektronun toplam enerjisini açıklamakta ve negatif olması elektronun çekirdeğe bağlanmış durumda olduğunu ifade eder.
Bu durumda doğru cevap: E şıkkı
-R \cdot \frac{Z^2}{n^2}
Özet Tablo:
| Terim | Açıklama | Formül Parçası |
|---|---|---|
| R (Rydberg sabiti) | Spektral enerji geçişlerini açıklayan sabit | -R |
| Z (Atom Numarası) | Çekirdek yükü (proton sayısı) | Z^2 |
| n (Enerji Düzeyi) | Elektronun bulunduğu yörünge | n^2 |
Doğru formül: E_n = -R \cdot \frac{Z^2}{n^2}
n. yörüngede bulunan bir elektronun sahip olduğu toplam enerjiyi veren ifade aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap:
Bu soru, hidrojen benzeri (tek elektronlu) atomlar için Bohr atom modelinden yararlanarak elektronun n. yörüngedeki toplam enerjisini sorgulamaktadır. Bohr modeline göre bir elektronun n. yörüngede sahip olduğu toplam enerji (hem kinetik hem de potansiyel enerjinin toplamı) şu şekilde verilir:
$
E_n = -R \frac{Z^2}{n^2}
$
Burada:
- R, Rydberg sabiti veya duruma göre Rydberg birimi (R ≈ 13,6 eV) olarak adlandırılır.
- Z, atomun çekirdek yükü veya atom numarasıdır (hidrojende Z = 1, helyumun tek elektronlu iyonunda Z = 2 vb.).
- n, elektronun bulunduğu enerji seviyesi (yörünge) veya kabuğudur (n = 1,2,3 …).
Bu formülde işaretin eksi olması, elektronun bağlanmış (bağ enerjisi) durumda olduğunu ve elektronun enerjisinin, serbest elektron enerjisi seviyesinden (E=0) daha düşük olduğunu ifade eder.
Sorudaki seçeneklere bakıldığında, doğru cevap:
E) -R × (Z² / n²)
şeklindedir.
İçindekiler
1. Bohr Atom Modeline Genel Bakış
Danimarkalı fizikçi Niels Bohr tarafından 1913 yılında geliştirilmiş olan Bohr atom modeli, elektronun sabit yörüngelerde dolaştığını ve bu yörüngelerin belirli enerji seviyeleri ile ilişkili olduğunu öne sürer. Temel varsayımları şöyledir:
- Elektronlar, çekirdeğin etrafında dairesel yörüngelerde dönerek atomu kararlı hale getirir.
- Her yörüngenin belirli bir enerjisi vardır ve elektron bu yörüngede hareket ederken enerji yaymaz.
- Elektronlar, bir yörüngeden diğerine geçerken foton soğurur veya foton yayınlar.
- Yalnızca belirli yörüngeler izinlidir, bu da kuantumlanmış bir enerji spektrumuna yol açar.
2. Hidrojen Benzeri Atomlar ve Rydberg Sabiti
- Hidrojen benzeri (tek elektronlu) atomlar: Sadece tek elektrona sahip olan H (Hidrojen), He⁺ (helyumun tek elektronlu iyonu), Li²⁺ (lityumun tek elektronlu iyonu) vb.
- Enerji seviyeleri, atom numarası Z ile orantılıdır.
- Rydberg sabiti (R), hidrojen atomunun temel enerji hesaplamalarında kullanılan önemli bir sabittir. Yaklaşık değeri bazı kaynaklarda 13,6 eV, bazılarında ise 1 Rydberg = 13,605693 eV olarak verilir.
Bu modelde, elektronun n. seviyedeki (yörüngedeki) toplam enerjisi Bohr’un teori ve hesaplamalarına göre:
$
E_n = -R \frac{Z^2}{n^2}
$
şeklindedir.
3. Enerji Formülünün Çıkarılışı
Bohr modeline göre toplam enerji; elektronun çekirdek (Z) tarafından uygulanan Coulomb kuvvetine karşılık gelen potansiyel enerji ile elektronun kinetik enerjisinin toplamından oluşur. Özetle:
-
Merkezcil kuvvet dengesi:
Elektronun yörüngede kalabilmesi için merkezcil kuvvet, Coulomb çekim kuvvetine eşit olmalıdır:
$
\frac{m v^2}{r} = \frac{Z e^2}{4 \pi \epsilon_0 r^2}
$
Burada m elektronun kütlesi, v hızı, r yörünge yarıçapı, e elektron yükü, Z atom numarası, \epsilon_0 vakumun dielektrik sabitidir. -
Açısal momentumun kuantumlanması:
$
m v r = n \hbar
$
(Burada n 1,2,3… olarak kuantum sayısını belirtir, \hbar indirgenmiş Planck sabitidir.) -
Toplam enerjinin ifadesi:
- Kinetik enerji: K = \frac{1}{2} m v^2
- Potansiyel enerji: U = - \frac{Z e^2}{4 \pi \epsilon_0 r}
- Toplam enerji: E = K + U
Bu adımların sonucunda Bohr, enerji seviyelerinin $n$’e bağlı olarak aşağıdaki formüle göre kuantize olduğunu göstermiştir:
$
E_n = - \frac{Z^2 e^2}{8 \pi \epsilon_0 a_0} \cdot \frac{1}{n^2}
$
Burada a_0 Bohr yarıçapı olarak bilinir. Bu ifade Rydberg sabiti kullanılarak kısaltılmış bir biçimde:
$
E_n = -R \frac{Z^2}{n^2}
$
şeklinde yazılır.
4. Cevap Seçeneğinin Doğrulanması
Soruda seçenekler arasında:
A) -R \cdot \frac{Z}{n}
B) -R \cdot \frac{n^2}{Z^2}
C) -R \cdot \frac{Z}{n^2}
D) -R \cdot \frac{n^2}{Z}
E) -R \cdot \frac{Z^2}{n^2}
Bohr’a göre toplam enerji formülü -R \cdot \frac{Z^2}{n^2} ifadesine eşittir. Dolayısıyla E seçeneği doğrulanmış olur.
5. Adım Adım Çözüm Tabloları
Aşağıdaki tablolarında hem temel denklemi hem de ilgili sabitleri özetleyelim:
a) Formül Özeti
| Adım | Denklem/İfade | Açıklama |
|---|---|---|
| 1. Merkezcil Kuvvet | m v^2 / r = Z e^2 / (4 \pi \epsilon_0 r^2) | Elektronun çekirdek tarafından yörüngede tutulması |
| 2. Açısal Momentum | m v r = n \hbar | Kuantumlanma koşulu |
| 3. Kinetik Enerji | K = \frac{1}{2} m v^2 | Elektronun hareket enerjisi |
| 4. Potansiyel Enerji | U = - \frac{Z e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} | Çekirdek ile elektron arasındaki Coulomb potansiyeli |
| 5. Toplam Enerji Sonucu | E_n = -R \frac{Z^2}{n^2} | Bohr formülünün Rydberg sabiti ile ifade ediliş biçimi. |
b) Seçeneklerin Karşılaştırılması
| Seçenek | Verilen İfade | Doğru/Geçersiz | Sebep |
|---|---|---|---|
| A | -R \cdot \frac{Z}{n} | Yanlış | n^2 yerine n bulunmakta ve Z^2 yerine Z var. Bohr formülüne uymuyor. |
| B | -R \cdot \frac{n^2}{Z^2} | Yanlış | Ters orantılı olması gerekirken burada n^2 üste, Z^2 alta çekilmiş. |
| C | -R \cdot \frac{Z}{n^2} | Yanlış | Z^2 yerine yalnızca Z var. |
| D | -R \cdot \frac{n^2}{Z} | Yanlış | Burada Z^2/n^2 yerine n^2/Z var, formülün şekli tamamen farklı. |
| E | -R \cdot \frac{Z^2}{n^2} | Doğru | Bohr teorisine göre hidrojen benzeri atomlar için doğrulanmış genel formül. |
6. Özet ve Sonuç
- Hidrojen benzeri atomlarda (tek elektronlu iyonlar), elektronun n. yörüngedeki toplam enerjisinin formülü E_n = -R \frac{Z^2}{n^2} şeklindedir.
- Negatif işaret, elektronun o yörüngede bağlı (çekirdeğe yakın) konumda olduğunu ifade eder.
- Seçeneklerin karşılaştırılmasından, sorunun cevabının E) -R (Z² / n²) olduğu bulunur.
Bu nedenle, n. yörüngede bulunan bir elektronun sahip olduğu toplam enerjiyi veren expression, Bohr atom modeline göre -R × (Z² / n²)’dir.