Soru: Merve başlangıçta verilen üçgen biçimindeki kartonun kenarlarının orta noktalarını birleştirip, birinci adımda üç içteki üçgeni oluşturuyor. Sonraki adımlarda aynı işlemi yaparak her bir içteki üçgenin orta noktalarını birleştirerek yeni üçgenler elde ediyor. 10. adımdaki en küçük üçgenin alanı 4 birim kare olduğuna göre, başlangıçtaki üçgenin alanı kaç birim karedir?
Çözüm:
Adım adım çözümü gerçekleştirelim:
1. İlk Alanların Mantığını Anlamak
Her adımda, üçgenin içindeki kenarların orta noktaları birleştirilerek dört yeni üçgen oluşturulur. Bu işlem her adımda tekrarlandığında, alanlar her defasında orijinal üçgenin \frac{1}{4}'üne eşit alanlara bölünür.
Bu mantığa göre:
- Başlangıç Alanı: A
- 1. Adım: Alanları A/4
- 2. Adım: Alanları (A/4)/4 = A/16
- 3. Adım: Alanları (A/16)/4 = A/64, … şeklinde devam eder.
2. 10. Adımda Alan Hesabı
- adımda, en küçük üçgenin alanı 4 birim kare olarak verilmiş. Bu alan, başlangıçtaki toplam alan A’nın \frac{1}{4^{10}}'u kadar olacaktır.
Alan formülü:
Burada en küçük alanın 4 birim kare olduğunu biliyoruz:
3. Başlangıç Alanı Bulma
Buradaki eşitlikten A değerini bulabiliriz:
4’ün üssünü hesapladığınızda:
4. Sonuç
Başlangıçtaki üçgenin alanı 2^{22} birim kare olacaktır.
Özet Tablo
| Adım | İşlem | Hesaplama |
|---|---|---|
| Başlangıç Alanı | A | Toplam alan bilinmiyor |
| Her Adımda Bölünme | A \cdot \frac{1}{4^n} | n = 10 alınır |
| 10. Adım En Küçük Alan | \frac{A}{4^{10}} = 4 | Başlangıç alanı: A = 4^{11} |
| Sonuç | 4^{11} = 2^{22} | Başlangıç alanı: 2^{22} |
Cevap: B) 2^{22}