Soru: Merve başlangıçta verilen üçgen biçimindeki kartonun kenarlarının orta noktalarını birleştirip, birinci adımda üç içteki üçgeni oluşturuyor. Sonraki adımlarda aynı işlemi yaparak her bir içteki üçgenin orta noktalarını birleştirerek yeni üçgenler elde ediyor. 10. adımdaki en küçük üçgenin alanı 4 birim kare olduğuna göre, başlangıçtaki üçgenin alanı kaç birim karedir?
Çözüm:
Adım adım çözümü gerçekleştirelim:
1. İlk Alanların Mantığını Anlamak
Her adımda, üçgenin içindeki kenarların orta noktaları birleştirilerek dört yeni üçgen oluşturulur. Bu işlem her adımda tekrarlandığında, alanlar her defasında orijinal üçgenin \frac{1}{4}'üne eşit alanlara bölünür.
Bu mantığa göre:
- Başlangıç Alanı: A
- 1. Adım: Alanları A/4
- 2. Adım: Alanları (A/4)/4 = A/16
- 3. Adım: Alanları (A/16)/4 = A/64, … şeklinde devam eder.
2. 10. Adımda Alan Hesabı
- adımda, en küçük üçgenin alanı 4 birim kare olarak verilmiş. Bu alan, başlangıçtaki toplam alan A’nın \frac{1}{4^{10}}'u kadar olacaktır.
Alan formülü:
Burada en küçük alanın 4 birim kare olduğunu biliyoruz:
3. Başlangıç Alanı Bulma
Buradaki eşitlikten A değerini bulabiliriz:
4’ün üssünü hesapladığınızda:
4. Sonuç
Başlangıçtaki üçgenin alanı 2^{22} birim kare olacaktır.
Özet Tablo
| Adım | İşlem | Hesaplama |
|---|---|---|
| Başlangıç Alanı | A | Toplam alan bilinmiyor |
| Her Adımda Bölünme | A \cdot \frac{1}{4^n} | n = 10 alınır |
| 10. Adım En Küçük Alan | \frac{A}{4^{10}} = 4 | Başlangıç alanı: A = 4^{11} |
| Sonuç | 4^{11} = 2^{22} | Başlangıç alanı: 2^{22} |
Cevap: B) 2^{22}
Soru: “Onuncu adımdaki en küçük üçgenin alanı 4 birimkare olduğuna göre, başlangıçtaki üçgenin alanı kaç birimkaredir?”
İçindekiler
1. Sorunun Genel Tanımı
Bu soruda, başlangıçta bir eşkenar üçgen şeklindeki kartonun kenarlarının orta noktaları birleştirilerek her adımda yeni küçük üçgenler elde ediliyor. Her “adım”da, bir önceki adımda oluşan tüm üçgenlerin kenarlarının orta noktaları, yeni birleştirmeler yaparak tekrar küçük üçgenler oluşturuyor. Böylece her adımda üçgenlerin sayısı artıyor ve daha küçük alanlı üçgenler elde ediliyor.
Soru: 10. adımdaki en küçük üçgenin alanı 4 birimkare ise, başlangıçtaki en büyük (ilk) üçgenin alanının ne olduğu.
2. Geometrik Yapının İncelenmesi
- Başlangıçtaki eşkenar üçgenin kenarını ikiye böldüğümüzde, ortaya 4 adet küçük eşkenar üçgen çıkar.
- Yeni oluşan her küçük üçgen, orijinal üçgenin 1/4’ü kadar alana sahiptir.
- Bir sonraki adımda da her üçgen, kenarların tekrar orta noktalarından bağlanarak yeniden 4’e bölünür. Dolayısıyla her adımda en küçük üçgenlerin alanı, bir önceki adımdaki en küçük üçgenin alanının 1/4’ü kadardır.
3. Adım Adım Çözüm Süreci
- Başlangıç Alanı (A): İstediğimiz değer, yani ilk büyük üçgenin alanı.
- 1. Adım
- Üçgenin kenarlarının orta noktaları birleştirildiğinde, tek bir üçgen 4 eş küçük üçgene bölünür.
- Her küçük üçgenin alanı, (A/4) olur.
- 2. Adım
- Artık her bir küçük üçgendeki kenarlar için aynı işlem tekrarlandığından, bir önceki en küçük üçgenlerin her biri yeniden 4’e bölünür.
- En küçük üçgenin alanı bu adımda (A/4)/4 = A/4^2 olur.
- n. Adım
- Genel olarak en küçük üçgenin alanı, A / 4^n şeklindedir.
- 10. Adım
- Soruya göre 10. adımdaki en küçük üçgenin alanı 4 birimkare olarak verilmiştir. Dolayısıyla
- Buradan A = 4 \times 4^{10} = 4^{11} elde ederiz.
- 4^{11} = \bigl(2^2\bigr)^{11} = 2^{22} olduğundan, başlangıçtaki üçgenin alanı 2^{22} birimkaredir.
4. Önemli Formüller
- Her Adımda Küçülen Üçgen Alanı:
$
\text{(En küçük üçgenin alanı)} = \frac{\text{Başlangıç alanı}}{4^n}
$ - Üslerin Dönüşümü:
$
4^{11} = (2^2)^{11} = 2^{22}
$
5. Sonuç ve Özet
-
- adımda çıkan en küçük üçgenlerin her biri, orijinalin $1/4^{10}$’u kadar alana sahiptir.
- Verilen en küçük üçgen alanı = 4 birimkare, dolayısıyla başlangıçtaki büyük eşkenar üçgenin alanı 2^{22} birimkaredir.
Aşağıdaki tablo, farklı adımlarda en küçük üçgenin alanını ve buna bağlı olarak toplam küçük üçgen sayısını örneklemek amacıyla oluşturulmuştur.
| Adım Sayısı (n) | En Küçük Üçgen Alanı | Orijinal Alana Oran | Toplam Küçük Üçgen Sayısı |
|---|---|---|---|
| 0 (Başlangıç) | A (bilinmiyor) | – | 1 |
| 1 | A/4 | 1/4 | 4 |
| 2 | A/4² | 1/16 | 4 + 4·4 = 4² = 16 |
| n | A/4ⁿ | 1/4ⁿ | 4ⁿ |
| 10 | 4 (verilen) | (4 / A) = 1 / 4¹⁰ | 4¹⁰ |
Bu problemde, 10. adımın en küçük üçgeninin alanı 4 birimkare olarak verildiği için A = 2^{22} sonucuna ulaşıyoruz.