Bir okuldaki 10 seçmeli dersin 4 tanesi aynı saatte verilmektedir. Bu derslerin ikisi kaç farklı şekilde seçilebilir?
Cevap:
Bu soruda, toplam 10 seçmeli ders bulunmaktadır. Bunlardan 4 tanesi aynı saatte verilmektedir. Böyle bir durumda, bu 4 ders aynı anda çakıştığı için, aynı anda birden fazla seçilip alınamaz (aynı anda verilen derslerden birden fazla alınamaz).
Amacımız, bu 10 ders arasından toplam 2 ders seçmek ve seçilen iki dersin kaç farklı şekilde seçilebileceğini bulmaktır.
Sorunun Temel Unsurları
| Değişken | Açıklama |
|---|---|
| Toplam seçmeli ders sayısı | 10 |
| Aynı saatte verilen dersler | 4 (bu 4 ders aynı anda veriliyor) |
| Seçilecek ders sayısı | 2 |
Varsayımlar ve Kısıtlar
- Aynı saatte verilen 4 dersten birden fazla seçilemez (çünkü saatler çakışıyor).
- Diğer 6 ders farklı saatlerde olduğu için birden fazla seçilebilir.
- Seçilen 2 dersten herhangi biri, aynı saat dilimindeki dersler veya diğer derslerden olabilir.
- Seçim sırası önemsizdir (yani kombinasyon hesaplanacaktır).
Sorunun Analizi ve Adım Adım Çözüm
1. Durumlar: İki ders seçilirken ortaya çıkabilecek durumlar
Durumları, seçilen derslerin 4 dersin içinde veya dışında olmasına göre sıralayabiliriz:
-
Durum 1: İki seçilen ders de aynı saatte dersler arasından (4 dersten) seçilir
Bu durum mümkün değildir çünkü 2 ders seçiliyorsa ve 4 ders aynı saatte veriliyorsa, bu 2 ders aynı anda olmaz, yani birden fazla ders seçemezsin. -
Durum 2: Seçilen derslerden biri aynı saatte verilen 4 dersten biri, diğeri diğer 6 dersten biri
Bu durum mümkündür. -
Durum 3: İki seçilen ders de diğer 6 ders arasından seçilir
Bu durum da mümkündür.
2. Her duruma göre kombinasyonların hesaplanması
Durum 1: İki ders de aynı saatteki 4 dersten seçiliyor
- Aynı anda 2 ders seçmek mümkün olmadığı için 0 farklı seçim.
Durum 2: Bir ders 4’lü gruptan, diğer ders 6’lı gruptan seçiliyor
- 4 dersin içinden 1 tane seçim: C(4,1) = 4
- 6 dersin içinden 1 tane seçim: C(6,1) = 6
- Toplam seçim sayısı: 4 × 6 = 24
Durum 3: İki ders de 6 ders arasından seçiliyor
- 6 dersin içinden 2 tane seçim: C(6,2) = 6 × 5 / 2 = 15
3. Toplam farklı seçim sayısı
Toplamda, durum 2 ve durum 3 sonuçları toplanır:
\text{Toplam seçim} = 24 + 15 = \mathbf{39}
Özet Tablo
| Durum | Açıklama | Formül | Sonuç |
|---|---|---|---|
| 1. İki ders aynı saatteki 4 dersten | Aynı anda 2 ders seçilemez | 0 | 0 |
| 2. Bir ders aynı saatteki 4 dersten, diğer 6 dersten | 1 ders 4 dersten, 1 ders 6 dersten | C(4,1) \times C(6,1) | 24 |
| 3. İki ders 6 dersten | 2 ders 6 dersten seçiliyor | C(6,2) | 15 |
| Toplam | 39 |
Sonuç:
Bu okuldaki 10 seçmeli dersten, 4 tane aynı saatte veriliyorsa ve bu 2 ders seçilecekse, 2 dersin toplamda 39 farklı şekilde seçilebileceği sonucuna ulaşılır.