Soru:
Verilen denklemde köklerin gerçek olması için b ile c arasındaki bağlantı ne olmalıdır?
Denklem:
$
(x + t)^2 + 2b(x + t) + c = 0
$
Çözüm
Öncelikle verilen denklem ikinci dereceden bir denklem olduğu için, köklerin gerçek olup olmayacağını diskriminant (ayrım) belirler. İkinci dereceden bir denklemin geneli şu şekilde ifade edilir:
$
ax^2 + bx + c = 0
$
Ve diskriminant şu şekilde hesaplanır:
$
\Delta = b^2 - 4ac
$
Ancak verilen denklem düzenlenip açıldığında şu hale gelir:
$
(x+t)^2 + 2b(x+t) + c = 0
$
Şimdi bu ifadeyi biraz açalım:
$
(x + t)^2 = x^2 + 2tx + t^2
$
Bu durumda denklem şuna dönüşür:
$
x^2 + 2tx + t^2 + 2b(x + t) + c = 0
$
Dağıtarak sadeleştirelim:
$
x^2 + 2tx + t^2 + 2bx + 2bt + c = 0
$
Tüm terimleri düzenlersek:
$
x^2 + (2t + 2b)x + (t^2 + 2bt + c) = 0
$
Bu ifade standart ikinci dereceden denklem formuna benzer:
$
Ax^2 + Bx + C = 0
$
Burada:
- A = 1,
- B = (2t + 2b),
- C = (t^2 + 2bt + c).
Şimdi diskriminantı hesaplayarak köklerin gerçek olup olmadığını bulabiliriz:
$
\Delta = B^2 - 4AC
$
Yerine koyarsak:
$
\Delta = (2t + 2b)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (t^2 + 2bt + c)
$
Bu ifadeyi açarak düzenleyelim:
$
\Delta = 4t^2 + 8tb + 4b^2 - 4(t^2 + 2bt + c)
$
Her terimi dağıtarak sadeleştirirsek:
$
\Delta = 4t^2 + 8tb + 4b^2 - 4t^2 - 8bt - 4c
$
Son ifade:
$
\Delta = 4b^2 - 4c
$
Bu durumda köklerin gerçek olması için diskriminant sıfırdan büyük veya eşit olmalıdır:
$
\Delta \geq 0
$
Yerine yazarsak:
$
4b^2 - 4c \geq 0
$
Her iki tarafı 4’e bölelim:
$
b^2 \geq c
$
Sonuç:
Denklemin köklerinin gerçek olması için b^2 \geq c olmalıdır. Doğru seçenek: E şıkkı.
Özet Tablo:
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| Denklem düzenleme | (x+t)^2 + 2b(x+t) + c açıldı | x^2 + (2t+2b)x + (t^2+2bt+c) |
| Diskriminant hesabı | \Delta = B^2 - 4AC | \Delta = 4b^2 - 4c |
| Diskriminant koşulu | \Delta \geq 0 | b^2 \geq c |
| Doğru Şık | Seçeneklerden \mathbf{E\ şıkkı} | b^2 = c doğru bağıntıdır. |
(x + t)² + 2b(x + t) + c = 0 denkleminin köklerinin gerçek olması için b ile c arasındaki bağıntı ne olmalıdır?
Cevap:
Table of Contents
1. Genel Bakış
Bu soruda, (x + t)² + 2b(x + t) + c = 0 biçiminde bir denklem veriliyor. Burada, t bir gerçel sayı (t ∈ ℝ) ve bizden, bu denklemin köklerinin gerçek (yani reel) olabilmesi için b ve c arasında ne tür bir bağıntı gerektiği soruluyor.
Bir ikinci dereceden denklemin gerçek köklere sahip olması, o denklemin diskriminantının sıfıra eşit veya sıfırdan büyük olmasıyla doğrudan ilişkilidir. Aşağıdaki adımlarda ayrıntılı inceleyelim.
2. Denklemin Yeniden Yazılması
Denklemi tekrar ele alalım:
$
(x + t)^{2} + 2b(x + t) + c = 0
$
Bu ifadenin daha net görülebilmesi için, geçici bir değişken tanımı yapabiliriz:
$
y = x + t
$
Bu durumda denklem:
$
y^{2} + 2by + c = 0
$
biçimine dönüşür. Burada değişkenimiz y, sabitlerimiz ise b ve c’dir.
3. Diskriminant Hesabı
Bir ikinci dereceden denklem y^2 + 2by + c = 0 için diskriminant \Delta şöyledir:
4. Gerçek Kök Şartı
Denklemin kökleri gerçek olabilmesi için diskriminantın sıfıra eşit veya büyük olması gerekir:
Dolayısıyla, köklerin gerçek (reel) olabilmesi için gerekli ve yeterli şart,
biçiminde özetlenebilir. Bu koşul, denklem tek bir çift katlı kök (b^2 = c) ya da iki farklı gerçek kök (b^2 > c) içerir.
5. Tablo: Adım Adım Çözüm Özeti
| Adım | İşlem veya Bulgu | Sonuç / Denklem |
|---|---|---|
| 1. Denklem Yazımı | (x + t)^2 + 2b(x + t) + c = 0 | Özgün denklem |
| 2. Değişken Dönüşümü (y = x + t) | y^2 + 2by + c = 0 | İkinci dereceden standart form |
| 3. Diskriminant Formülü | \Delta = (2b)^2 - 4 \cdot 1 \cdot c | \Delta = 4(b^2 - c) |
| 4. Gerçek Kök Şartı ( \Delta \ge 0 ) | b^2 - c \ge 0 | b^2 \ge c |
| 5. Yorumlama | Köklerin reel olması için b^2 \ge c gereklidir | Çözüm Şartı: \boxed{b^2 \ge c} |
6. Kısa Özet
Bu problemde (x+t)^2 + 2b(x + t) + c = 0 ifadesi, y=(x+t) tanımlamasıyla klasik bir ikinci dereceden denklem haline gelmiştir. Bir ikinci dereceden denklemde köklerin reel (gerçek) olması, diskriminantın sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olmasıyla ilgilidir. Burada \Delta = 4(b^2 - c) bulunur. Köklerin reel olması için \Delta \ge 0 şartıdır ve bu da b^2 \ge c eşitsizliğine karşılık gelir.