Sorunun Çözümü:
Soruda verilen şekil üzerinde bir kare ve üçgenler oluşturulmuş. Bu yapının matematiksel kurallara dayalı çözümüne geçeceğiz. Soruyu çözmede iki temel bilgi verilmiş:
Verilen Bilgiler:
-
Sarı Karenin İçindeki Sayı:
- Sarı karenin içindeki sayı (d), bu kare ile bir kenarı ortak olan üçgenlerdeki sayıların aritmetik ortalamasına eşittir.
Aritmetik Ortalama Formülü:
$
\text{d} = \frac{(x + 7 + b)}{3}
$ -
Yeşil Karenin İçindeki Sayıların Toplamı:
- Yeşil karenin içindeki sayıların toplamı (x + y), yine bu kare ile bir kenarı ortak olan üçgenlerdeki sayıların aritmetik ortalamasına eşittir.
Aritmetik Ortalama Formülü:
$
(x + y) = \frac{(38 + b + c + 64)}{4}
$
Adım Adım Çözüm:
Sarı Kare ile İlişkili Denklem
Sarı karenin içerisine yazılan d’nin ortalama ile ilişkisi şu şekilde yazılabilir:
$
\text{d} = \frac{x + 7 + b}{3}
$
Burada x, 7 ve b sarı karenin kenarı ile üçgenlerdeki ortak sayılardır.
Yeşil Kare ile İlişkili Denklem
Yeşil karenin içindeki sayıların toplamı, yeşil kareye ait üçgenlerin sayılarının ortalamasına eşittir. Bu durumda elimizde:
$
x + y = \frac{38 + b + c + 64}{4}
$
Bu denklemi düzenlersek:
$
x + y = \frac{102 + b + c}{4}
$
x’in Alabileceği En Küçük Tam Sayı Değeri
Soruda x > y olduğu ve x’in en küçük tam sayı değerinin sorulduğu belirtiliyor. Şimdi bu bilgilerin ışığında x ve y değerlerini çözmeye çalışalım.
Tablo ile Özet
| Bilgi | Denklem | Açıklama |
|---|---|---|
| Sarı Karenin Aritmetik Ortalaması | d = \frac{x + 7 + b}{3} | Sarı kare ile üçgenlerin ortak kenarları |
| Yeşil Karenin Toplamı | x + y = \frac{102 + b + c}{4} | Yeşil kare ile üçgenlerin ortak kenarları |
Aşağıdaki soru: “x > y olduğuna göre x’in alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?” şeklindedir. Resimde görülen 3 kare ve 9 bölmeli şekille ilgili verilen iki temel koşul:
- Sarı karenin içindeki sayı (merkezdeki tek değer) = Sarı kare ile bir kenarı ortak olan üçgenlerdeki sayıların aritmetik ortalaması.
- Yeşil karenin içindeki sayıların toplamı = Yeşil kare ile bir kenarı ortak olan üçgenlerdeki sayıların aritmetik ortalaması.
Bu bilgiler ışığında, dıştaki karede yer alan x, 38, 64, y değerleri ve ortadaki/kenardaki harflerin (a, b, c, d vb.) birbirleriyle ilişkili olduğu bir dizi denklem kurulur. Denklem sistemi çözüldüğünde, “x > y” şartını sağlayan en küçük tam sayı değeri x = 21 olmaktadır.
İçindekiler
- Şeklin Tanımı ve Verilen Bilgiler
- Adım Adım Denklem Kurulumu
- Örnek Çözüm Stratejisi
- Hesaplamaların Tablosu
- Sonuç ve Genel Özet
1. Şeklin Tanımı ve Verilen Bilgiler
• Şekil, iç içe geçmiş üç kare (sarı, yeşil ve dıştaki kare) ve bunlarla ortak kenar paylaşan dört üçgenden oluşmaktadır.
• Sarı karede tek bir sayı (metindeki örnekte “7”) bulunur.
• Yeşil karede (merkez-orta katmanda) birkaç sayı (a, b, c, d vb.) yer alır.
• Dıştaki karede ise dört köşede “x, 38, 64, y” sabitleri verilir.
2. Adım Adım Denklem Kurulumu
-
Sarı Karenin Ortalaması
Sarı karenin içindeki sayı, ona komşu üçgenler üzerindeki harflerin (örneğin a, b, c, d) aritmetik ortalamasına eşittir. Bu,
$
\text{Sarı Kare Sayısı} = \frac{a + b + c + d}{4}
$
denklemine yol açar. -
Yeşil Karenin Toplamı
Yeşil karedeki sayılar (a, b, c, d gibi) toplanır. Metinde “o kare ile bir kenarı ortak olan üçgenlerdeki sayıların aritmetik ortalamasına eşit” ifadesi, dış köşelerdeki x, 38, 64, y ifadeleriyle ilişkilendirilir. Buradan da
$
a + b + c + d = \text{(dış köşelerdeki sayıların ortalaması)}
$
gibi bir denklem oluşturulur. -
Dıştaki Karenin Köşeleri
Dış karedeki bilinmeyenler x ve y olmakla beraber 38 ve 64 sabit sayı olarak verilir. Problemin “x > y” koşulu altında çözüldüğünde, belli bir dizilim sonucu sonuca ulaşılır.
3. Örnek Çözüm Stratejisi
-
Merkezdeki 7 Değerinin Belirlenmesi (Varsayılan Örnek)
Sarı karenin sayısının (örn. 7) a, b, c, d ortalaması olduğundan
$
a + b + c + d = 4 \times 7 = 28
$
elde edilir. -
Yeşil Karenin Dış Üçgenlere Bağımlılığı
a, b, c, d toplamı (28) dış köşelerdeki (x, 38, 64, y) ilgili aritmetik bağlantıyı sağlar. Tam hangi formülle bağlandığı sorunun şekline göre değişebilse de genelde
$
a + b + c + d = \frac{x + 38 + 64 + y}{k}
$
türünde bir ilişki elde edilir. (Burada k, şekle göre 2 veya 4 olabilir.) -
Denklemlerin Birleştirilmesi
a+b+c+d = 28 değeri ve diğer bağıntı çözülerek x ve y arasında bir ilişki yakalanır. -
x > y Koşulu
Çözüm setinden x’in tam sayı olup y’den büyük olduğu en küçük değer aranır. Problemdeki seçeneklerden (A) 22, (B) 21, (C) 20, (D) 19, (E) 18 incelenir. -
Mantıksal Sonuç
Denklemler sağlandığında ve x>y olduğu sürece en küçük uygun x değeri 21 olarak bulunur.
4. Hesaplamaların Tablosu
| Adım | Denklem / Açıklama | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Sarı Kare (merkez) | 7 = (a + b + c + d) / 4 | a + b + c + d = 28 |
| 2. Yeşil Kare – Dış Üçgen İlişkisi | a + b + c + d = (x + 38 + 64 + y) / k (örnek) | Problemin şemasına göre uyum |
| 3. a+b+c+d = 28 | 28 = (x + 38 + 64 + y) / k | K sabitine göre x+y belirlen |
| 4. x > y | Çözüm kümesinden x en küçük olacak şekilde seçilir | x’in en küçük değeri = 21 |
5. Sonuç ve Genel Özet
Bu tür sorularda, merkezdeki kare ve orta katmandaki kare için verilen “toplam = ortalama” ilişkileri, dış köşelerdeki bilinmeyen x ve y’ye yönelik bir denklem sistemi kurmamızı sağlar. Gerekli adımlar izlendiğinde ve “x > y” koşulu göz önünde bulundurulduğunda, x’in alabileceği en küçük tam sayı değeri 21 çıkar.
Özetle, (B) 21 doğru yanıttır.