Cevap:
Problemi çözmeye başlamadan önce verilen bilgileri gözden geçirelim:
- Merkez O, yarım dairenin merkezi konumundadır.
- m(∠BAC) = 60° verilmiş.
- |AB| = 2 birim uzunluğundadır.
- Sorulan: Taralı alanların toplamı kaç birim kare olur?
Çözüm Adımları
1. Yarım Dairenin Çapı ve Yarıçapını Belirleme
Dairede AB uzunluğu çap (çünkü A ve B uç noktalar yarım dairenin sınırındadır) olduğu için:
Buradan yarıçapı bulabiliriz:
2. Yarım Dairenin Alanı
Yarım dairenin alanını şu formül ile hesaplarız:
Radyus (yarıçap) r = 1 olduğundan:
3. Yayın Uzunluğunu Belirleme
Çevre açısı 60° olduğundan dolayı, bu açıya karşılık gelen yayın uzunluğunu bulmak için toplam çevre uzunluğuna göre oran yapılır. Tam dairenin çevresi:
Ancak verilen şekil yarım daire olduğundan dolayı tam çevrenin yarısı geçerlidir:
Şimdi, m(∠AOB) = 60° olan yay uzunluğu:
4. Üçgen ΔAOB Alanı
Üçgen AOB ikizkenar bir üçgendir (çünkü OA = OB = r = 1 birim).
Şimdi bu üçgenin alanını hesaplayalım:
Burada:
- |OA| = |OB| = 1 birim
- ∠AOB = 60°, dolayısıyla sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}
Alan:
5. Taralı Alanların Hesaplanması
Taralı alanlar iki parçadan oluşuyor:
- Daire dilimi alanı
- Üçgenin eksik kalan kısmı (Daire diliminden çıkarılmalı)
Daire dilimin alanı:
Burada:
Taralı alan:
Toplam Alan
Her iki taralı bölgeyi toplarsak:
Bunu ortak payda ile sadeleştirip düzenleyelim:
Sonuç:
Cevap: A) 2\pi - \sqrt{3}
O merkezli yarım dairede, m(BAC)=60°, |AB|=2 bir olduğuna göre, taralı alanların toplamı kaç birim²’dir?
Cevap:
Table of Contents
1. Genel Bakış
Bu problemde bir yarım daire (merkez O) üzerinde A ve C noktaları çapın uçlarında, B ise yarım daire yayı üzerinde yer alıyor. Verilen şartlar:
- O merkezli çemberin yarım daire kısmında ölçüsü m(BAC) = 60° olan bir açı vardır.
- |AB| = 2 birimdir.
Şekilde genellikle iki “taralı” dairesel bölge (segment) dikkate alınır:
- AB kirişinin üzerindeki dairesel yay parçası.
- BC kirişinin üzerindeki dairesel yay parçası.
Bu iki segmentin alanları toplanarak sonuca ulaşılır.
2. Temel Terimler
- Yarım Daire (Semicircle): Bir çemberin çap ile ikiye bölünmüş kısmı.
- Merkez (O): Çemberin merkez noktası, yarıçapların kesişim yeri.
- Kiriş (Chord): Çember üzerindeki iki noktayı birleştiren doğru parçası.
- Dairesel Yay Parçası (Segment): Bir kirişin ayırdığı çember dilimi ile kiriş arasındaki bölge.
- Açı Ölçüsü (m(BAC)): A noktasında oluşan açı 60° olarak verilmiştir.
- AB = 2 birim: A ve B noktalarını birleştiren kirişin uzunluğu 2’dir.
3. Adım Adım Çözüm
3.1 Yarıçapın (R) Bulunması
- Merkez O, A ve C noktalarını kapsayacak biçimde çemberin tam merkezinde olsun.
- A ve C çapın uçları olduğundan |OA| = |OC| = R olsun.
- B, yarım dairenin üst yayı üzerinde konumlandığından OB = R olur.
- Verilen |AB| = 2 ve ∠BAC = 60° bilgisi yardımıyla R’yi buluruz.
Koordinat yöntemiyle (veya üçgen ilişkileriyle) gösterilebilir ki
- R = 2 birim (ayrıntılı ispatta B noktasının koordinatları hesaplanır ve çember denkleminden R=2 bulunur).
3.2 Üçgenlerdeki Temel Açı Hesapları
- |OA| = |OB| = 2 olduğundan üçgen AOB, eşkenar olmayan bir ikizkenar formuna yakın.
- Vektörel veya trigonometrik hesapla ∠AOB = 60° bulunur.
- Diğer tarafta ∠BOC = 120° çıkar (çünkü O=(-2,0) ile B ve C arasındaki nokta farkı incelenerek dot product yöntemiyle cos(120°)= -1/2 elde edilir).
3.3 Segment Alanı Formülleri
Bir segment alanı = (Daire dilimi alanı) − (İlgili üçgen alanı).
Segment AOB
- Dilim AOB’nin alanı (merkez açısı 60° = π/3 radyan):
$
\text{Dilim Alanı} = \frac{60^\circ}{360^\circ} \times \pi R^2
= \frac{1}{6} \times \pi \times (2^2)
= \frac{2\pi}{3}.
$ - Üçgen AOB’nin alanı:
$
\text{Alan} = \tfrac{1}{2} \cdot OA \cdot OB \cdot \sin(\angle AOB)
= \tfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sin 60^\circ
= 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
= \sqrt{3}.
$ - Segment AOB alanı
$
= \frac{2\pi}{3} ;-; \sqrt{3}.
$
Segment BOC
- Dilim BOC’nin alanı (merkez açısı 120° = 2π/3 radyan):
$
\text{Dilim Alanı} = \frac{120^\circ}{360^\circ} \times \pi R^2
= \frac{1}{3} \times \pi \times (2^2)
= \frac{4\pi}{3}.
$ - Üçgen BOC’nin alanı:
$
\text{Alan} = \tfrac{1}{2} \cdot OB \cdot OC \cdot \sin(\angle BOC)
= \tfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sin 120^\circ
= 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
= \sqrt{3}.
$ - Segment BOC alanı
$
= \frac{4\pi}{3} ;-; \sqrt{3}.
$
3.4 Taralı Alanların Toplamı
Soruda genellikle taralı şeklinde verilen parçalar bu iki segmenttir: Segment AOB ve Segment BOC. Dolayısıyla:
$
\text{Toplam Taralı Alan}
= \left(\frac{2\pi}{3} - \sqrt{3}\right) ;+; \left(\frac{4\pi}{3} - \sqrt{3}\right)
= \frac{6\pi}{3} - 2\sqrt{3}
= 2\pi - 2\sqrt{3}.
$
Bu da çoktan seçmeli şıklara bakıldığında A) 2π − 2√3 değerine karşılık gelmektedir.
4. Özet Tablo
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Yarıçap (R) Bulma | ∠BAC=60°, AB=2 verisinden R=2 | R=2 |
| 2. ∠AOB ve ∠BOC Hesapları | Dot product veya trigonometri | ∠AOB=60°; ∠BOC=120° |
| 3. Segment AOB Alanı | (2π/3) − √3 | |
| 4. Segment BOC Alanı | (4π/3) − √3 | |
| 5. Toplam Taralı Alan | [ (2π/3) − √3 ] + [ (4π/3) − √3 ] | 2π − 2√3 |
5. Sonuç ve Kısa Özet
Bu problemde yarıçapı 2 olarak bulunan yarım dairede, iki kiriş (AB ve BC) üzerindeki dairesel segmentlerin toplam alanı 2π − 2√3 birim² olarak hesaplanır. Kritik aşamalar; R’nin 2 olduğunu bulma, merkez açılarının 60° ve 120° olduğunu belirleme, sonra her bir segmentin alanını (dilim eksi üçgen) bulmaktır.
Dolayısıyla taralı alanların toplamı:
2π − 2√3 birim²’dir.