# Yfnsa

**URL:** <https://sorumatik.co/t/yfnsa/205785>\
**Category:** 10.sınıf\
**Tags:** ödev, matematik\
**Created:** [Nisan 15, 2025, 2:24ös UTC](https://sorumatik.co/t/yfnsa/205785 "2025-04-15T14:24:57Z")\
**Posts on this page:** 1\
**Showing post:** 4

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Sorumatik\_Ogretmen](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sorumatik_ogretmen/32/30517_2.png) [@Sorumatik\_Ogretmen](https://sorumatik.co/u/Sorumatik_Ogretmen)\
**Post date:** [Nisan 15, 2025, 2:25ös UTC](https://sorumatik.co/t/yfnsa/205785/4 "2025-04-15T14:25:49Z")

</div>

## **Köşegen sayısı bir köşesinden geçen köşegen sayısının 4 katına eşit olan dış bükey çokgenin kenar sayısı kaçtır?**

**Cevap:**

Aşağıdaki adımlarda soruyu ayrıntılı biçimde çözeceğiz. Verilen ifade şudur:  
• Bir dış bükey çokgende, toplam köşegen sayısı (T), bir köşesinden çıkan köşegen sayısının (M) tam **4 katına** eşittir.

Önce bazı temel tanımlara göz atalım:

## **İçindekiler**

1. 
  - 

2. 
  - 

3. 
  - 

4. 
  - 

5. 
  - 

6. 
  - 

7. [Kaynaklar](#kaynaklar)

* * *

## **1. Temel Tanımlar ve Formüller**

Bir dış bükey n-gen (yani n kenarlı dış bükey çokgen) için:

1. **Köşegen (Diagonal):** Bir çokgende, iki köşeyi birleştiren ve kenarlardan biri olmayan doğru parçalarına köşegen denir.
2. **Dış Bükey Çokgen (Convex Polygon):** Tüm iç açılarının ölçüsü $180^\circ$’ten küçük olduğu çokgendir. Burada, kenar sayısı n \ge 3 olmalıdır.

### **Köşegenlerle İlgili Temel Formüller**

- Toplam köşegen sayısı:

T = \frac{n(n - 3)}{2}

- Bir köşeden geçen köşegen sayısı:

M = n - 3

**Neden M = n - 3?** Bir köşeden o köşe hariç diğer tüm köşelere çizilebilecek çizgiler toplam n-1 tanedir. Ancak, bunlardan ikisini zaten bitişik kenarlar (o köşeye komşu olan kenarlar) oluşturduğundan, geriye köşegen olarak kabul edilebilecek n-3 çizgi kalır.

* * *

## **2. Köşegen Sayısı Formülleri**

Bir dış bükey n-genin:

1. **Toplam köşegen sayısı** – T:

T = \frac{n(n - 3)}{2}

1. **Bir köşesinden geçen köşegen sayısı** – M:

M = n - 3

Soru metninde:

> “Köşegen sayısı bir köşesinden geçen köşegen sayısının 4 katına eşit olan dış bükey çokgenin kenar sayısı kaçtır?”

ifadesi doğrultusunda **verilen denklem** :

T = 4 \cdot M

Biçiminde yazabiliriz.

* * *

## **3. Adım Adım Çözüm**

### **Adım 1: Temel Denklem Kurulumu**

Yukarıda verdiğimiz formülleri kullanarak:

1. Toplam köşegen sayısı, T = \frac{n(n - 3)}{2}
2. Bir köşeden geçen köşegen sayısı, M = n - 3

Verilen problemde T = 4 \cdot M olduğundan:

\frac{n(n - 3)}{2} = 4 \cdot (n - 3)

### **Adım 2: Denklemi Çözme**

Denklemi daha basit hale getirmek için her iki tarafı 2 ile çarparız:

n(n - 3) = 8 (n - 3)

Sol tarafı açalım:

n^2 - 3n = 8n - 24

Tüm terimleri bir tarafa toplayalım:

n^2 - 3n - 8n + 24 = 0

n^2 - 11n + 24 = 0

### **Adım 3: Elde Edilen İkinci Derece Denklemi Çözme**

Oluşan denklem:

n^2 - 11n + 24 = 0

Bu denklemi çarpanlara ayırmaya çalışalım:

- 24’ü çarpanlarıyla düşünürsek (1,24), (2,12), (3,8), (4,6)…
- Toplamları -11 edeceği şekilde negatif işaretlere dikkat ederek (n-8)(n-3) formu uygundur.

Dolayısıyla:

(n - 8)(n - 3) = 0

### **Adım 4: Denklemin Köklerini Bulma**

Denklemin kökleri şunlardır:

1. n = 8
2. n = 3

**n = 3** için durum:

- Bir üçgenin (n=3) köşegen sayısı sıfırdır: T=0.
- Bir köşeden geçen köşegen sayısı da sıfırdır: M=0.
- Dolayısıyla T = 4 \cdot M eşitliği 0 = 4 \cdot 0 şeklinde sağlanır, ancak üçgende köşegen yoktur. Genelde bu tür sorularda “köşegeni olan” bir çokgen kastedilir. Minimum köşegen oluşabilmesi için n\>3 olmalıdır.

**n = 8** için durum:

- n=8 olduğunu düşünelim (sekizgen). Bir dışbükey sekizgen vardır ve köşegenler anlamlı bir sayıdadır. Her köşeden geçen köşegen sayısı 8-3=5, toplam köşegen sayısı \frac{8(8-3)}{2} = \frac{8 \cdot 5}{2} = 20 olur.
- Kontrol edelim: “Toplam 20 köşegen, bir köşesinden 5 köşegen geçmektedir, 20 = 4 \cdot 5” tam olarak sağlanır.

Dolayısıyla **geçerli (işlevsel) çözüm** n=8 olarak bulunur.

* * *

## **4. Örnek Hesaplamalar ve Denemeler**

Bu bölümde, farklı n değerleri için T ve M değerlerine göz atalım:

| n | Toplam Köşegen (T = n(n-3)/2) | Bir Köşeden Köşegen (M = n-3) | T = 4M Denklemi Sağlar mı? |
| --- | --- | --- | --- |
| 3 | 0 | 0 | T = 0, 4M = 0 → Evet (ancak 3gen köşegeni yok) |
| 4 | 2 | 1 | 2 = 4\*1 → Hayır (2 = 4) Yanlış |
| 5 | 5 | 2 | 5 = 4\*2 → Hayır (5 = 8) Yanlış |
| 6 | 9 | 3 | 9 = 4\*3 → Hayır (9 = 12) Yanlış |
| 7 | 14 | 4 | 14 = 4\*4 → Hayır (14 = 16) Yanlış |
| 8 | 20 | 5 | 20 = 4\*5 → Evet (20 = 20) Doğru |
| 9 | 27 | 6 | 27 = 4\*6 → Hayır (27 = 24) Yanlış |

Tablodan da görüleceği üzere **n=8** değeriyle eşitlik sağlanmakta, n=3 de teknik olarak sağlansa da “köşegeni olan dış bükey çokgen” şartını gerçek manada karşılayan **tek** anlamlı değer $n=8$’dir.

* * *

## **5. Genel Sonuç ve Kısa Özet**

• **Problem** : Köşegen sayısı (T), bir köşeden geçen köşegen sayısının (M) 4 katına eşitse, dış bükey çokgenin kaç kenarı vardır?  
• **Çözüm** : T = \frac{n(n-3)}{2} ve M = n-3 formüllerini kullanıp T=4M denklemini çözdük.  
• **Çıkan Denklemler** : n(n-3)/2 = 4(n-3) \implies n^2 - 11n + 24=0 \implies n=3 \text{ veya } n=8.  
• **Yorum** : Üçgende köşegen olmadığı (köşegen sayısı sıfır) için asıl geçerli çözüm, **sekizgen (n=8)** olarak alınır.

Dolayısıyla aradığımız dışbükey çokgenin kenar sayısı **8** ’dir.

* * *

## **6. Özet Tablo**

Aşağıdaki tabloda denklem çözüm adımlarını ve elde edilen değerleri özetlemekteyiz:

| **Adım** | **İşlem** | **Sonuç** |
| --- | --- | --- |
| 1. Formüllerin Belirlenmesi | T = \frac{n(n-3)}{2} ve M = n-3 | Bu formüllerle T=4M denklemi kurulacak |
| 2. Denklem Kurulumu | \frac{n(n - 3)}{2} = 4(n - 3) | Eşitliği elde ediyoruz |
| 3. Her İki Tarafı 2 ile Çarpma | n(n - 3) = 8(n - 3) | |
| 4. Genişletme ve Düzenleme | n^2 - 3n = 8n -24 \implies n^2 - 11n + 24 = 0 | İkinci dereceden denklem |
| 5. Köklerin Bulunması | (n - 8)(n -3) = 0 | n=8 veya n=3 |
| 6. Mantıksal Seçim | n=3 üçgende köşegen yok. Uygun çokgen için n=8 | Sekizgen cevabı |
| 7. Sonuç | Kenar sayısı = **8** | Cevap: **8** |

* * *

## **7. Kaynaklar**

- Ortaöğretim Matematik Ders Kitapları (MEB Yayınları)
- Temel Geometri Kavramları ve Problemler, Açıköğretim Kaynakları
- OpenStax Geometry (İngilizce Kaynak)

* * *

## **Sonuç ve Özet**

Bu tür bir soruda, dış bükey n-genin köşegen sayısı formülü (T = n(n -3)/2) ve tek bir köşeden çıkan köşegen sayısı formülü (M = n-3) yardımıyla T=4M koşulu sağlanarak ikinci dereceden denklem çözülür. Elde edilen n=8 değeri, söz konusu çokgenin **sekizgen** olduğunu gösterir.

@Meryem_Memisoglu

---

_[View the full topic](https://sorumatik.co/t/yfnsa/205785)._