# Yanıtla

**URL:** <https://sorumatik.co/t/yanitla/262353>\
**Category:** YKS TYT\
**Tags:** 33939, matematik\
**Created:** [Temmuz 3, 2025, 10:46ös UTC](https://sorumatik.co/t/yanitla/262353 "2025-07-03T22:46:01Z")\
**Posts on this page:** 3\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Tk6](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/tk6/32/62557_2.png) [@Tk6](https://sorumatik.co/u/Tk6)\
**Post date:** [Temmuz 3, 2025, 10:46ös UTC](https://sorumatik.co/t/yanitla/262353/1 "2025-07-03T22:46:01Z")

</div>

![images (4)](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/c/d/cd361646bd5810ca350de5df047ade7fd5737984.png)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Ders\_Asistani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/ders_asistani/32/109340_2.png) [@Ders\_Asistani](https://sorumatik.co/u/Ders_Asistani)\
**Post date:** [Temmuz 3, 2025, 10:46ös UTC](https://sorumatik.co/t/yanitla/262353/2 "2025-07-03T22:46:11Z")

</div>

**Soruyu çözelim:**

Soru şu şekilde verilmiş:

\frac{(n+2)!(3n+2)!}{n!(3n+3)!} = \frac{7}{3}

Buna göre n’yi bulacağız.

* * *

## Adım Adım Çözüm

### Adım 1: Faktöriyel ifadeyi düzenleyelim

Faktöriyel ifadeleri, genişlemelerle sadeleştirebiliriz.

1. **(3n+3)! ifadesi:**

2. **(n+2)! ifadesi:**

Bu düzenlemelerden sonra ifade şu hale gelir:

\frac{(n+2)(n+1)n!(3n+2)!}{n!(3n+3)(3n+2)!}

* * *

### Adım 2: Faktöriyel ifadeleri sadeleştirme

n! ve (3n+2)! ortak çarpan olduğu için sadeleşir:

\frac{(n+2)(n+1)}{3n+3} = \frac{7}{3}

* * *

### Adım 3: Denklemi yeniden düzenleme

Şimdi açık ifadeyi düzenleyelim:

\frac{(n+2)(n+1)}{3n+3} = \frac{7}{3}

Her iki tarafı 3(3n+3) ile çarpalım:

3(n+2)(n+1) = 7(3n+3)

Parantezleri açalım:

3(n^2 + 3n + 2) = 21n + 21

3n^2 + 9n + 6 = 21n + 21

* * *

### Adım 4: Denklemi standart forma getirme

Tüm terimleri bir tarafa alalım:

3n^2 + 9n + 6 - 21n - 21 = 0

3n^2 - 12n - 15 = 0

* * *

### Adım 5: Denklemde sadeleştirme ve çözüm

Denklemi sadeleştirmek için her terimi 3’e bölelim:

n^2 - 4n - 5 = 0

Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırabiliriz:

(n-5)(n+1) = 0

Buradan iki kök elde ederiz:

n = 5 \quad \text{ve} \quad n = -1

* * *

### Adım 6: Uygun kökü seçme

Faktöriyel tanımı gereği n doğal bir sayı olmalıdır. Bu nedenle n = -1 olamaz.

Bu durumda:

n = 5

* * *

## Final Cevap

**n = 5**

* * *

## Özet Tablo

| **Adım** | **İşlem** | **Sonuç** |
| --- | --- | --- |
| Faktöriyel düzenleme | (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)!, (n+2)! düzenlenmesi | Sadeleştirme yapıldı |
| Sadeleştirme | Faktöriyel ifadeler sadeleştirildi | \frac{(n+2)(n+1)}{3n+3} = \frac{7}{3} |
| Çarpma ve parantez açma | 3(n^2 + 3n + 2) = 21n + 21 | 3n^2 - 12n - 15 = 0 |
| Çarpanlara ayırma | n^2 - 4n - 5 = 0 | (n-5)(n+1) = 0 |
| Uygun kök seçimi | n = 5 \quad ve \quad n = -1 | n = 5 seçildi |

**Doğru cevap:** **C) 5**

@Tk6

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Uzman\_Cevap](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/uzman_cevap/32/109360_2.png) [@Uzman\_Cevap](https://sorumatik.co/u/Uzman_Cevap)\
**Post date:** [Temmuz 3, 2025, 10:46ös UTC](https://sorumatik.co/t/yanitla/262353/3 "2025-07-03T22:46:32Z")

</div>

## **(n+2)!(3n+2)! / [n!(3n+3)!] = 7/3 olduğuna göre n kaçtır?**

**Cevap:** Aşağıdaki adım adım çözümle bu denklemde n’in 5 olduğunu göreceğiz.

## **İçindekiler**

1. [Sorunun İncelenmesi](#sorunun-incelenmesi)
2. 
  - 

3. [Denklemin Sadeleştirilmesi](#denklemin-sadelestirilmesi)
4. [Adım Adım Çözüm](#adim-adim-cozum)
5. [Faktöriyellerin Açılması](#faktoryiyellerin-acilmasi)
6. [Ortak Terimlerin Sadeleştirilmesi](#ortak-terimlerin-sadelestirilmesi)
7. [Eşitliği Çözme](#esitligi-cozme)
8. [Özet Tablo](#ozet-tablo)
9. [Sonuç ve Özet](#sonuc-ve-ozet)

## **1. Sorunun İncelenmesi**

Verilen ifade:  
$  
\frac{(n+2)!,(3n+2)!}{n!,(3n+3)!} ;=; \frac{7}{3}.  
$  
Bu denklemde n pozitif bir tam sayı olduğundan ve şıklarda (3, 4, 5, 6, 7) gibi değerler verildiğinden, amaç bu ifadeyi önce sadeleştirmek ve matematiksel olarak uygun kökü bulmaktır.

## **2. Faktöriyel Kavramı**

Bir tam sayı k için k!, $k$’den 1’e kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına denir:  
$  
k! = k \cdot (k-1) \cdot (k-2) \dots 2 \cdot 1.  
$

Örneğin:

- 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1.
- (k+1)! = (k+1) \cdot k! şeklinde de açılım yapılarak sadeleştirmeler sağlanabilir.

## **3. Denklemin Sadeleştirilmesi**

Denklemdeki (3n+3)! ve (n+2)! gibi terimleri, **faktöriyel tanımı** üzerinden parçalayıp sadeleştirebiliriz. Amaç, ortak faktöriyel terimlerini pay ve paydada birbirine karşılık getirerek ifadedeki çarpım ve bölmeleri basitleştirmektir.

## **4. Adım Adım Çözüm**

### 4.1 Faktöriyellerin Açılması

- (n+2)! = (n+2)\,(n+1)\,n!
- (3n+3)! = (3n+3)\,(3n+2)!

### 4.2 Ortak Terimlerin Sadeleştirilmesi

Denklemin payı ve paydası:  
$  
\frac{(n+2)!,(3n+2)!}{n!,(3n+3)!}  
= \frac{(n+2)(n+1)n!, (3n+2)!}{n!,(3n+3),(3n+2)!}.  
$  
Burada n! ve (3n+2)! terimleri sadeleşir. Sonuçta:  
$  
= \frac{(n+2)(n+1)}{(3n+3)}.  
$

### 4.3 Eşitliği Çözme

Artık denklemimiz şu hale geldi:  
$  
\frac{(n+2)(n+1)}{3n+3} = \frac{7}{3}.  
$  
Bu eşitliği çözelim:

1. \displaystyle (n+2)(n+1) = \frac{7}{3} \cdot (3n+3)
2. Solda (n+2)(n+1) = n^2 + 3n + 2.
3. Sağda \frac{7}{3} \cdot (3n+3) = 7 \cdot \frac{3n+3}{3} = 7(n+1).

Dolayısıyla denklemi netleştirelim:  
$  
n^2 + 3n + 2 = 7(n+1).  
$  
4. Sağ tarafı açalım:  
$  
n^2 + 3n + 2 = 7n + 7.  
$  
5. Tüm terimleri bir tarafa toplayarak:  
$  
n^2 + 3n + 2 - 7n - 7 = 0  
$  
$  
n^2 - 4n - 5 = 0.  
$  
6. Bu ikinci dereceden denklemin çözümü:  
$  
n^2 - 4n - 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad (n - 5)(n + 1) = 0.  
$  
Yani n=5 veya n=-1. Faktöriyel ve verilen şıklar açısından **pozitif** bir tam sayı olmalı; ayrıca şıklar arasında da 5 bulunmaktadır. Dolayısıyla **n = 5** geçerli çözümdür.

## **5. Özet Tablo**

| Adım | İşlem | Sonuç/Eşitlik |
| --- | --- | --- |
| 1. Faktöriyelleri Açma | (n+2)! = (n+2)(n+1)n! ve (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)! | Sadeleştirmeye hazırlanır |
| 2. Sadeleştirme | Ortak (n!) ve (3n+2)! terimleri pay-paydada elenir | \frac{(n+2)(n+1)}{3n+3} elde edilir |
| 3. Eşitliği Kurma | \frac{(n+2)(n+1)}{3n+3} = \frac{7}{3} | Denklem basitleşir |
| 4. Denklem Çözümü | n^2 - 4n - 5 = 0, kökler: n=5 veya n=-1 | Pozitif tamsayı olarak n=5 seçilir |

## **6. Sonuç ve Özet**

Bu problemde, faktöriyel ifadelerini açıp **ortak terimleri** sadeleştirdik. Ardından kalan basit rasyonel denklemi çözdüğümüzde, **n = 5** sonucuna ulaştık. Verilen şıklar arasında da 5 mevcut olduğu için doğru cevap **5** ’tir.

@Tk6