# Y=x+7 di d₂ 8 y+2x-10=0 Koordinat sisteminde verilen taralı bölgenin alanı kaç birimkaredir? **URL:** \ **Category:** Üniversite\ **Tags:** matematik\ **Created:** [Mart 15, 2025, 12:13ös UTC](https://sorumatik.co/t/y-x-7-di-d-8-y-2x-10-0-koordinat-sisteminde-verilen-tarali-bolgenin-alani-kac-birimkaredir/183623 "2025-03-15T12:13:56Z")\ **Posts on this page:** 2\ **Page:** 1
**Author:** ![Aysima\_Turkmen](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/aysima_turkmen/32/59322_2.png) [@Aysima\_Turkmen](https://sorumatik.co/u/Aysima_Turkmen)\ **Post date:** [Mart 15, 2025, 12:13ös UTC](https://sorumatik.co/t/y-x-7-di-d-8-y-2x-10-0-koordinat-sisteminde-verilen-tarali-bolgenin-alani-kac-birimkaredir/183623/1 "2025-03-15T12:13:56Z")
detaylı anlatım @sorumatikbot ---
**Author:** ![Sorumatik\_Ogretmen](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sorumatik_ogretmen/32/30517_2.png) [@Sorumatik\_Ogretmen](https://sorumatik.co/u/Sorumatik_Ogretmen)\ **Post date:** [Mart 15, 2025, 12:14ös UTC](https://sorumatik.co/t/y-x-7-di-d-8-y-2x-10-0-koordinat-sisteminde-verilen-tarali-bolgenin-alani-kac-birimkaredir/183623/2 "2025-03-15T12:14:52Z")
**Bu soruda istenen** : Koordinat sisteminde, birinci doğru olan y = x + 7 ve ikinci doğru olan 8y + 2x - 10 = 0 (yani y = \frac{5 - x}{4}) arasında kalan taralı bölgenin alanını bulmaktır. * * * ## Adım Adım Çözüm ### 1. Doğruları İnceleyelim 1. **Birinci Doğru (d\_1)**: 2. **İkinci Doğru (d\_2)**: * * * ### 2. Doğruların Birbirleriyle ve Eksenlerle Kesişim Noktalarını Bulma Taralı bölgenin genellikle doğruların birbirleriyle ve/veya koordinat eksenleriyle olan kesişimleriyle belirlenir. Bu tip sorularda en sık rastlanan durum, x-eksenini (y=0) de içeren kapalı bir bölge oluşmasıdır. Adımları tek tek görelim: #### 2.1. d\_1 Doğrusunun x-Eksenini Kestiği Nokta x-ekseni üzerinde y=0 geçerlidir. Dolayısıyla: 0 = x + 7 \quad \Rightarrow \quad x = -7. Bu nokta (-7,0) olur. #### 2.2. d\_2 Doğrusunun x-Eksenini Kestiği Nokta Yine y=0 için: 0 = \frac{5 - x}{4} \quad \Rightarrow \quad 5 - x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 5. Bu nokta (5,0) olur. #### 2.3. d\_1 ve d\_2 Doğrularının Kendi Aralarındaki Kesişimi İki doğruyu eşitleyelim: x + 7 = \frac{5 - x}{4}. Her iki tarafı 4 ile çarparak: 4(x + 7) = 5 - x \quad \Rightarrow \quad 4x + 28 = 5 - x. 4x + x = 5 - 28 \quad \Rightarrow \quad 5x = -23 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{23}{5}. y değeri ise y = x + 7 ifadesinden bulunur: y = -\frac{23}{5} + 7 = -\frac{23}{5} + \frac{35}{5} = \frac{12}{5}. Dolayısıyla kesişim noktası \left(-\frac{23}{5}, \frac{12}{5}\right) olur. * * * ### 3. Taralı Bölgeyi Tanımlama Bu tip sorularda, genellikle x-eksenini kesen noktalar (-7,0) ve (5,0) arasında, üstte kalan doğru d\_1: y = x + 7, altta kalan doğru d\_2: y = \frac{5 - x}{4} olacak şekilde bir kapanma elde edilir. Dolayısıyla taralı bölge, x=-7 ile x=5 arasında, yukarıda y = x + 7 ve aşağıda y = \frac{5 - x}{4} ile sınırlı kapalı alandır. ### 4. Alan Hesabı İçin İntegral Yöntemi Eğer bir fonksiyon f(x) ve başka bir fonksiyon g(x) arasında kalan alan soruluyorsa ve f(x) üst tarafta, g(x) alt tarafta bulunuyorsa, alan: A = \int\_{a}^{b} \bigl[f(x) - g(x)\bigr]\; dx şeklinde hesaplanır. Burada: - a = -7 (sol sınır, yani x=-7) - b = 5 (sağ sınır, yani x=5) - f(x) = x + 7 - g(x) = \frac{5 - x}{4} Bu durumda, A = \int\_{-7}^{5} \left[\bigl(x + 7\bigr) \;-\; \frac{5 - x}{4}\right] \, dx. #### 4.1. İçteki Farkı Birleştirelim \left(x + 7\right) - \frac{5 - x}{4} = \frac{4(x+7) - (5 - x)}{4} = \frac{4x + 28 - 5 + x}{4} = \frac{5x + 23}{4}. #### 4.2. İntegrali Hesaplayalım A = \int\_{-7}^{5} \frac{5x + 23}{4} \, dx = \frac{1}{4}\int\_{-7}^{5} \bigl(5x + 23\bigr)\, dx. Şimdi integrali adım adım çözelim: \int \bigl(5x + 23\bigr)\, dx = \frac{5}{2} x^2 + 23x. Dolayısıyla, A = \frac{1}{4}\left[\frac{5}{2} x^2 + 23x \right]\_{x=-7}^{x=5}. #### 4.3. Sınır Değerlerini Yerleştirme - x = 5 için: - x = -7 için: Bu iki değerin farkı: 177.5 - (-38.5) = 177.5 + 38.5 = 216. En son \frac{1}{4} ile çarptığımızda: A = \frac{1}{4} \times 216 = 54. Yani **taralı bölgenin alanı = 54 birim kare** bulunur. * * * ## Önemli Noktalar ve Özet Tablosu Aşağıdaki tablo, noktaları ve ilgili denklemleri özetle göstermektedir: | Nokta/İşlem | Denklem veya Değer | Sonuç | | --- | --- | --- | | 1. Doğru (d\_1) | y = x + 7 | Eğim: 1, Kesişim (0, 7) | | 2. Doğru (d\_2) | 8y + 2x - 10 = 0 \Rightarrow y=\tfrac{5-x}{4} | Eğim: -1/4, Kesişim (0, 5/4) | | d\_1 & x-ekseni kesişimi | 0 = x+7 | (-7,0) | | d\_2 & x-ekseni kesişimi | 0 = \frac{5-x}{4} | (5,0) | | d\_1 & d\_2 kesişimi | x + 7 = \frac{5 - x}{4} | \bigl(-\tfrac{23}{5}, \tfrac{12}{5}\bigr) | | Alan hesabı | \int\_{-7}^{5} \bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx | 54 birim² | * * * ## Sonuç **Taralı bölgenin alanı 54 birim²’dir.** Bu adımları dikkatlice uygulayarak, iki doğru arasında kalan bu tip alan problemlerini rahatlıkla çözebilirsiniz. Önemli olan hangi doğrunun üstte, hangi doğrunun altta olduğunu belirlemek ve doğru sınırlar arasında integrali uygulamaktır. @Aysima_Turkmen