# Y = cot(π - 1/x) - csc²(π - 1/x)

**URL:** <https://sorumatik.co/t/y-cot-1-x-csc-1-x/701363>\
**Category:** Question Answer\
**Created:** [Kasım 15, 2026, 12:26ös UTC](https://sorumatik.co/t/y-cot-1-x-csc-1-x/701363 "2026-11-15T12:26:50Z")\
**Posts on this page:** 2\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![beril\_74](https://sorumatik.co/letter_avatar_proxy/v4/letter/b/9d8465/32.png) [@beril\_74](https://sorumatik.co/u/beril_74)\
**Post date:** [Kasım 15, 2026, 12:26ös UTC](https://sorumatik.co/t/y-cot-1-x-csc-1-x/701363/1 "2026-11-15T12:26:50Z")

</div>

1. 

y = \cot(\pi - \frac{1}{x}) - \csc^2(\pi - \frac{1}{x})

1. 

y = 5 \cos^{-4} x

 ![y = cot(π - 1/x) - csc²(π - 1/x) 18.](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/5/e/5e8268e7969cc6a089998738d61558a528bd5f4e.jpeg)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Akademik\_Rehber](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/akademik_rehber/32/235405_2.png) [@Akademik\_Rehber](https://sorumatik.co/u/Akademik_Rehber)\
**Post date:** [Kasım 15, 2026, 12:27ös UTC](https://sorumatik.co/t/y-cot-1-x-csc-1-x/701363/2 "2026-11-15T12:27:08Z")

</div>

## Trigonometrik Fonksiyonlarda Zincir Kuralı ile Türev Alma

💡 **KULLANILAN FORMÜL / KURAL:** Bileşke fonksiyonların türevinde **Zincir Kuralı (Chain Rule)** uygulanır: \frac{d}{dx}[f(u)] = f'(u) \cdot u'. Trigonometrik fonksiyonların temel türev kuralları şunlardır:

\frac{d}{dx}(\cot u) = -\csc^2(u) \cdot u', \quad \frac{d}{dx}(\csc u) = -\csc(u)\cot(u) \cdot u', \quad \frac{d}{dx}(u^n) = n u^{n-1} \cdot u'

* * *

### 🧠 ÇÖZÜM ADIMLARI

#### Soru 16: y = \cot\left(\pi - \frac{1}{x}\right) - \csc^2\left(\pi - \frac{1}{x}\right) Fonksiyonunun Türevi

**Adım 1 — İç Fonksiyonun Türevini Belirleme**  
İçteki ifadeye u = \pi - \frac{1}{x} = \pi - x^{-1} diyelim. u’nun x’e göre türevi:

u' = 0 - (-1 \cdot x^{-2}) = \frac{1}{x^2}

**Adım 2 — Her İki Terimin Türevini Zincir Kuralı ile Alma**

- Birinci terim: \frac{d}{dx}[\cot(u)] = -\csc^2(u) \cdot u'
- İkinci terim: \frac{d}{dx}[\csc^2(u)] = 2\csc(u) \cdot \frac{d}{dx}[\csc(u)] = 2\csc(u) \cdot \big(-\csc(u)\cot(u) \cdot u'\big) = -2\csc^2(u)\cot(u) \cdot u'

İfadeleri yerine yazıp y' türevini oluşturalım:

y' = -\csc^2(u) \cdot u' - \left[-2\csc^2(u)\cot(u) \cdot u'\right] = u' \cdot \csc^2(u)\big(2\cot(u) - 1\big)

u = \pi - \frac{1}{x} ve u' = \frac{1}{x^2} değerlerini yerine yazalım:

y' = \frac{1}{x^2} \csc^2\left(\pi - \frac{1}{x}\right)\left[2\cot\left(\pi - \frac{1}{x}\right) - 1\right]

_(İndirgeme bağıntıları kullanılırsa \csc(\pi - \theta) = \csc\theta ve \cot(\pi - \theta) = -\cot\theta olduğundan sonuç -\frac{1}{x^2}\csc^2\left(\frac{1}{x}\right)\left[2\cot\left(\frac{1}{x}\right) + 1\right] olarak da yazılabilir.)_

* * *

#### Soru 18: y = 5\cos^{-4}(x) Fonksiyonunun Türevi

**Adım 1 — Kuvvet ve Zincir Kuralını Uygulama**  
İfadeyi y = 5(\cos x)^{-4} biçiminde ele alalım. Kuvvet kuralı gereğince üs başa katsayı olarak gelir, üs 1 azaltılır ve için türevi (\cos x’in türevi) ile çarpılır:

y' = 5 \cdot (-4)(\cos x)^{-4 - 1} \cdot \frac{d}{dx}(\cos x)

**Adım 2 — İfadeyi Sadeleştirme**  
\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x olduğundan:

y' = -20(\cos x)^{-5} \cdot (-\sin x)

y' = 20\cos^{-5}(x)\sin x = \frac{20\sin x}{\cos^5 x} = 20\tan(x)\sec^4(x)

* * *

✅ **CEVAP:**

- **16. Soru:** y' = \mathbf{\frac{1}{x^2} \csc^2\left(\pi - \frac{1}{x}\right)\left[2\cot\left(\pi - \frac{1}{x}\right) - 1\right]}
- **18. Soru:** y' = \mathbf{20\cos^{-5}(x)\sin x} \left(\text{veya } \mathbf{\frac{20\sin x}{\cos^5 x}}\right)

⚠ **SINAV NOTU / PÜF NOKTASI:** Trigonometrik fonksiyonların kuvvetlerinin türevini alırken en sık yapılan hata içinin türevini (\cos x’in türevi olan -\sin x) çarpmayı unutmak veya eksi işaretlerini karıştırmaktır. Negatif iki işaretin çarpımının pozitif ((-20) \cdot (-\sin x) = +20\sin x) olduğuna dikkat edilmelidir.