# X ve y tam sayı olmak üzere **URL:** \ **Category:** Question Answer\ **Created:** [Kasım 7, 2026, 2:41ös UTC](https://sorumatik.co/t/x-ve-y-tam-sayi-olmak-uzere/700020 "2026-11-07T14:41:39Z")\ **Posts on this page:** 12\ **Page:** 1
**Author:** ![Oguzhan\_Elkan](https://sorumatik.co/letter_avatar_proxy/v4/letter/o/858c86/32.png) [@Oguzhan\_Elkan](https://sorumatik.co/u/Oguzhan_Elkan)\ **Post date:** [Kasım 7, 2026, 2:41ös UTC](https://sorumatik.co/t/x-ve-y-tam-sayi-olmak-uzere/700020/1 "2026-11-07T14:41:39Z")
x ve y tam sayı olmak üzere x \cdot y = 3x + 2y + 14 eşitliği veriliyor. Buna göre bu eşitliği sağlayan kaç farklı x tam sayı değeri vardır? A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12 ![x ve y tam sayı olmak üzere x · y = 3x + 2y + 14 eşitliği veriliyor.](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/9/3/937610c37c872f9944f4b0d2954ef1fdd61598ee.jpeg) ---
**Author:** ![Akademik\_Rehber](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/akademik_rehber/32/235405_2.png) [@Akademik\_Rehber](https://sorumatik.co/u/Akademik_Rehber)\ **Post date:** [Kasım 7, 2026, 2:41ös UTC](https://sorumatik.co/t/x-ve-y-tam-sayi-olmak-uzere/700020/2 "2026-11-07T14:41:57Z")
## İki Değişkenli Tam Sayı Denklemleri ve Çarpanlara Ayırma 💡 **KULLANILAN FORMÜL / KURAL:** İki bilinmeyenli tam sayı denklemlerinde değişkenler gruplandırılarak **çarpanlara ayırma yöntemi** uygulanır veya değişkenlerden biri yalnız bırakılarak bir tamsayının **tam bölen sayısı** (2 \cdot (a+1)(b+1)\dots) kuralından faydalanılır. * * * ### 🧠 ÇÖZÜM ADIMLARI **Adım 1 — Değişkenleri Gruplandırma ve Çarpanlara Ayırma** Verilen x \cdot y = 3x + 2y + 14 eşitliğinde terimleri bir tarafa toplayıp y parantezine alalım veya eşitliği çarpanlarına ayıralım: x \cdot y - 2y = 3x + 14 y(x - 2) = 3x + 14 Her iki tarafı x - 2 ifadesine bölerek y’yi x cinsinden yazalım (x \neq 2): y = \frac{3x + 14}{x - 2} = \frac{3(x - 2) + 20}{x - 2} = 3 + \frac{20}{x - 2} _(Alternatif olarak: (x - 2)(y - 3) = 20 şeklinde iki çarpanın çarpımı elde edilir.)_ **Adım 2 — Tam Sayı Bölenlerini Belirleme** y bir tam sayı olduğuna göre, \frac{20}{x - 2} kesri de bir tam sayı olmalıdır. Dolayısıyla (x - 2) ifadesi 20 sayısının bir tam sayı böleni olmak zorundadır. 20 sayısını asal çarpanlarına ayıralım: 20 = 2^2 \cdot 5^1 20’nin pozitif bölen sayısı (PBS): \text{PBS} = (2 + 1) \cdot (1 + 1) = 3 \cdot 2 = 6 Tam sayı bölen sayısı (TBS), pozitif ve negatif bölenlerin toplamıdır: \text{TBS} = 2 \cdot \text{PBS} = 2 \cdot 6 = 12 (x - 2) değeri \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20 olmak üzere 12 farklı değer alabilir. Her farklı (x - 2) değeri için birbirinden farklı bir x tam sayısı (x = (x-2) + 2) ve buna karşılık gelen bir y tam sayısı oluşur. * * * ✅ **CEVAP:** **E) 12** (x değişkeni için 12 farklı tam sayı değeri vardır) ⚠ **SINAV NOTU / PÜF NOKTASI:** Soruda x ve y’nin yalnızca “pozitif tam sayı” değil, genel olarak “tam sayı” belirtildiğine dikkat edilmelidir. Bu nedenle negatif bölenler de hesaba katılarak pozitif bölen sayısı mutlaka 2 ile çarpılmalıdır. ---
**Author:** ![Oguzhan\_Elkan](https://sorumatik.co/letter_avatar_proxy/v4/letter/o/858c86/32.png) [@Oguzhan\_Elkan](https://sorumatik.co/u/Oguzhan_Elkan)\ **Post date:** [Kasım 7, 2026, 2:44ös UTC](https://sorumatik.co/t/x-ve-y-tam-sayi-olmak-uzere/700020/3 "2026-11-07T14:44:09Z")
@Akademik_Rehber anlamadım mala anlatır gibi sana zahmet anlat ---
**Author:** ![Akademik\_Rehber](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/akademik_rehber/32/235405_2.png) [@Akademik\_Rehber](https://sorumatik.co/u/Akademik_Rehber)\ **Post date:** [Kasım 7, 2026, 2:44ös UTC](https://sorumatik.co/t/x-ve-y-tam-sayi-olmak-uzere/700020/4 "2026-11-07T14:44:16Z")
En baştan, adım adım ve en sade haliyle anlatalım: **1. Verilen denklemi kutu çarpımı haline getirelim:** Eşitliğimiz şu: x \cdot y = 3x + 2y + 14 Tüm harfleri sol tarafa toplayalım: x \cdot y - 3x - 2y = 14 Şimdi amacımız burayı iki parantezin çarpımı yapmak: (x - 2) \cdot (y - 3) Bu parantezleri açarsan ne gelir? x \cdot y - 3x - 2y + 6 Fazladan bir +6 geldi. O yüzden her iki tarafa da 6 ekleyelim: (x - 2) \cdot (y - 3) = 14 + 6 (x - 2) \cdot (y - 3) = 20 * * * **2. Olay aslında sadece şu:** Hangi iki tam sayıyı çarparsan **20** eder? (x - 2) sayısı, 20’yi tam bölen sayılar olmak zorundadır. 20’yi bölen sayılar: - **Pozitifler:** 1, 2, 4, 5, 10, 20 (toplam 6 tane) - **Negatifler:** -1, -2, -4, -5, -10, -20 (toplam 6 tane) Toplamda 6 + 6 = 12 farklı sayı 20’yi böler. * * * **3. x değerlerini bulma:** (x - 2) bu 12 sayıdan her birine eşit olabilir: - x - 2 = 1 \implies x = 3 - x - 2 = 2 \implies x = 4 - x - 2 = -1 \implies x = 1 - … bu şekilde her bölen için farklı bir x çıkar. 12 tane bölen olduğu için x de tam **12 farklı değer** alır. **Cevap: E (12)** ---
**Author:** ![Oguzhan\_Elkan](https://sorumatik.co/letter_avatar_proxy/v4/letter/o/858c86/32.png) [@Oguzhan\_Elkan](https://sorumatik.co/u/Oguzhan_Elkan)\ **Post date:** [Kasım 7, 2026, 2:45ös UTC](https://sorumatik.co/t/x-ve-y-tam-sayi-olmak-uzere/700020/5 "2026-11-07T14:45:56Z")
@Akademik_Rehber dahaa matematiği 0 birine anlatır gibi ---
**Author:** ![Akademik\_Rehber](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/akademik_rehber/32/235405_2.png) [@Akademik\_Rehber](https://sorumatik.co/u/Akademik_Rehber)\ **Post date:** [Kasım 7, 2026, 2:46ös UTC](https://sorumatik.co/t/x-ve-y-tam-sayi-olmak-uzere/700020/6 "2026-11-07T14:46:05Z")
Hiç formül, kural veya denklem bilmene gerek yok. İlkokul mantığıyla adım adım gidelim: * * * ### 1. Basamak: y’yi yalnız bırakalım Elimizdeki soru şu: x \cdot y = 3x + 2y + 14 İçinde y olanları bir tarafa toplayalım (2y’yi sol tarafa eksi olarak at): x \cdot y - 2y = 3x + 14 Sol tarafı y parantezine alalım (ikisinde de y var): y \cdot (x - 2) = 3x + 14 Şimdi iki tarafı da (x - 2)'ye bölelim ki y tek başına kalsın: y = \frac{3x + 14}{x - 2} * * * ### 2. Basamak: Bakkal bölmesi yapalım Yukarıdaki kesri daha kolay görmek için 3x + 14’ü x - 2’ye bölelim: - 3x’in içinde x, **3** kere var. - 3 ile (x - 2)'yi çarparsan 3x - 6 yapar. - 14’ten -6’yı çıkarırsan kalan **20** olur. Yani bu kesir aslında şudur: y = 3 + \frac{20}{x - 2} * * * ### 3. Basamak: Asıl can alıcı nokta Soruda bize diyor ki: **y bir tam sayı olsun** (yani küsuratlı, virgüllü çıkmasın). y’nin tam çıkması için: \frac{20}{x - 2} kısmının tam bölünmesi gerekir. Yani alttaki **(x - 2) sayısı, 20’yi tam bölen bir sayı olmalıdır.** Peki 20’yi hangi sayılar tam böler? Sayalım: **Pozitif olanlar:** - 20 \div 1 = 20 (olur) - 20 \div 2 = 10 (olur) - 20 \div 4 = 5 (olur) - 20 \div 5 = 4 (olur) - 20 \div 10 = 2 (olur) - 20 \div 20 = 1 (olur) 👉 Burada **6 tane** sayı var. **Negatif olanlar:** (Eksi sayılar da tam sayıdır, onları da alıyoruz) - -1, -2, -4, -5, -10, -20 👉 Burada da **6 tane** sayı var. Toplamda 20’yi bölen **12 tane** sayı vardır. * * * ### 4. Basamak: Sonuç (x - 2) ifadesi bu 12 sayıdan herhangi biri olabilir. Örneğin: - x - 2 = 1 ise \rightarrow x = 3 - x - 2 = 2 ise \rightarrow x = 4 - x - 2 = -1 ise \rightarrow x = 1 Gördüğün gibi her bir bölen için farklı bir x sayısı bulursun. 12 tane bölen olduğu için, x de **12 farklı değer** alır. **Doğru Seçenek: E) 12** ---
**Author:** ![Oguzhan\_Elkan](https://sorumatik.co/letter_avatar_proxy/v4/letter/o/858c86/32.png) [@Oguzhan\_Elkan](https://sorumatik.co/u/Oguzhan_Elkan)\ **Post date:** [Kasım 7, 2026, 2:47ös UTC](https://sorumatik.co/t/x-ve-y-tam-sayi-olmak-uzere/700020/7 "2026-11-07T14:47:34Z")
@Akademik_Rehber hiç anlamadım 0 ---
**Author:** ![Akademik\_Rehber](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/akademik_rehber/32/235405_2.png) [@Akademik\_Rehber](https://sorumatik.co/u/Akademik_Rehber)\ **Post date:** [Kasım 7, 2026, 2:47ös UTC](https://sorumatik.co/t/x-ve-y-tam-sayi-olmak-uzere/700020/8 "2026-11-07T14:47:42Z")
Tüm harfleri, cebiri, bölmeleri unut. Sadece **elma hesabı** ve **çarpım tablosu** ile bakalım. * * * ### Tek bir oyun var: “Çarpımları 20 yapan sayılar” Soru bize gizli bir bulmaca vermiş. Bu bulmacanın sadeleşmiş hali sadece şu: \text{BİRİNCİ KUTU} \times \text{İKİNCİ KUTU} = 20 İki sayıyı çarpacaksın ve sonuç **20** çıkacak. Başka hiçbir kural yok. * * * ### Hangi sayıları çarparsan 20 eder? Parmakla sayalım: **Artı olanlar:** 1. 1 \times 20 = 20\rightarrow Birinci kutu **1** olabilir 2. 2 \times 10 = 20\rightarrow Birinci kutu **2** olabilir 3. 4 \times 5 = 20\rightarrow Birinci kutu **4** olabilir 4. 5 \times 4 = 20\rightarrow Birinci kutu **5** olabilir 5. 10 \times 2 = 20\rightarrow Birinci kutu **10** olabilir 6. 20 \times 1 = 20\rightarrow Birinci kutu **20** olabilir Burada **6 tane** durum var. * * * **Eksi olanlar:** (İki eksiyi çarparsan artı yapar, borç hesabı gibi düşün) 1. (-1) \times (-20) = 20 \rightarrow Birinci kutu **-1** olabilir 2. (-2) \times (-10) = 20 \rightarrow Birinci kutu **-2** olabilir 3. (-4) \times (-5) = 20\rightarrow Birinci kutu **-4** olabilir 4. (-5) \times (-4) = 20\rightarrow Birinci kutu **-5** olabilir 5. (-10) \times (-2) = 20 \rightarrow Birinci kutu **-10** olabilir 6. (-20) \times (-1) = 20 \rightarrow Birinci kutu **-20** olabilir Burada da **6 tane** durum var. * * * ### Sonuç Birinci kutu toplam kaç farklı sayı olabildi? 6 + 6 = 12 \text{ tane} İşte bu birinci kutunun içine x saklanmış. Kutu 12 farklı sayı olabiliyorsa, **x de tam 12 farklı değer alır.** **Cevap: E (12)** ---
**Author:** ![Oguzhan\_Elkan](https://sorumatik.co/letter_avatar_proxy/v4/letter/o/858c86/32.png) [@Oguzhan\_Elkan](https://sorumatik.co/u/Oguzhan_Elkan)\ **Post date:** [Kasım 7, 2026, 2:49ös UTC](https://sorumatik.co/t/x-ve-y-tam-sayi-olmak-uzere/700020/9 "2026-11-07T14:49:41Z")
@Akademik_Rehber 20 nerden geldi ---
**Author:** ![Akademik\_Rehber](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/akademik_rehber/32/235405_2.png) [@Akademik\_Rehber](https://sorumatik.co/u/Akademik_Rehber)\ **Post date:** [Kasım 7, 2026, 2:49ös UTC](https://sorumatik.co/t/x-ve-y-tam-sayi-olmak-uzere/700020/10 "2026-11-07T14:49:52Z")
O **20** sayısının nereden geldiğini en net şekilde gösterelim: Soruda verilen orijinal eşitlik şuydu: x \cdot y = 3x + 2y + 14 Bütün harfleri sol tarafa (eşitliğin soluna) atalım: x \cdot y - 3x - 2y = 14 * * * ### Şimdi şu parantez açma işlemine bakalım: Elimizde (x - 2) ve (y - 3) diye iki parantez olduğunu düşün. Bunları birbiriyle çarparsan: - x ile y’yi çarp \rightarrow \mathbf{x \cdot y} - x ile -3’ü çarp \rightarrow \mathbf{-3x} - -2 ile y’yi çarp \rightarrow \mathbf{-2y} - En sondaki sayıları çarp: (-2) \times (-3) = \mathbf{+6} Hepsini yan yana yazarsan: (x - 2) \cdot (y - 3) = x \cdot y - 3x - 2y + 6 * * * ### İşte 20’nin geldiği yer: Bizim elimizdeki ifadede (x \cdot y - 3x - 2y) kısmı zaten **14** ’e eşitti. Yukarıdaki çarpımda fazladan bir **+6** çıktı. Terazinin dengesi bozulmasın diye eşitliğin iki tarafına da **6** ekliyoruz: (x \cdot y - 3x - 2y) + 6 = 14 + 6 - Sol taraf parantezlerin çarpımı oldu: (x - 2) \cdot (y - 3) - Sağ taraf ise: 14 + 6 = \mathbf{20} oldu. Özetle: Sorudaki **14** sayısına, parantezleri kapatırken ortaya çıkan **6** sayısı eklendiği için sonuç **20** oldu. ---
**Author:** ![Oguzhan\_Elkan](https://sorumatik.co/letter_avatar_proxy/v4/letter/o/858c86/32.png) [@Oguzhan\_Elkan](https://sorumatik.co/u/Oguzhan_Elkan)\ **Post date:** [Kasım 7, 2026, 2:50ös UTC](https://sorumatik.co/t/x-ve-y-tam-sayi-olmak-uzere/700020/11 "2026-11-07T14:50:06Z")
@Akademik_Rehber paranteze nasıl aldın neden aldın ---
**Author:** ![Akademik\_Rehber](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/akademik_rehber/32/235405_2.png) [@Akademik\_Rehber](https://sorumatik.co/u/Akademik_Rehber)\ **Post date:** [Kasım 7, 2026, 2:50ös UTC](https://sorumatik.co/t/x-ve-y-tam-sayi-olmak-uzere/700020/12 "2026-11-07T14:50:20Z")
İki sorunu da tek tek, en çıplak mantığıyla anlatalım: * * * ### 1. NEDEN paranteze aldık? (Amacımız neydi?) Elimizdeki ifadeye bak: x \cdot y - 3x - 2y = 14 Burada x ve y harfleri çorba gibi birbirine girmiş durumda. Sonsuz tane sayı uydurabilirsin; hangisinin tam sayı çıkacağını tahmin etmek imkansızdır. Ama ifadeyi şöyle yaparsak: \text{(1. Kutu)} \times \text{(2. Kutu)} = 20 İş bir anda ilkokul çarpım tablosuna döner. Çünkü **çarpımları 20 yapan tam sayılar bellidir ve sınırlıdır** (1 \times 20, 2 \times 10, 4 \times 5 gibi). Yani paranteze almanın tek sebebi: **Tahmin edilemez bir denklemi, ilkokul çarpım tablosuna çevirmektir.** * * * ### 2. NASIL paranteze aldık? (Sayılara nasıl karar verdik?) Bu işin çok basit bir şablonu (hilesi) vardır. Adım adım izle: Elimizde şu var: x \cdot y - 3x - 2y **1. Adım:** İki tane boş parantez aç ve başlarına x ile y yaz (çünkü çarpınca x \cdot y gelmesi lazım): (x \quad\dots) \cdot (y \quad\dots) **2. Adım:** Sorudaki -3x ifadesine bak. - Soldaki x’i sağdaki neyle çarparsan **-3x** olur? - Tabii ki **-3** ile! - O yüzden y’nin yanına **-3** yaz: (x \quad\dots) \cdot (y - 3) **3. Adım:** Şimdi sorudaki -2y ifadesine bak. - Sağdaki y’yi soldaki neyle çarparsan **-2y** olur? - Tabii ki **-2** ile! - O yüzden x’in yanına **-2** yaz: (x - 2) \cdot (y - 3) Parantezleri oluşturmak bu kadar kolaydır; sadece x ve y’nin önündeki sayılara bakarız. * * * ### Küçük bir pürüz: Fazlalık sayı Şimdi bu bulduğumuz (x - 2) \cdot (y - 3) parantezlerini geri çarparsak: - x \cdot y gelir (soruda var) - -3x gelir (soruda var) - -2y gelir (soruda var) - Bir de en sondaki iki sayının çarpımı gelir: (-2) \times (-3) = \mathbf{+6} Bu +6 soruda yoktu, parantez yapınca kendiliğinden doğdu. Matematikte eşitliğin bir tarafına durduk yere +6 ekleyemezsin; eşitlik bozulur. Terazi dengede kalsın diye karşıdaki **14** ’e de **6** ekledik: 14 + 6 = \mathbf{20} Böylece denklem tam olarak şuna dönüştü: (x - 2) \cdot (y - 3) = 20