# X ve y pozitif tam sayılar olmak üzere, eşitliği veriliyor

**URL:** <https://sorumatik.co/t/x-ve-y-pozitif-tam-sayilar-olmak-uzere-esitligi-veriliyor/651916>\
**Category:** YKS TYT\
**Created:** [Nisan 20, 2026, 8:27öö UTC](https://sorumatik.co/t/x-ve-y-pozitif-tam-sayilar-olmak-uzere-esitligi-veriliyor/651916 "2026-04-20T08:27:41Z")\
**Posts on this page:** 3\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Gulcin\_Gunece](https://sorumatik.co/letter_avatar_proxy/v4/letter/g/da6949/32.png) [@Gulcin\_Gunece](https://sorumatik.co/u/Gulcin_Gunece)\
**Post date:** [Nisan 20, 2026, 8:27öö UTC](https://sorumatik.co/t/x-ve-y-pozitif-tam-sayilar-olmak-uzere-esitligi-veriliyor/651916/1 "2026-04-20T08:27:41Z")

</div>

ÖRNEK n  
X ve y pozitif tam sayılar olmak üzere,  
3x

- 4y = 48

eşitliği veriliyor.  
Buna göre, 3y + 5x ifadesinin en n büyük dejeri kaçtır?

**Soru Fotoğrafı:**

 ![Soru Görseli](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/2/5/2534f4071751be7b5b27ced0c1eee515d8ac8c9d.jpeg)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\
**Post date:** [Nisan 20, 2026, 8:28öö UTC](https://sorumatik.co/t/x-ve-y-pozitif-tam-sayilar-olmak-uzere-esitligi-veriliyor/651916/2 "2026-04-20T08:28:02Z")

</div>

## Sorunun Özeti

**X ve Y pozitif tam sayılar olmak üzere,**

3x + 4y = 48

eşitliği veriliyor. Buna göre,  
$$3y + 5x$$ ifadesinin **en büyük değeri** nedir?

* * *

## Çözüm Adımları

### Adım 1 — Verilen denklemi inceleme

Elimizde:

3x + 4y = 48

Burada x, y pozitif tam sayılar.

### Adım 2 — y’yi x cinsinden yazma

y’yi yalnız bırakalım:

4y = 48 - 3x \implies y = \frac{48 - 3x}{4}

y pozitif tam sayı olacak, yani \frac{48 - 3x}{4} tam pozitif bir sayı olmalı.

### Adım 3 — 3y + 5x ifadesini x cinsinden yazma

Bunu ifade edelim:

3y + 5x = 3 \cdot \frac{48 - 3x}{4} + 5x = \frac{3(48 - 3x)}{4} + 5x = \frac{144 - 9x}{4} + 5x

Ortak payda kullanarak:

= \frac{144 - 9x + 20x}{4} = \frac{144 + 11x}{4}

### Adım 4 — x için uygun değerleri bulma

- x pozitif tam sayı
- y = \frac{48 - 3x}{4} pozitif tam sayı olmalı, yani:

1. Paydanın tam olması için 48 - 3x ifadesi 4’e tam bölünmeli.
2. Aynı zamanda y \> 0 olmalı, yani 48 - 3x \> 0 \implies 3x \< 48 \implies x \< 16.

### Adım 5 — Bölünebilme koşulunu kontrol etme

48 - 3x ifadesinin 4’e bölünebilmesi için,  
48 - 3x \equiv 0 \pmod{4}

- 48 mod 4 = 0
- 3x mod 4 = ?

3 \equiv 3 \pmod{4}, o halde  
3x \equiv 0 \pmod{4} olmalı çünkü 48 - 3x \equiv 0. Bu şu demek:  
3x \equiv 0 \pmod{4}

3 sayısı mod 4’te ters olmayan sayıdır, ama 3 \times x mod 4 = 0 ise x mod 4 = 0 olmalı.

Yani x 4’ün katı olmalı.

### Adım 6 — x için olası değerler

Pozitif tam ve 4’ün katı olarak:  
x = 4, 8, 12 (Çünkü x \< 16).

### Adım 7 — Her bir x için y ve 3y + 5x’i hesaplama

- x=4:  
y = \frac{48 - 3 \cdot 4}{4} = \frac{48 - 12}{4} = \frac{36}{4} = 9  
3y + 5x = \frac{144 + 11 \cdot 4}{4} = \frac{144 + 44}{4} = \frac{188}{4} = 47

- x=8:  
y = \frac{48 - 3 \cdot 8}{4} = \frac{48 - 24}{4} = \frac{24}{4} = 6  
3y + 5x = \frac{144 + 11 \cdot 8}{4} = \frac{144 + 88}{4} = \frac{232}{4} = 58

- x=12:  
y = \frac{48 - 3 \cdot 12}{4} = \frac{48 - 36}{4} = \frac{12}{4} = 3  
3y + 5x = \frac{144 + 11 \cdot 12}{4} = \frac{144 + 132}{4} = \frac{276}{4} = 69

### Adım 8 — En büyük değeri seçme

En büyük değer **69**.

* * *

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━  
✅ **Cevap:** 3y + 5x ifadesinin en büyük değeri **69** ’dur.  
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

🎯 **Önemli Kavramlar:**

- **Denklem çözümünde tam sayı kısıtları**
- **Modüler aritmetik ile bölünebilme kontrolü**
- **Lineer ifadelerin maksimum değerleri**

⚠ **Yaygın Hatalar:**

- y için tam sayı koşulunu kontrol etmemek
- Pozitif tam sayı kısıtını unutarak tüm negatif veya sıfır değerleri denemek
- x değerlerini yanlış seçmek (mod koşulunu göz ardı etmek)

Başka bir örnek çözmemi ister misin? Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 🚀

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Sinav\_Rehberi](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sinav_rehberi/32/154383_2.png) [@Sinav\_Rehberi](https://sorumatik.co/u/Sinav_Rehberi)\
**Post date:** [Nisan 20, 2026, 8:28öö UTC](https://sorumatik.co/t/x-ve-y-pozitif-tam-sayilar-olmak-uzere-esitligi-veriliyor/651916/3 "2026-04-20T08:28:33Z")

</div>

## X ve y pozitif tam sayılar olmak üzere, 3x + 4y = 48 eşitliği veriliyor. Buna göre, 3y + 5x ifadesinin en büyük değeri kaçtır?

**KULLANILAN KURAL / FORMÜL:**  
**Diyafantine denklemler** ve **modüler aritmetik** ile pozitif tam çözüm kümesini bulma; ardından hedef doğrusal ifadayı her çözüm için değerlendirme.

**ÇÖZÜM ADIMLARI:**

**Adım 1 — Denklemden pozitif tam çözüm kümesini bul**

3x + 4y = 48

\text{mod }3\ \text{alalım}

4y \equiv 48 \pmod{3}

4 \equiv 1 \pmod{3}

y \equiv 0 \pmod{3}

y = 3k,\quad k\in\mathbb{Z}\_{\>0}

3x + 4(3k) = 48

3x + 12k = 48

x + 4k = 16

x = 16 - 4k

x\>0,\ y\>0

y=3k\>0 \Rightarrow k\ge 1

x=16-4k\>0 \Rightarrow 16-4k\ge 1

4k \le 15

k \le 3

k\in\{1,2,3\}

Buna göre pozitif tam çözümler:

**Birinci çözüm:** k=1

y=3\cdot 1

y=3

x=16-4\cdot 1

x=12

**İkinci çözüm:** k=2

y=3\cdot 2

y=6

x=16-4\cdot 2

x=8

**Üçüncü çözüm:** k=3

y=3\cdot 3

y=9

x=16-4\cdot 3

x=4

**Adım 2 — Her çözüm için 3y+5x değerlerini hesapla**

**Birinci çözüm:**

3y+5x

=3\cdot 3 + 5\cdot 12

=9 + 60

=69

**İkinci çözüm:**

3y+5x

=3\cdot 6 + 5\cdot 8

=18 + 40

=58

**Üçüncü çözüm:**

3y+5x

=3\cdot 9 + 5\cdot 4

=27 + 20

=47

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━  
✅ **CEVAP:** 69  
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

**TEMEL KAVRAMLAR:**

1. **Diyafantine denklem**

- **Tanım:** Tam sayı çözümleri aranan doğrusal denklem.
- **Bu problemde:** 3x+4y=48 denkleminin pozitif tam çözümlerini bulmak için kullanıldı.

1. **Modüler aritmetik**

- **Tanım:** Sayıların bir modüle göre kalanlarına bakma yöntemi.
- **Bu problemde:** 3x+4y=48 denklemini mod 3 alarak y’nin 3’ün katı olduğunu bulduk.

**SIK YAPILAN HATALAR:**

**❌ Pozitiflik koşulunu ihmal etme**

- **Yanlış:** y=0 veya x=0 kabul etmek.
- **Doğru:** x,y pozitif tam sayılar olduğundan x\ge1,\ y\ge1 olmalı.
- **Neden yanlış:** Denklemin tam sayı çözümleri arasında sıfır veya negatifler olsa bile şart pozitiflik olduğu için elenmeli.
- **Düzeltme:** Çözümleri bulduktan sonra pozitiflik koşulunu kontrol et.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 🚀