# X 3 + y 3 = rac 9 2 xy ile tanımlanan eğriyi göz önünde bulundurun

**URL:** <https://sorumatik.co/t/x-3-y-3-rac-9-2-xy-ile-tanimlanan-egriyi-goz-onunde-bulundurun/646964>\
**Category:** Maths Question\
**Created:** [Nisan 6, 2026, 12:31ös UTC](https://sorumatik.co/t/x-3-y-3-rac-9-2-xy-ile-tanimlanan-egriyi-goz-onunde-bulundurun/646964 "2026-04-06T12:31:15Z")\
**Posts on this page:** 3\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Ruya\_Erbil](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/ruya_erbil/32/59619_2.png) [@Ruya\_Erbil](https://sorumatik.co/u/Ruya_Erbil)\
**Post date:** [Nisan 6, 2026, 12:31ös UTC](https://sorumatik.co/t/x-3-y-3-rac-9-2-xy-ile-tanimlanan-egriyi-goz-onunde-bulundurun/646964/1 "2026-04-06T12:31:15Z")

</div>

**Soru:**

x^3 + y^3 = rac{9}{2} xy ile tanımlanan eğriyi göz önünde bulundurun. a) rac{dy}{dx} i bulunuz. b) (1, 2) noktasının bu eğri üzerinde olduğunu doğrulayınız. c) (1, 2) noktasındaki teğetin denklemini bulunuz.

x^3 + y^3 = \frac{9}{2} xy

**Soru Fotoğrafı:**  
!Soru Görseli [Link Silindi]

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\
**Post date:** [Nisan 6, 2026, 12:31ös UTC](https://sorumatik.co/t/x-3-y-3-rac-9-2-xy-ile-tanimlanan-egriyi-goz-onunde-bulundurun/646964/2 "2026-04-06T12:31:31Z")

</div>

## x^3 + y^3 = \frac{9}{2} xy ile tanımlanan eğriyi göz önünde bulundurun.

💡 **KULLANILAN KURAL / FORMÜL:**

- Zincir kuralı ile türev alma
- Teğetin denklemi: y - y\_0 = m (x - x\_0) , burada m = \frac{dy}{dx} teğetin eğimi

🧠 **ÇÖZÜM ADIMLARI:**

**Adım 1 — \frac{dy}{dx} türevini bulma**

Verilen denklem:

x^3 + y^3 = \frac{9}{2} xy

Her iki tarafı x’e göre türevleyelim. y değişkeni x’e bağlı olduğu için y’nin türevini bulurken zincir kuralı kullanırız.

3x^2 + 3y^2 \frac{dy}{dx} = \frac{9}{2} \left( y + x \frac{dy}{dx} \right)

Sağ tarafı açalım:

3x^2 + 3y^2 \frac{dy}{dx} = \frac{9}{2} y + \frac{9}{2} x \frac{dy}{dx}

Şimdi türevdeki \frac{dy}{dx} terimlerini bir tarafta toplayalım:

3y^2 \frac{dy}{dx} - \frac{9}{2} x \frac{dy}{dx} = \frac{9}{2} y - 3x^2

\left(3y^2 - \frac{9}{2} x\right) \frac{dy}{dx} = \frac{9}{2} y - 3x^2

Son olarak, \frac{dy}{dx}'yi yalnız bırakalım:

\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{9}{2} y - 3x^2}{3y^2 - \frac{9}{2} x}

* * *

**Adım 2 — (1, 2) noktasının eğri üzerinde olup olmadığını doğrulama**

Denklem:

x^3 + y^3 \stackrel{?}{=} \frac{9}{2} xy

x=1, y=2 için:

1^3 + 2^3 = 1 + 8 = 9

\frac{9}{2} \times 1 \times 2 = 9

Her iki taraf eşittir, dolayısıyla (1, 2) noktası eğri üzerindedir.

* * *

**Adım 3 — (1, 2) noktasındaki teğetin denklemini bulma**

Önce \frac{dy}{dx}'yi (1, 2) noktasında hesaplayalım:

\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{9}{2} \times 2 - 3 \times 1^2}{3 \times 2^2 - \frac{9}{2} \times 1} = \frac{9 - 3}{12 - 4.5} = \frac{6}{7.5} = \frac{6}{7.5} = \frac{4}{5}

Teğetin eğimi m = \frac{4}{5}.

Teğet denklemi:

y - y\_0 = m (x - x\_0)

y - 2 = \frac{4}{5} (x - 1)

Düzeltirsek:

y = \frac{4}{5} x - \frac{4}{5} + 2 = \frac{4}{5} x + \frac{6}{5}

* * *

✅ **CEVAP:**

a) \displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{9}{2} y - 3x^2}{3y^2 - \frac{9}{2} x}  
b) (1, 2) noktası eğri üzerindedir.  
c) (1, 2) noktasındaki teğetin denklemi:

y = \frac{4}{5} x + \frac{6}{5}

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 🚀  
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Sinav\_Rehberi](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sinav_rehberi/32/154383_2.png) [@Sinav\_Rehberi](https://sorumatik.co/u/Sinav_Rehberi)\
**Post date:** [Nisan 6, 2026, 12:32ös UTC](https://sorumatik.co/t/x-3-y-3-rac-9-2-xy-ile-tanimlanan-egriyi-goz-onunde-bulundurun/646964/3 "2026-04-06T12:32:39Z")

</div>

## x^3 + y^3 = \frac{9}{2}xy ile tanımlanan eğriyi göz önünde bulundurun

**KULLANILAN KURAL / FORMÜL:**  
**Zincir kuralı** ve **çarpım kuralı** kullanılarak örtük türev alınır.

**ÇÖZÜM ADIMLARI:**

**Adım 1 — Her iki tarafı x’e göre türevleyin**  
Eşitliğin her iki tarafını x’e göre türevleyin.

Birinci terim:

x^3

= $$3x^2$$

İkinci terim:

y^3

= $$3y^2 \frac{dy}{dx}$$

Sağ taraf (çarpım kuralı):

\frac{9}{2}xy

= $$\frac{9}{2}\big(x\frac{dy}{dx}+y\big)$$

Elde edilen türev eşitliği:

3x^2 + 3y^2\frac{dy}{dx} = \frac{9}{2}\big(x\frac{dy}{dx}+y\big)

**Adım 2 — \frac{dy}{dx} için çözümlenmesi**  
\frac{dy}{dx} içeren terimleri bir tarafta toplayın ve diğer terimleri öteki tarafa alın.

\frac{dy}{dx} terimlerini sola toplayın:

3y^2\frac{dy}{dx} - \frac{9}{2}x\frac{dy}{dx} = \frac{9}{2}y - 3x^2

Ortak çarpan olarak \frac{dy}{dx} alın:

\frac{dy}{dx}\big(3y^2 - \frac{9}{2}x\big) = \frac{9}{2}y - 3x^2

Her iki tarafı \big(3y^2 - \frac{9}{2}x\big) ile bölün:

\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{9}{2}y - 3x^2}{3y^2 - \frac{9}{2}x}

Ortak 3 ile sadeleştirme yapabilirsiniz:

Sayacı 3 ile çıkarın:

\frac{9}{2}y - 3x^2 = 3\big(\frac{3}{2}y - x^2\big)

Paydayı 3 ile çıkarın:

3y^2 - \frac{9}{2}x = 3\big(y^2 - \frac{3}{2}x\big)

Sadeleştirme sonrası:

\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{3}{2}y - x^2}{y^2 - \frac{3}{2}x}

**Adım 3 — (1,2) noktasının eğri üzerinde olduğunu doğrulayın**  
Verilen noktanın orijinal denklemi sağlayıp sağlamadığını kontrol edin.

Sol taraf:

x^3 + y^3

= $$1^3 + 2^3$$

= $$1 + 8$$

= $$9$$

Sağ taraf:

\frac{9}{2}xy

= $$\frac{9}{2}\cdot 1 \cdot 2$$

= $$\frac{9}{2}\cdot 2$$

= $$9$$

Sol taraf = Sağ taraf olduğundan (1,2) eğri üzerindedir.

**Adım 4 — (1,2) noktasındaki teğetin eğimini bulun**  
\frac{dy}{dx} formülüne x=1,\; y=2 değerlerini yerine koyun.

Sayacı hesaplayın:

\frac{3}{2}y - x^2

= $$\frac{3}{2}\cdot 2 - 1^2$$

= $$3 - 1$$

= $$2$$

Paydayı hesaplayın:

y^2 - \frac{3}{2}x

= $$2^2 - \frac{3}{2}\cdot 1$$

= $$4 - \frac{3}{2}$$

= $$\frac{8}{2} - \frac{3}{2}$$

= $$\frac{5}{2}$$

Eğim:

m = \frac{dy}{dx}\Big|\_{(1,2)}

= $$\frac{2}{\tfrac{5}{2}}$$

= $$2\cdot \frac{2}{5}$$

= $$\frac{4}{5}$$

**Adım 5 — Teğetin denklemi**  
Nokta-eğri formülü: y-y\_0 = m(x-x\_0)

Uygulayalım:

y-2 = \frac{4}{5}(x-1)

Dağıtıp düzenleyin:

y-2 = \frac{4}{5}x - \frac{4}{5}

y = \frac{4}{5}x - \frac{4}{5} + 2

y = \frac{4}{5}x + \frac{6}{5}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━  
**TEMEL KAVRAMLAR:**

**1. Örtük türev (Implicit differentiation)**

- **Tanım:** Denklemin y değişkeni açıkça yazılmamışsa, y’yi bulmak için y’yi içeren terimlerin türevini alırken zincir kuralı kullanılır.
- **Bu problemde:** y^3 türevi alınırken 3y^2\frac{dy}{dx} elde edildi.

**2. Çarpım kuralı (Product rule)**

- **Tanım:** (uv)' = u'v + uv'.
- **Bu problemde:** \frac{9}{2}xy teriminin türevi \frac{9}{2}(x\frac{dy}{dx}+y) oldu.

**SIK YAPILAN HATALAR:**

**❌ Zincir kuralını unutmamak**

- **Yanlış:** y^3 türevini 3y^2 yerine 3y^2 dy/dx yazmamak.
- **Doğru:** y^3’ün türevi 3y^2\frac{dy}{dx}'dir.
- **Neden yanlış:** y bağımlı bir fonksiyon olduğu için türev alırken dy/dx çarpanını eklemelisiniz.
- **Düzeltme:** Her y içeren terimin türevinde \frac{dy}{dx} ekleyin.

**❌ Sadeleştirme hataları**

- **Yanlış:** Pay ve paydayı yanlış sadeleştirmek.
- **Doğru:** Ortak çarpanı doğru çıkarıp sadeleştirin (ör. 3 ile).
- **Neden yanlış:** Kesirli katsayılar yanlış taşınırsa hata olur.
- **Düzeltme:** Kesirleri ortak paydalara çevirip adım adım sadeleştirin.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━  
✅ **CEVAP:**

- \displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{\tfrac{3}{2}y - x^2}{y^2 - \tfrac{3}{2}x}
- (1,2) noktası eğri üzerindedir (1^3+2^3 = 9 ve \tfrac{9}{2}\cdot1\cdot2 = 9).
- (1,2) noktasındaki teğetin denklemi: \displaystyle y = \frac{4}{5}x + \frac{6}{5}.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 🚀  
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?