Problem çözümü: “Başlangıçtan kaç saat sonra aralarındaki uzaklık üçüncü kez 120 km olur?”
Soru analizine geçmeden önce: Hareket problemlerinde hız, zaman ve mesafe ilişkilerini bulup matematiksel olarak ifade etmek gerekir.
Veriler:
-
Hızlar:
- İlk araç: 50 km/sa
- İkinci araç: 70 km/sa
-
Başlangıçtaki hareket:
- İki araç, farklı noktadan aynı anda ve aynı yöne doğru hareket ediyor.
- A ve B noktalarına vardıklarında, geri dönerek aynı hızla yollarına devam ediyorlar.
-
Önemli kilometre taşları:
- İlk 4 saatte aralarındaki uzaklık ikinci kez 100 km oluyor.
Sorunun çözüm aşamaları:
1. İlk 4 saatlik hareket:
Mesafeleri bulmak için, araçların 4 saat boyunca kat ettiği yolları hesaplayalım:
-
İlk aracın kat ettiği mesafe:
\text{Mesafe} = \text{Hız} \times \text{Zaman}50 \, \text{km/sa} \times 4 \, \text{sa} = 200 \, \text{km} -
İkinci aracın kat ettiği mesafe:
70 \, \text{km/sa} \times 4 \, \text{sa} = 280 \, \text{km}
Aralarındaki uzaklık, bu mesafeler farkı üzerinden 100 km olarak ikinci kez bulunmuş.
2. Aralarındaki uzaklık üçüncü kez 120 km olduğunda:
Hareket döngüsü devam ettiği için, araçların yollarını geometrik bir şekilde incelediğimizde şu döngü ortaya çıkar:
- İki araç, sürekli geri dönerek birbirine karşı hareket eder.
- Aralardaki uzaklık 120 km üçüncü kez oluşuncaya kadar, geçen süreleri hesaplamamız gerekir.
3. İki aracın birleşik hızlarını bulma:
Birbirine yaklaşan araçların birleşik hızı:
Bu hız, aralarındaki uzaklık farkını sabit bir şekilde değiştirecektir.
4. Üçüncü kez 120 km uzaklık oluşumu:
İlk iki uzaklık oluşumundan devam ederek:
- İkinci kez uzaklık 4 saat içerisinde oluşmuştu.
- Mantıksal olarak, üçüncü kez uzaklık oluşması için bir tam dönem daha eklenmesi gerekir.
Toplam süre:
Sonuç:
Başlangıçtan 7,5 saat sonra araçlar arasındaki uzaklık üçüncü kez 120 km olur.
Doğru cevap: C) 7,5
@username
Soru:
50 km/sa ve 70 km/sa sabit hızlarla, sırasıyla A ve B noktalarından harekete başlayan iki hareketli, A veya B uç noktalarına vardıklarında hızlarını değiştirmeden hemen geri dönerek aynı yolda gidip gelmektedir. Başlangıçtan 4 saat sonra, bu iki hareketli arasındaki mesafe ikinci kez 100 km oluyor. Buna göre, başlangıçtan kaç saat sonra aralarındaki uzaklık üçüncü kez 120 km olur?
A) 6,5
B) 7
C) 7,5
D) 8
E) 8,5
İçindekiler
1. Genel Bakış
Bu problemde, başlangıçta A ve B noktaları arasında duran iki aracın (veya hareketlinin) sabit hızlarla yaptıkları gidiş-geliş hareketine odaklanıyoruz. Araçlar A veya B noktasına ulaşınca geri dönerek aynı yolda hareket etmeye devam ederler.
Elimizde şu kritik bilgiler var:
- Aracın biri saatte 50 km, diğeri 70 km hızla hareket ediyor.
- Başlangıçtan 4 saat sonra, bu iki aracın arasındaki mesafe ikinci kez 100 km oluyor.
- Hedefimiz, üçüncü kez 120 km mesafesinin kaçıncı saatte sağlanacağını bulmaktır.
Buradaki en zorlayıcı nokta, araçların uç noktalara varınca dönmesi nedeniyle sürekli “karşılaştıkları” veya “aynı yönde birbirlerinden uzaklaştıkları” anların değişmesidir. Bu tip sorunlar, genelde “aynı doğru üzerinde tekrarlı gidiş-geliş yapan” cisimler için modüler veya yansıtma (mirror) yöntemleriyle çözülür.
2. Problemin Şeması ve Temel Kavramlar
- Uzaklık (AB): A ve B noktaları arasındaki başlangıç uzaklığına “L” diyelim. Bu L değerini problemdeki “4 saat sonra ikinci kez 100 km olma” şartı yardımıyla bulabiliriz.
- Hızlar:
- Birinci hareketli: 50 km/sa
- İkinci hareketli: 70 km/sa
- Toplam Hız (Relative Speed):
- Karşılıklı (zıt yönlü) harekette iki hız toplanır: 50 + 70 = 120 km/sa
- Aynı yönde hareket ettiklerinde hızlar farkı 70 – 50 = 20 km/sa olur (ama bu problemde genellikle hangi anda karşılıklı hangi anda aynı yönde hareket ettikleri, sınır noktaya varıp dönmelerinden dolayı zamanla değişecektir).
Önemli İlke:
İki hareketlinin bir doğru üzerinde tekrarlı gidiş-geliş yapması durumda, “aralarındaki mesafe” fonksiyonunu hesaplamanın pratik bir yolu vardır:
- Toplam kat edilen mesafe = (50 + 70) × t = 120t
- Bu toplam mesafe, her 2L mesafede bir “periyodik” davranış sergiler. Çünkü her biri uç noktalara gene geldiğinde sistem benzer bir konfigürasyonu tekrarlar.
Dolayısıyla, problem “aralarındaki uzaklık = 100 km” veya “aralarındaki uzaklık = 120 km” gibi belirli değerleri ne zaman sağladığını bulma üzerine kuruludur.
3. Hareketlilerin Konum Fonksiyonları ve “Mod” Yöntemi
Araçların konumlarını tam anlamıyla parça parça (A’dan B’ye, B’den A’ya) inceleyip hesap yapabiliriz. Fakat daha soğukkanlı bir yaklaşım “toplam yol” üzerinden işlem yapmaktır.
- S(t) = (v₁ + v₂) · t = 120t olsun.
- Bu S(t) değeri, 2L’lik “bölmeler” içinde hareketin tekrarlandığını ifade edecektir. Bir mod fonksiyonu gibi düşünülür:
- M(t) = S(t) mod (2L).
Gözlem:
- Eğer M(t) ≤ L ise iki araç “zıt yönlü” hareket konumundadır ve aralarındaki mesafe = L – M(t) şeklinde bulunur.
- Eğer M(t) > L ise (yani L < M(t) < 2L) bu kez aralarındaki mesafe = M(t) – L olur (bir bakıma “aynı yönde” aralanmaları gibi de düşünülebilir).
Bu formülü kullanarak, “aralarındaki mesafe” D(t) aşağıdaki gibi tanımlanabilir:
Burada M(t) = [120t] \mod (2L).
4. “Mesafe İkinci Kez 100 km Oldu” Koşulunu Kullanarak A-B Uzaklığını Belirlemek
4.1. Toplam Mesafe Hızı (Relative Speed) ve Tekrarlı Gidiş-Geliş
İki araç, ilk başta A ve B’de konumlanmış olsun. Aralarındaki ilk uzaklık = L. Başlangıç anı t=0 için D(0) = L. Problemde “L değeri” verilmiyor, ancak 4. saatte ikinci kez 100 km olduklarını bildiğimizden, L’yi bu bilgiyle bulmak mümkün.
Mantık şöyle işliyor:
- Belirli bir t değeri için “D(t) = 100 km” denklemini inceleyeceğiz.
- Bu 100 km eşitliğinin ikinci kez sağlanmasının t=4 saat olmasını şart koşarak L’yi çözeceğiz.
4.2. İki Zamanda 100 km Mesafesi Koşulu ve Denklemlerin Kurulması
Genel olarak D(t) = 100 olması için iki durum vardı:
- M(t) ≤ L ⇒ L - M(t) = 100 ⇒ M(t) = L - 100
- M(t) > L ⇒ M(t) - L = 100 ⇒ M(t) = L + 100
Ancak problem diyor ki:
- Bu eşitlik (D(t) = 100), ilk olarak t = t_1 anında gerçekleşsin.
- İkinci olarak da t = 4 saat anında gerçekleşsin.
Dolayısıyla 4 saat anı, ikinci kez 100 km mesafesinin görüldüğü zaman oluyor. Buradan yola çıkıp L için değerler test edilir.
Analiz sonucunda, en işe yarar ipucu, 4 saat sonunda mod değeri M(4) = 480 \mod (2L) ifadesinin ya (L – 100) ya da (L + 100) eşit olması gerektiğidir (çünkü aralarındaki mesafe o an 100 km olsun). Yapılan detaylı incelemede (veya denklemleri sistematik çözmede) şu sonuca varılır:
- Uygun L değeri = 380 km
Bu değer, “4. saat”in tam olarak ikinci kez 100 km’lik mesafeye denk gelmesini sağlar.
Sözün özü, A ile B arası uzaklığın 380 km olduğunu buluruz.
4.3. A-B Mesafesi Olarak 380 km’nin Bulunması
Bu sonucun arkasındaki kilit fikir şudur:
- 4 saatlik toplam mesafe = 120 × 4 = 480 km,
- “mod 2L” yaklaşımıyla \;480 \mod (2 \times 380) = 480 \mod 760 = 480\,
- \;480 > 380 olduğundan mesafe formülünün ikinci durumuna göre aradaki uzaklık = 480 - 380 = 100
- Üstelik “ilk kez 100 km olması” 4 saatten daha önce başka bir t değeriyle de çakışıyor ve 4. saat tam olarak “ikinci kez”i veriyor; bu da aradaki diğer tekrarları (mod artışlarını) tutarlı kılıyor.
5. Üçüncü Kez 120 km Mesafesine Ulaşma Zamanının Hesabı
Şimdi asıl soruya geldik: “Başlangıçtan itibaren aralarındaki uzaklık üçüncü kez ne zaman 120 km olur?”
Artık L = 380 km olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla:
Burada
5.1. Denklem: D(t) = 120
Mesafenin 120 km olması iki şekilde olur:
- M(t) \le 380 ise:
- M(t) > 380 ise:
Yani M(t), ya 260 ya da 500 dönüştürecek.
5.2. Çözüm Adımları ve Zamanların Sıralanması
- M(t) = 260 Denklemi:
Bu, “$120t = 260 + 760k$” şeklinde yazılır:
- k=0 için: t = 260/120 \approx 2{,}1667 saat (yaklaşık 2 saat 10 dakika)
- k=1 için: t = (260 + 760)/120 = 1020/120 = 8.5 \text{ saat}
- k=2 için: t = (260 + 1520)/120 = 1780/120 \approx 14.8333 \text{ saat}
vb.
- M(t) = 500 Denklemi:
Yani
- k=0 için: t = 500/120 \approx 4{,}1667 saat (yaklaşık 4 saat 10 dakika)
- k=1 için: t = (500 + 760)/120 = 1260/120 = 10.5 \text{ saat}
- k=2 için: t = (500 + 1520)/120 = 2020/120 \approx 16.8333 \text{ saat}
vb.
Bu iki “küme”yi zaman sıralamasına göre dizdiğimizde:
- 2,1667 saat (k=0, M(t)=260)
- 4,1667 saat (k=0, M(t)=500)
- 8,5 saat (k=1, M(t)=260)
- 10,5 saat (k=1, M(t)=500)
- … (bu şekilde devam eder)
Görüyoruz ki:
- Aralarındaki mesafe ilk kez 120 km olduğunda t \approx 2,1667 sa
- İkinci kez 120 km olduğunda t \approx 4,1667 sa
- Üçüncü kez 120 km olduğunda t = 8,5 sa
Dolayısıyla üçüncü kez 120 km’ye, 8,5 saat sonra ulaşılır.
5.3. Üçüncü Zamanın 8,5 Saat Olduğunun Gösterimi
Yukarıdaki liste net şekilde gösteriyor ki 8,5 saat, bu mesafenin sıradaki (üçüncü) gerçekleşme zamanıdır. Soru da tam bunu soruyor. Seçeneklerde de (E) 8,5 rakamına tekabül eder.
6. Örnek Zaman ve Mesafe Tablosu
Aşağıdaki tablo, sadece “120 km” mesafesi için ilk birkaç gerçekleşme anını özetler:
| Zaman (saat) | Mod Değeri M(t) | Aradaki Mesafe (km) | Hangi Kez? |
|---|---|---|---|
| 2,1667 (≈2,17) | 260 | 120 | 1. kez |
| 4,1667 (≈4,17) | 500 | 120 | 2. kez |
| 8,5 | 260 | 120 | 3. kez |
| 10,5 | 500 | 120 | 4. kez |
Tablodan açıkça görüldüğü gibi, üçüncü kez 120 km mesafesi 8,5 saat sonra oluşmaktadır.
7. Adım Adım Çözüm Özeti
- Problemin Kurulumu: İki araç, sabit hızlarla (50 ve 70 km/sa) A ve B arasında gidip gelmektedir. 4 saat sonunda aralarındaki uzaklık ikinci kez 100 km olduğundan, A-B arasını L sayıp bu veriyi denklemle birleştiririz.
- L’nin Bulunması: “4. saatte ikinci kez 100 km” ifadesi, L = 380 km sonucuna götürür.
- Aralarındaki Uzaklık Fonksiyonu:
- S(t) = (50+70)t = 120t
- M(t) = S(t) \bmod (2L) = 120t \bmod 760
- $D(t) = \begin{cases}
380 - M(t), & M(t)\le 380 \
M(t) - 380, & M(t) > 380
\end{cases}$
- 120 km İçin Denklem: D(t)=120 \implies M(t)=260 \text{ veya } 500.
- Zaman Çözümleri:
- M(t)=260 \implies 120t=260+760k.
- M(t)=500 \implies 120t=500+760k.
Her biri için k=0,1,2,\dots incelenerek zaman listesi çıkartılır.
- Üçüncü Kez 120 km: Zaman sıralamasında 8,5 saat, bu mesafe değerinin üçüncü gerçekleşme anı olarak karşımıza çıkar.
8. Sonuç ve Cevap
Yukarıdaki adımlarla detaylı incelediğimizde, problemde aranan soru: “Başlangıçtan kaç saat sonra aralarındaki mesafe üçüncü kez 120 km olur?” yanıtı 8,5 saattir.
Dolayısıyla doğru seçenek, (E) 8,5 olur.