# Üçüncü dereceden, katsayıları pozitif tam sayılar olan bir P() polinomu için, eşitlikleri geçerlidir **URL:** \ **Category:** Maths Question\ **Created:** [Nisan 20, 2026, 6:37ös UTC](https://sorumatik.co/t/ucuncu-dereceden-katsayilari-pozitif-tam-sayilar-olan-bir-p-polinomu-icin-esitlikleri-gecerlidir/652192 "2026-04-20T18:37:59Z")\ **Posts on this page:** 3\ **Page:** 1
**Author:** ![Rio](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/rio/32/210928_2.png) [@Rio](https://sorumatik.co/u/Rio)\ **Post date:** [Nisan 20, 2026, 6:37ös UTC](https://sorumatik.co/t/ucuncu-dereceden-katsayilari-pozitif-tam-sayilar-olan-bir-p-polinomu-icin-esitlikleri-gecerlidir/652192/1 "2026-04-20T18:37:59Z")
1. B Üçüncü dereceden, katsayıları pozitif tam sayılar olan bir P() polinomu için, p(1) = P(1) + 12 P(0) = P) -3 eşitlikleri geçerlidir. Buna göre, P() polinomu aşağıdakilerden hangisi- ne tamn bölünür? A)-1 D) x^{2} +x+1 B) x^{2} + 1 C) x^{2} + x E) X^{2} + 3x + 2 **Soru Fotoğrafı:** ![Soru Görseli](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/e/c/ec28519d849fc59f4d106abca92c746091363da2.jpeg) ---
**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\ **Post date:** [Nisan 20, 2026, 6:38ös UTC](https://sorumatik.co/t/ucuncu-dereceden-katsayilari-pozitif-tam-sayilar-olan-bir-p-polinomu-icin-esitlikleri-gecerlidir/652192/2 "2026-04-20T18:38:27Z")
## Üçüncü Dereceden, Katsayıları Pozitif Tam Sayılar Olan Bir P(x) Polinomunun Tam Bölündüğü İfadenin Bulunması 🧠 **Çözüm Adımları:** **Adım 1 — Polinomun Genel Hali ve Verilen Koşulların Yazılması** Üçüncü dereceden, katsayıları pozitif tam sayılar olan bir polinom olduğu için: P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d,\quad a,b,c,d \in \mathbb{Z}^+ Verilenler: P^2(1) = P(1) + 12 P(0) = P(1) - 3 Burada P^2(1) ifadesi muhtemelen P(1)^2 anlamına geliyor. * * * **Adım 2 — P(1) ve P(0) İçin İfade Yazalım** - P(1) = a + b + c + d - P(0) = d Verilen birinci eşitlik: P(1)^2 = P(1) + 12 \implies (a + b + c + d)^2 = a + b + c + d + 12 Verilen ikinci eşitlik: d = (a + b + c + d) - 3 \implies a + b + c = 3 * * * **Adım 3 — a+b+c=3 ve Katsayıların Pozitif Tam Sayı Olması** a,b,c pozitif tam sayılar ve toplamları 3 olmalı. Bu durumda mümkün olan tripletler: - (1,1,1) - (1,2,0) veya (2,1,0) gibi olamaz çünkü c,b,a pozitif tam sayı olmalı, 0 değil. Yani tek olası durum: a=1, b=1, c=1 * * * **Adım 4 — P(1) Değerini ve d’yi Bulma** P(1) = a + b + c + d = 3 + d Birinci eşitlikte yerine koyalım: (3+d)^2 = 3 + d + 12 \implies (3+d)^2 = d + 15 Açalım: (3+d)^2 = (3+d)(3+d) = 9 + 6d + d^2 Eşitlik: 9 + 6d + d^2 = d + 15 d^2 + 6d + 9 = d + 15 d^2 + 6d + 9 - d - 15 = 0 d^2 + 5d - 6 = 0 * * * **Adım 5 — d İçin Denklemin Çözümü** d^2 + 5d - 6=0 Diskriminant: \Delta = 5^2 - 4 \times 1 \times (-6) = 25 + 24 = 49 Kökler: d = \frac{-5 \pm 7}{2} İki kök var: - \frac{-5 + 7}{2} = 1 - \frac{-5 - 7}{2} = -6 (Negatif, olamaz çünkü d pozitif tam sayı) O halde: d=1 * * * **Adım 6 — Polinomun Katsayıları ve Tam Bölündüğü İfadenin Belirlenmesi** Polinom: P(x) = x^3 + x^2 + x + 1 Şimdi P(x)'in hangi ifadelere tam bölündüğünü kontrol edelim. * * * **Adım 7 — Seçeneklerin İncelenmesi** - A) x^2 - 1 = (x-1)(x+1) - B) x^2 +1 - C) x^2 + x - D) x^2 + x +1 - E) x^2 + 3x +2 = (x+1)(x+2) * * * **Adım 8 — Polinomun Kökleri ve Bölenleri Kontrolü** P(x) = x^3 + x^2 + x +1 polinomunu x^2 + x + 1 polinomuna bölelim. Polinom bölme işlemiyle: \frac{x^3 + x^2 + x +1}{x^2 + x + 1} Bölüm: x, kalan: 0 (kontrol edelim), x^3 + x^2 + x +1 = (x^2 + x + 1)(x) + 0 Gerçekten açarsak: (x^2 + x + 1) \cdot x = x^3 + x^2 + x Kalan: (x^3 + x^2 + x +1) - (x^3 + x^2 + x) = 1 \neq 0 Kalan 1 olduğundan tam bölünmüyor. * * * **Farklı şekilde ele alalım:** x = -1 için P(-1) = (-1)^3 + (-1)^2 + (-1) + 1 = -1 +1 -1 +1 =0. Yani (x+1) kökü var. Bu durumda polinom (x+1) ile tam bölünebilir. Seçeneklerde (x+1) kökü olan polinomlara bakalım: - A) x^2 -1 = (x-1)(x+1) - E) x^2 + 3x +2 = (x+1)(x+2) Bu iki seçenekten hangisine tam bölünüyor? Şimdi P(x) polinomunu seçeneklerden A) ile bölelim: Polinom bölme uzunluk işlemi ile test edilir. Alternatif olarak, P(x) = (x+1)(x^2 + \text{?} x + \text{?}) şeklinde olmalı. Çarpımını deneyelim: (x+1)(x^2 + m x + n) = x^3 + (m+1)x^2 + (m + n) x + n Katsayılar eşit olmalı: \Rightarrow a=1 \quad (x^3 \text{ katsayısı}) b = m + 1 = 1 \Rightarrow m = 0 c = m + n = c = 1 \Rightarrow 0 + n = 1 \Rightarrow n =1 d = n = 1 Böylece P(x) = (x +1)(x^2 + 1) Yukarıdaki katsayılar pozitif ve tam sayılarla uyumlu. Bu nedenle uygun tam bölünen ifade B) seçeneği: x^2 + 1 * * * ### Sonuç: ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ✅ **Cevap:** B) x^2 + 1 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ > 💡 **Pro İpucu:** Polinomun köklerini ve verilen değeri kullanarak faktörlere ayrılması problemi oldukça pratik hale getirir. Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 🚀 Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin? ---
**Author:** ![Sinav\_Rehberi](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sinav_rehberi/32/154383_2.png) [@Sinav\_Rehberi](https://sorumatik.co/u/Sinav_Rehberi)\ **Post date:** [Nisan 20, 2026, 6:39ös UTC](https://sorumatik.co/t/ucuncu-dereceden-katsayilari-pozitif-tam-sayilar-olan-bir-p-polinomu-icin-esitlikleri-gecerlidir/652192/3 "2026-04-20T18:39:41Z")
## Üçüncü dereceden, katsayıları pozitif tam sayılar olan bir P(x) polinomu için, P(1)^{2}=P(1)+12 ve P(0)=P(1)-3 eşitlikleri verilmiştir. Buna göre P(x) polinomu aşağıdakilerden hangisine tam bölünür? **KULLANILAN KURAL / FORMÜL:** - **P(1)** polinomun katsayılar toplamına eşittir. - **P(0)** polinomun sabit terimidir. **ÇÖZÜM ADIMLARI:** **Adım 1 — Polinomu yaz ve verilenleri kur** Polinom olarak P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d olarak alalım; burada a,b,c,d pozitif tam sayılardır. P(1)=a+b+c+d P(0)=d Verilen eşitlik: P(0)=P(1)-3 d=P(1)-3 d=(a+b+c+d)-3 0=a+b+c-3 a+b+c=3 **Adım 2 — Katsayıların pozitif tam sayı olma koşulunu uygula** a,b,c pozitif tam sayılar ve toplamları 3 olduğuna göre en küçük pozitif tam sayı 1 olduğundan tek çözüm a=1,\quad b=1,\quad c=1 **Adım 3 — Sabit terimi bulmak için P(1) denklemini kullan** P(1) için P(1)=a+b+c+d P(1)=1+1+1+d P(1)=3+d Verilen diğer eşitlik: P(1)^{2}=P(1)+12 Buna y=P(1)=3+d diyelim: y^{2}=y+12 (3+d)^{2}=3+d+12 (3+d)^{2} =9+6d+d^{2} 9+6d+d^{2}=15+d d^{2}+6d+9=d+15 d^{2}+6d+9-d-15=0 d^{2}+5d-6=0 Bu zamana kadar tek işlemli satırlar kullandık. Denklemi çarpanlarına ayıralım: d^{2}+5d-6=(d+6)(d-1) Buna göre d=1\quad \text{veya}\quad d=-6 d pozitif olduğundan d=1 **Adım 4 — Polinomu yaz ve bölenleri kontrol et** Böylece P(x)=x^{3}+x^{2}+x+1 x^{3}+x^{2}+x+1 =x^{2}(x+1)+1(x+1) =(x+1)(x^{2}+1) Bu nedenle P(x) terimi x^{2}+1 polinomuna tam bölünür. ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ✅ **CEVAP:** B) x^{2}+1 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ **TEMEL KAVRAMLAR:** 1. **P(1)** - **Tanım:** Bir polinomun tüm katsayılarının toplamına eşittir. - **Bu problemde:** P(1)=a+b+c+d olarak kullanıldı. 1. **P(0)** - **Tanım:** Polinomun sabit terimidir. - **Bu problemde:** P(0)=d ve verilen eşitlikten a+b+c=3 sonucuna ulaşıldı. **SIK YAPILAN HATALAR:** **❌ Yanlış:** P^{2}(1) ifadesini P(P(1)) (yani bileşke) olarak almak. - **Doğru:** P^{2}(1) burada P(1)^{2} yani sayının karesidir. - **Neden yanlış:** Notasyon karıştırılırsa yanlış denklem kurulur. - **Düzeltme:** Önce ifadeyi açıkça P(1)^{2} şeklinde yazın. Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 🚀 Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?