Trigonometri 4545

Görselde verilen soruda, \pi < x < \frac{3\pi}{2} ve \tan x = \frac{6}{15} olduğu belirtilmiş. Buradan \tan x = \frac{2}{5} elde edebiliriz (sadeleştirerek).

Çözüm Adımları:

  1. Tanjant ve Trigonometrik Oranlar:

    • \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} olduğuna göre, \sin x = 2k ve \cos x = 5k şeklinde düşünebiliriz (burada k bir sabittir).
    • \sin^2 x + \cos^2 x = 1 olduğu için:
      $$(2k)^2 + (5k)^2 = 1$$
      $$4k^2 + 25k^2 = 1$$
      $$29k^2 = 1$$
      $$k^2 = \frac{1}{29}$$
      $$k = \frac{1}{\sqrt{29}}$$
  2. \sin x ve \cos x Hesaplamaları:

    • \sin x = 2k = \frac{2}{\sqrt{29}}
    • \cos x = 5k = \frac{5}{\sqrt{29}}
    • Bu değerler x'in \pi ile \frac{3\pi}{2} arasında olması koşuluyla, üçüncü bölgede olduğunu gösterir. Üçüncü bölgede hem sinüs hem kosinüs negatiftir.
    • Bu nedenle:
      $$\sin x = -\frac{2}{\sqrt{29}}$$
      $$\cos x = -\frac{5}{\sqrt{29}}$$
  3. Sonuç:

    • Şimdi 5\sin x - \cos x ifadesini hesaplayalım:
      $$\sin x - \cos x = -\frac{2}{\sqrt{29}} + \frac{5}{\sqrt{29}}$$
      $$= \frac{-2 - 5}{\sqrt{29}}$$
      $$= \frac{-7}{\sqrt{29}}$$

Bu bilgiye göre sonucun -\frac{7}{\sqrt{29}} olması gerekiyor.

Eğer başka bir sayı isteniyorsa, verdiğiniz koşullara göre başka bir yanıt verilmesi gerekebilir.