Görselde verilen soruda, \pi < x < \frac{3\pi}{2} ve \tan x = \frac{6}{15} olduğu belirtilmiş. Buradan \tan x = \frac{2}{5} elde edebiliriz (sadeleştirerek).
Çözüm Adımları:
-
Tanjant ve Trigonometrik Oranlar:
- \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} olduğuna göre, \sin x = 2k ve \cos x = 5k şeklinde düşünebiliriz (burada k bir sabittir).
- \sin^2 x + \cos^2 x = 1 olduğu için:
$$(2k)^2 + (5k)^2 = 1$$
$$4k^2 + 25k^2 = 1$$
$$29k^2 = 1$$
$$k^2 = \frac{1}{29}$$
$$k = \frac{1}{\sqrt{29}}$$
-
\sin x ve \cos x Hesaplamaları:
- \sin x = 2k = \frac{2}{\sqrt{29}}
- \cos x = 5k = \frac{5}{\sqrt{29}}
- Bu değerler x'in \pi ile \frac{3\pi}{2} arasında olması koşuluyla, üçüncü bölgede olduğunu gösterir. Üçüncü bölgede hem sinüs hem kosinüs negatiftir.
- Bu nedenle:
$$\sin x = -\frac{2}{\sqrt{29}}$$
$$\cos x = -\frac{5}{\sqrt{29}}$$
-
Sonuç:
- Şimdi 5\sin x - \cos x ifadesini hesaplayalım:
$$\sin x - \cos x = -\frac{2}{\sqrt{29}} + \frac{5}{\sqrt{29}}$$
$$= \frac{-2 - 5}{\sqrt{29}}$$
$$= \frac{-7}{\sqrt{29}}$$
- Şimdi 5\sin x - \cos x ifadesini hesaplayalım:
Bu bilgiye göre sonucun -\frac{7}{\sqrt{29}} olması gerekiyor.
Eğer başka bir sayı isteniyorsa, verdiğiniz koşullara göre başka bir yanıt verilmesi gerekebilir.