# Toplamınin 5 ile bölümünden kalan x'dir

**URL:** <https://sorumatik.co/t/toplaminin-5-ile-bolumunden-kalan-xdir/690682>\
**Category:** YKS TYT\
**Created:** [Ağustos 31, 2026, 1:24ös UTC](https://sorumatik.co/t/toplaminin-5-ile-bolumunden-kalan-xdir/690682 "2026-08-31T13:24:51Z")\
**Posts on this page:** 2\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Oguzhan\_Elkan](https://sorumatik.co/letter_avatar_proxy/v4/letter/o/858c86/32.png) [@Oguzhan\_Elkan](https://sorumatik.co/u/Oguzhan_Elkan)\
**Post date:** [Ağustos 31, 2026, 1:24ös UTC](https://sorumatik.co/t/toplaminin-5-ile-bolumunden-kalan-xdir/690682/1 "2026-08-31T13:24:51Z")

</div>

O! + 1! + 2! + 3! +.. + 15!  
toplamınin 5 ile bölümünden kalan x’dir.  
Beş basamaklı xxx2y sayısı 36 ile tam bölünebildiğine  
göre, y rakamının değeri kaçtır?  
A) 9  
B) 8  
D) 6  
E) 4

 ![toplamınin 5 ile bölümünden kalan x'dir.](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/b/9/b94704749be8e982d008756ec7a31d1c8d3a05d4.jpeg)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\
**Post date:** [Ağustos 31, 2026, 1:25ös UTC](https://sorumatik.co/t/toplaminin-5-ile-bolumunden-kalan-xdir/690682/2 "2026-08-31T13:25:01Z")

</div>

## 0! + 1! + 2! + \dots + 15! Toplamının Kalanı ve Bölünebilme Problemi

💡 **KULLANILAN FORMÜLLER VE KURALLAR:**

- **Faktöriyelde Bölünebilme:** n \ge 5 için n! ifadesi içinde 5 çarpanı bulunduğundan n! \equiv 0 \pmod 5 olur.
- **36 ile Bölünebilme Kuralı:** Bir sayının 36 ile tam bölünebilmesi için aralarında asal olan 4 ve 9 sayılarına tam bölünmesi gerekir.
  - **4 ile bölünebilme:** Sayının son iki basamağının 4’ün katı olması gerekir.
  - **9 ile bölünebilme:** Sayının rakamları toplamının 9’un katı olması gerekir.

* * *

🧠 **ÇÖZÜM ADIMLARI:**

**Adım 1 — x Değerinin Hesaplanması (5 ile Bölümünden Kalan)**  
5! ve sonraki tüm faktöriyellerin (5!, 6!, \dots, 15!) içinde 5 çarpanı yer aldığı için bu terimlerin 5 ile bölümünden kalan 0’dır. Dolayısıyla kalanı bulmak için yalnızca ilk 5 terimi toplamak yeterlidir:

0! = 1

1! = 1

2! = 2

3! = 6

4! = 24

Toplam = 1 + 1 + 2 + 6 + 24 = 34

34 sayısının 5 ile bölümünden kalan:

34 = 5 \times 6 + 4 \implies x = 4

* * *

**Adım 2 — Sayının Oluşturulması**  
x = 4 olduğuna göre beş basamaklı xxx2y sayısı:

4442y

şeklindedir.

* * *

**Adım 3 — 4 ile Bölünebilme Şartının Uygulanması**  
4442y sayısının 4 ile tam bölünebilmesi için son iki basamağı olan 2y sayısının 4’ün katı olması gerekir:

2y \in \{20, 24, 28\} \implies y \in \{0, 4, 8\}

* * *

**Adım 4 — 9 ile Bölünebilme Şartının Uygulanması**  
Sayının 9 ile tam bölünebilmesi için rakamları toplamı 9’un tam katı olmalıdır:

\text{Rakamlar Toplamı} = 4 + 4 + 4 + 2 + y = 14 + y

14 + y toplamının 9’un katı olabilmesi için:

14 + y = 18 \implies y = 4

* * *

**Adım 5 — Sonuçların Doğrulanması**

- y = 4 değeri 4 ile bölünebilme kümesinde (y \in \{0, 4, 8\}) yer alır.
- Oluşan 44424 sayısı için:
\frac{44424}{36} = 1234
Sayımız 36 ile kalansız bölünmektedir.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━  
✅ **CEVAP:** **E) 4**  
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

🎯 **TEMEL KAVRAMLAR:**

**1. Faktöriyelli İfadelerde Modüler Aritmetik**

- **Tanım:** n! ifadesi 1’den n’ye kadar olan ardışık tam sayıların çarpımıdır.
- **Bu problemde:** 5 \le n için n! sayısı 5’e tam bölündüğü için 5!'den sonraki terimler toplama etki etmemiştir.

**2. Aralarında Asal Çarpanlara Bölünebilme**

- **Tanım:** Bir sayı, aralarında asal iki sayının çarpımına tam bölünüyorsa bu çarpanların her birine ayrı ayrı tam bölünür.
- **Bu problemde:** 36 sayısı aralarında asal olan 4 \times 9 şeklinde ayrılmış ve her iki kural da sırayla uygulanmıştır.

* * *

⚠ **SIK YAPILAN HATALAR:**

**❌ 0! Değerini 0 Almak**

- **Yanlış:** 0! = 0 kabul edip toplamı 33 bulmak (x = 3).
- **Doğru:** Matematiksel tanım gereği 0! = 1’dir.
- **Neden yanlış:** 0! değeri tanımsal olarak 1 kabul edilir, 0 alınırsa kalan eksik hesaplanır.

* * *

Bu tip faktöriyelli bölünebilme sorularını pekiştirmek için benzer bir alıştırma sorusu çözmemi ister misin?