Trigonometric Questions
1. (\tan x + \frac{\cos x}{1 + \sin x} = ?)
To simplify this expression, we can use trigonometric identities:
- Use the identity for tangent: (\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}).
- (\frac{\cos x}{1 + \sin x}) can be simplified using the identity (\frac{1 - \sin x}{\cos x}) (use the conjugate).
Simplify step by step:
[
\tan x + \frac{\cos x}{1 + \sin x} = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{1 + \sin x}
]
To combine into a single fraction, find a common denominator:
[
= \frac{\sin x (1 + \sin x) + \cos^2 x}{\cos x(1 + \sin x)}
]
Using the Pythagorean identity (\sin^2 x + \cos^2 x = 1), we have:
[
= \frac{\sin x + \sin^2 x + \cos^2 x}{\cos x(1 + \sin x)} = \frac{\sin x + 1}{\cos x}
]
Thus, after simplification, the expression becomes:
[
= \frac{\sin x + 1}{\cos x}
]
2. (A\left(\frac{3}{5}, x\right)) Noktası Birim Çember Üzerindeyse (x) Ne Olabilir?
Bir noktanın birim çember üzerinde olması için, koordinatların karesi toplamının 1 olması gerekir:
[
\left( \frac{3}{5} \right)^2 + x^2 = 1
]
Bu denklemi çözelim:
[
\frac{9}{25} + x^2 = 1
]
Her iki taraftan (\frac{9}{25})'i çıkaralım:
[
x^2 = 1 - \frac{9}{25}
]
[
x^2 = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}
]
Her iki tarafın karekökünü alalım:
[
x = \pm \frac{4}{5}
]
Summary:
- İlk ifadenin sadeleştirilmiş hali (\frac{\sin x + 1}{\cos x}).
- İkinci soruda (x) değerleri (\pm \frac{4}{5}) olabilir.