# The equation has four different real roots

**URL:** <https://sorumatik.co/t/the-equation-has-four-different-real-roots/646929>\
**Category:** Maths Question\
**Created:** [Nisan 6, 2026, 8:33öö UTC](https://sorumatik.co/t/the-equation-has-four-different-real-roots/646929 "2026-04-06T08:33:18Z")\
**Posts on this page:** 5\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Rio](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/rio/32/210928_2.png) [@Rio](https://sorumatik.co/u/Rio)\
**Post date:** [Nisan 6, 2026, 8:33öö UTC](https://sorumatik.co/t/the-equation-has-four-different-real-roots/646929/1 "2026-04-06T08:33:18Z")

</div>

**Soru:**  
The equation has four different real roots. According to this, what is the sum of the absolute values of the roots?  
x^4 - 8x^2 + a = 2 quad and quad the roots are four different real numbers. What is the sum of the absolute values of the roots?

**Soru Fotoğrafı:**  
!Soru Görseli [Link Silindi]

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\
**Post date:** [Nisan 6, 2026, 8:33öö UTC](https://sorumatik.co/t/the-equation-has-four-different-real-roots/646929/2 "2026-04-06T08:33:50Z")

</div>

## The equation has four different real roots. According to this, what is the sum of the absolute values of the roots?

💡 **KULLANILAN KURAL / FORMÜL:**

- Dördüncü dereceden denklemler için köklerin toplamı ve çarpımı: Eğer bir polinom x^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0 ise,

- Ancak burada x^4 - 8x^2 + a = 2 denklemini önce standart forma çevirelim:

x^4 - 8x^2 + a - 2 = 0

- x yerine t = x^2 koyarsak:

t^2 - 8t + (a - 2) = 0

- Bu ikinci dereceden denklemin iki kökü olsun: t\_1 ve t\_2, ki bu kökler x^2 biçiminde olsun.

🧠 **ÇÖZÜM ADIMLARI:**

**Adım 1 — Denklemi t cinsine çevir**

t^2 - 8t + (a-2) = 0

- Bu denklemin kökleri t\_1 ve t\_2.

**Adım 2 — Köklerin pozitif ve farklı olması gerekir**

- Çünkü t = x^2 olduğu için t\_1 \> 0, t\_2 \> 0 olmalı ki,
- x^2 = t\_1 ve x^2 = t\_2 denklemleri farklı gerçek kökler versin.
- Ayrıca köklerin farklı olması için t\_1 \neq t\_2.
- Ayrıca x için 4 farklı gerçek kök olması için her iki t pozitif olmalı ve her biri farklı olmalıdır.

**Adım 3 — Kökler için diskriminant şartı**

\Delta = 64 - 4(a-2) \geq 0 \Rightarrow 64 - 4a + 8 \geq 0 \Rightarrow 72 - 4a \geq 0 \Rightarrow a \leq 18

- Köklerin gerçek olması için diskriminant pozitif olmalıdır.

**Adım 4 — Köklerin pozitifliği**

- Köklerin toplamı t\_1 + t\_2 = 8

- Köklerin çarpımı t\_1 t\_2 = a - 2

- Köklerin pozitif olması için:

t\_1 + t\_2 = 8 \> 0 \quad \text{ve} \quad t\_1 t\_2 = a - 2 \> 0 \Rightarrow a \> 2

**Adım 5 — Köklerin farklı olması için diskriminant pozitif olmalı**

\Delta = 64 - 4(a-2) \> 0 \Rightarrow 64 -4a + 8 \> 0 \Rightarrow 72 - 4a \> 0 \Rightarrow a \< 18

- Böylece 2 \< a \< 18

**Adım 6 — a tam sayı değerleri**

- a tam sayı olmalı, yani a = 3, 4, 5, ..., 17

**Adım 7 — Köklerin x cinsinden toplamının mutlak değerleri**

- Kökler x için:

x = \pm \sqrt{t\_1}, \quad x = \pm \sqrt{t\_2}

- Bu köklerin dört farklı gerçek sayı olduğu belirtiliyor.

- Toplamları:

x\_1 + x\_2 + x\_3 + x\_4 = 0 \quad (\text{çünkü } x^3 \text{ terimi yok})

- Ancak soruda istenen köklerin **mutlak değerleri toplamı** dır:

S = |\sqrt{t\_1}| + |-\sqrt{t\_1}| + |\sqrt{t\_2}| + |-\sqrt{t\_2}| = 2\sqrt{t\_1} + 2\sqrt{t\_2} = 2(\sqrt{t\_1} + \sqrt{t\_2})

**Adım 8 — \sqrt{t\_1} + \sqrt{t\_2} ifadesini bulma**

(\sqrt{t\_1} + \sqrt{t\_2})^2 = t\_1 + t\_2 + 2\sqrt{t\_1 t\_2} = 8 + 2\sqrt{a-2}

- Buradan:

\sqrt{t\_1} + \sqrt{t\_2} = \sqrt{8 + 2\sqrt{a-2}}

**Adım 9 — a’nın tüm değerleri için toplam**

- Soru: a değerlerinin toplamı nedir?  
**Dikkat:** Aslında görselde soru farklı olabilir. Görselde “a’nın alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?” diye soruluyor, seçenekler 88, 90, 91, 92 vs.

- Eğer soru a değerlerinin toplamı ise:

a = 3,4,5,...,17

- Bu sayıların toplamı:

\sum\_{a=3}^{17} a = \frac{(3 + 17) \cdot 15}{2} = \frac{20 \cdot 15}{2} = 10 \cdot 15 = 150

- Görsel seçeneklerinde 150 yok, demek ki soru farklı.

**Adım 10 — Görseldeki soruya göre a değerlerinin toplamını soruyor**

- Denklemin 4 farklı kökü olması için a değerinin alabileceği tam sayı değerleri toplamı soruluyor.

- Yukarıdaki aralık 2 \< a \< 18 olduğundan a = 3,4,...,17 değerleri alabilir.

- Toplamları 150.

- Ancak görselde seçenekler farklı, demek ki belki denklemin a değerleri için gerçekten farklı 4 kök oluşturacak tam sayı değerleri varyasyonları vardır.

**Şunu netleştirelim:**

- t denklemi:

t^2 -8t + (a - 2) = 0

- Köklerin pozitif olması için

a - 2 \> 0 \Rightarrow a \> 2

- Kökler farklı, gerçek ve pozitif olmalı.

- Ayrıca, x kökleri:

\pm \sqrt{t\_1}, \quad \pm \sqrt{t\_2}

- Bunlar farklı 4 gerçek kök ise \sqrt{t\_1} \neq \sqrt{t\_2}, yani t\_1 \neq t\_2.

- Bu da diskriminant \>0:

64 -4(a -2) \> 0 \Rightarrow 72 -4a \> 0 \Rightarrow a \< 18

- Ayrıca köklerin pozitif olması için a \> 2.

- Böylece a \in \{3,4,5,...,17\}.

- Bu toplam 15 tam sayı.

\sum\_{k=3}^{17} k = 150

Seçeneklerde yok.

* * *

**Sonuç:** Muhtemelen görseldeki problemde “a’nın bütün tam sayı değerlerinin toplamı” değil, başka bir soru soruluyor. Eğer köklerin toplamının mutlak değerleri isteniyorsa:

**Cevap:**

S = 2 (\sqrt{t\_1} + \sqrt{t\_2}) = 2 \sqrt{8 + 2\sqrt{a-2}}

- Sabit bir cevap verilemez, çünkü a değişebilir.

- Aşağıdaki yaklaşımla hesaplanabilir:

Örnek olarak a = 10:

S = 2 \sqrt{8 + 2\sqrt{10 - 2}} = 2 \sqrt{8 + 2 \sqrt{8}} = 2 \sqrt{8 + 2 \times 2.828} = 2 \sqrt{8 + 5.656} = 2 \sqrt{13.656} = 2 \times 3.695 = 7.39

Yani yaklaşık 7.39.

* * *

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 🚀  
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Sinav\_Rehberi](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sinav_rehberi/32/154383_2.png) [@Sinav\_Rehberi](https://sorumatik.co/u/Sinav_Rehberi)\
**Post date:** [Nisan 6, 2026, 8:34öö UTC](https://sorumatik.co/t/the-equation-has-four-different-real-roots/646929/3 "2026-04-06T08:34:12Z")

</div>

## x^4 - 8x^2 + a + 2 = 0 denkleminin birbirinden farklı 4 gerçek kökü olduğuna göre, a’nın alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

**KULLANILAN KURAL / FORMÜL:**

- **Yerine koyma:** y=x^2 ile derecesi azalan denkleme dönüştürme.
- **İkinci dereceden denklem koşulları:** İki farklı pozitif kök için diskriminant \>0 ve köklerin çarpımı \>0.

**ÇÖZÜM ADIMLARI:**

**Adım 1 — Dönüşüm yap**  
Denklemde y=x^2 koy.

y^2 - 8y + (a+2) = 0

**Adım 2 — İki farklı pozitif y kökü koşulları**  
İki farklı gerçek y kökü için diskriminant \>0 olmalıdır.

\Delta = (-8)^2 - 4\cdot 1 \cdot (a+2)

\Delta = 64 - 4(a+2)

\Delta \> 0

64 - 4(a+2) \> 0

64 - 4a - 8 \> 0

56 - 4a \> 0

-4a \> -56

a \< 14

Ayrıca iki y kökünün pozitif olması için çarpımları pozitif olmalıdır:

y\_1 y\_2 = a+2

a+2 \> 0

a \> -2

**Adım 3 — Tam sayı a değerleri**  
Elde edilen aralıkları birleştir:

-2 \< a \< 14

Bu aralıktaki tam sayılar:

a \in \{-1,0,1,\dots,13\}

Bu kümede kaç eleman olduğunu bul:

\text{eleman sayısı} = 13 - (-1) + 1

\text{eleman sayısı} = 15

Bu tam sayıların toplamını hesapla:

\text{toplam} = \frac{(\,-1) + 13}{2} \cdot 15

\text{toplam} = \frac{12}{2} \cdot 15

\text{toplam} = 6 \cdot 15

\text{toplam} = 90

✅ **CEVAP:** 90

**TEMEL KAVRAMLAR:**

1. **Diskriminant**

- **Tanım:** İkinci derece denklemin köklerinin ayrılığını belirler.
- **Bu problemde:** \Delta\>0 iki farklı y kökü için gerekli koşuldur.

1. **Kök dönüşümü y=x^2**

- **Tanım:** Dördüncü dereceden denklemi ikinci dereceye indirger.
- **Bu problemde:** y köklerinin pozitif olması dört farklı gerçek x kökü (±√y₁, ±√y₂) sağlar.

**SIK YAPILAN HATALAR:**

**❌ Sıfırın gözardı edilmesi**

- **Yanlış:** a+2=0 durumunu kabul edip dört farklı kök olduğunu söylemek.
- **Doğru:** a+2=0 ise bir y kökü sıfır olur ve x için üç veya iki farklı kök oluşur; bu durum kabul edilmez.
- **Neden yanlış:** y=0 olursa x=0 tek bir kök verir; dört farklı kök şartı sağlanmaz.
- **Düzeltme:** a+2\>0 şartını sağlamayı unutmayın.

**❌ Pozitiflik şartının atlanması**

- **Yanlış:** Sadece diskriminantı kontrol edip y köklerinin pozitif olduğunu varsaymak.
- **Doğru:** Köklerin pozitif olması için çarpımın pozitif olması gerektiğini kontrol edin.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 🚀  
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Rio](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/rio/32/210928_2.png) [@Rio](https://sorumatik.co/u/Rio)\
**Post date:** [Nisan 6, 2026, 8:35öö UTC](https://sorumatik.co/t/the-equation-has-four-different-real-roots/646929/4 "2026-04-06T08:35:36Z")

</div>

a-2 değil a+2

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\
**Post date:** [Nisan 6, 2026, 8:35öö UTC](https://sorumatik.co/t/the-equation-has-four-different-real-roots/646929/5 "2026-04-06T08:35:47Z")

</div>

## x^4 - 8x^2 + a + 2 = 0 denkleminin birbirinden farklı 4 gerçek kökü olduğuna göre, a’nın alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

💡 **KULLANILAN KURAL / FORMÜL:**

- Dördüncü dereceden denklemi ikinci dereceye indirgemek için y = x^2 koyulur.
- İkinci dereceden denklemde iki farklı pozitif kök olması için:
  - Diskriminant \> 0,
  - Köklerin çarpımı \> 0 (pozitif olmalı).

🧠 **ÇÖZÜM ADIMLARI:**

**Adım 1 — Denklemde yerine koyma**

x^4 - 8x^2 + a + 2 = 0 \implies y^2 - 8y + (a+2) = 0, \quad y = x^2

**Adım 2 — Diskriminant koşulunu kur**

\Delta = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a+2) = 64 - 4(a+2) \> 0

64 - 4a - 8 \> 0

56 - 4a \> 0

-4a \> -56 \implies a \< 14

**Adım 3 — Köklerin pozitif olması için çarpım koşulu**

y\_1 \cdot y\_2 = a + 2 \> 0 \implies a \> -2

**Adım 4 — Aralık bul**

-2 \< a \< 14

**Adım 5 — Tam sayı a değerleri**

a \in \{-1, 0, 1, 2, \ldots, 13\}

Toplam eleman sayısı:

13 - (-1) + 1 = 15

Bu tam sayıların toplamı:

\frac{(-1) + 13}{2} \cdot 15 = \frac{12}{2} \cdot 15 = 6 \cdot 15 = 90

✅ **CEVAP:** 90

🎯 **TEMEL KAVRAMLAR:**

1. **Diskriminant**

- **Tanım:** İkinci dereceden denklem köklerinin farklı ve gerçek olup olmadığını belirler.
- **Bu problemde:** Kökler farklı ve gerçek olsun diye \Delta \> 0 şartı aranır.

1. **Köklerin pozitifliği**

- **Tanım:** Pozitif kökler gerçek sayılar için karekök işleminin mümkün olmasını sağlar.
- **Bu problemde:** Köklerin pozitif olması a + 2 \> 0 koşulunu sağlar ve böylece dört farklı gerçek x kökü elde edilir.

⚠ **SIK YAPILAN HATALAR:**

❌ **a+2=0 durumunun kabul edilmesi**

- Bu durumda köklerden biri sıfır olur, bu da 4 farklı gerçek kök şartını bozabilir.

❌ **Pozitiflik koşulunun unutulması**

- Sadece diskriminant kontrol edilip köklerin pozitifliği gözardı edilirse yanlış sonuç olur.

* * *

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 🚀  
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?