# Terim toplamı formülü

**URL:** <https://sorumatik.co/t/terim-toplami-formulu/579581>\
**Category:** Genel Kültür\
**Created:** [Aralık 2, 2025, 11:41ös UTC](https://sorumatik.co/t/terim-toplami-formulu/579581 "2025-12-02T23:41:34Z")\
**Posts on this page:** 2\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Dersnotu](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/dersnotu/32/3037_2.png) [@Dersnotu](https://sorumatik.co/u/Dersnotu)\
**Post date:** [Aralık 2, 2025, 11:41ös UTC](https://sorumatik.co/t/terim-toplami-formulu/579581/1 "2025-12-02T23:41:34Z")

</div>

terim toplamı formülü

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Sinav\_Rehberi](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sinav_rehberi/32/154383_2.png) [@Sinav\_Rehberi](https://sorumatik.co/u/Sinav_Rehberi)\
**Post date:** [Aralık 2, 2025, 11:41ös UTC](https://sorumatik.co/t/terim-toplami-formulu/579581/2 "2025-12-02T23:41:58Z")

</div>

## **Terim toplamı formülü nedir?**

Answer: Aşağıda en sık kullanılan terim toplamı formüllerini, çıkarımlarını, örnek çözümlerini ve kısa bir özet tablosunu bulacaksınız.

## **İçindekiler**

1. [Aritmetik (Toplam) Dizi](#aritmetik)
2. [Geometrik Dizi (Sonlu)](#geometrik-sonlu)
3. [Geometrik Dizi (Sonsuz)](#geometrik-sonsuz)
4. [Örnekler — Adım adım çözümler](#ornekler)
5. [Özet Tablosu](#ozet)

## 1. Aritmetik dizi — Toplam formülü

- Bir aritmetik dizide her terim bir önceki terime sabit bir fark d eklenerek elde edilir. İlk terime a\_1 diyelim.
- n teriminin toplamına S\_n dersek, iki yaygın ifade vardır:

1. **İlk ve son terimle ifade:**  
S\_n = \frac{n}{2}(a\_1 + a\_n)

2. **İlk terim ve ortak farkla ifade:**  
S\_n = \frac{n}{2}\big(2a\_1 + (n-1)d\big)

- Kısa ispat (fikir): Terimleri önden ve arkadan toplarsınız:  
S\_n = a\_1 + a\_2 + \dots + a\_n ve tersinden  
S\_n = a\_n + a\_{n-1} + \dots + a\_1 ,  
toplarsanız her sütunda a\_1 + a\_n olur ve toplam 2S\_n = n(a\_1 + a\_n) çıkar.

## 2. Geometrik dizi — Sonlu toplam

- Bir geometrik dizide her terim bir önceki terimin r ile çarpımı şeklindedir. İlk terim a\_1 olsun.

- İlk n terimin toplamı için (ve r \neq 1):  
S\_n = a\_1 + a\_1 r + a\_1 r^2 + \dots + a\_1 r^{n-1} = a\_1\frac{1 - r^n}{1 - r}

- İspat (kısa): S\_n = a\_1(1 + r + \dots + r^{n-1}). rS\_n = a\_1(r + r^2 + \dots + r^n). Çıkarınca (1-r)S\_n = a\_1(1 - r^n) olur.

- Özel durum: r=1 ise S\_n = n a\_1 olur.

## 3. Geometrik dizi — Sonsuz toplam

- Eğer |r| \< 1 ise, r^n \to 0 olduğundan sonlu toplam formülünden limit alınır:  
S\_\infty = \lim\_{n\to\infty} a\_1\frac{1 - r^n}{1 - r} = \frac{a\_1}{1 - r}, \qquad (|r| \< 1)
- Eğer |r| \ge 1 ise sonsuz toplam yakınsak değildir (toplam diverge eder).

## 4. Örnekler — Adım adım çözümler

Örnek 1 — Aritmetik:  
Soru: 2, 5, 8, \dots dizisinin ilk 20 teriminin toplamı nedir?  
Çözüm:

- a\_1 = 2, ortak fark d = 3. n = 20.
- Formül: S\_n = \frac{n}{2}(2a\_1 + (n-1)d).  
S\_{20} = \frac{20}{2}\big(2\cdot 2 + (20-1)\cdot 3\big) = 10(4 + 57) = 10 \cdot 61 = 610.

Örnek 2 — Geometrik (sonlu):  
Soru: 3, 6, 12, 24, \dots dizisinin ilk 6 teriminin toplamı nedir?  
Çözüm:

- a\_1 = 3, r = 2, n = 6.
- Formül: S\_n = a\_1\frac{1 - r^n}{1 - r}.  
S\_6 = 3\cdot \frac{1 - 2^6}{1 - 2} = 3\cdot \frac{1 - 64}{-1} = 3\cdot 63 = 189.

Örnek 3 — Geometrik (sonsuz):  
Soru: İlk terimi 5 ve r = \tfrac{1}{3} olan geometrik serinin toplamı nedir?  
Çözüm:

- |r| = \tfrac{1}{3} \< 1 olduğu için yakınsar.  
S\_\infty = \frac{a\_1}{1 - r} = \frac{5}{1 - \tfrac{1}{3}} = \frac{5}{\tfrac{2}{3}} = \frac{15}{2} = 7{,}5.

## 5. Özet Tablosu

| Seri tipi | Genel terim | Toplam formülü | Koşul / Not |
| --- | --- | --- | --- |
| Aritmetik | a\_n = a\_1 + (n-1)d | \displaystyle S\_n = \frac{n}{2}(a\_1 + a\_n) = \frac{n}{2}\big(2a\_1 + (n-1)d\big) | — |
| Geometrik (sonlu) | a\_n = a\_1 r^{n-1} | \displaystyle S\_n = a\_1\frac{1 - r^n}{1 - r} (r\neq 1) | r=1 \Rightarrow S\_n = n a\_1 |
| Geometrik (sonsuz) | a\_n = a\_1 r^{n-1} | \displaystyle S\_\infty = \frac{a\_1}{1 - r} | Yakınsaklık için $ |

Önemli noktalar:

- **Aritmetik** dizilerde terimler toplanırken ortalama terim (ilk + son)/2 ile çarpmak mantıklı bir kestirimdir.
- **Geometrik** dizilerde çarpan r belirleyicidir; |r|\<1 olduğunda sonsuz toplam alınabilir.
- Formülleri kullanırken a\_1, r, d ve n değerlerini doğru belirlemeye dikkat edin.

Özet: Aradığınız “terim toplamı formülü” genellikle aritmetik için S\_n = \frac{n}{2}(a\_1 + a\_n) ve geometrik için S\_n = a\_1\frac{1 - r^n}{1 - r} şeklindedir; sonsuz geometrik seriler için ise S\_\infty = \frac{a\_1}{1 - r} (eğer |r|\<1 ise).

Kolay gelsin — başka bir örnek veya adım adım açıklama istersen hemen yaz! @Dersnotu