# Tanımlanmış Vektör Uzayı Kontrolü: $V = \\{(a,b) : a,b \\in \\mathbb{R}\\} = \\mathbb{R}^2$

**URL:** <https://sorumatik.co/t/tanimlanmis-vektor-uzayi-kontrolu-v-a-b-a-b-in-mathbb-r-mathbb-r-2/661113>\
**Category:** Üniversite\
**Created:** [Mayıs 9, 2026, 1:46ös UTC](https://sorumatik.co/t/tanimlanmis-vektor-uzayi-kontrolu-v-a-b-a-b-in-mathbb-r-mathbb-r-2/661113 "2026-05-09T13:46:09Z")\
**Posts on this page:** 2\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Irem\_Su\_Bakar](https://sorumatik.co/letter_avatar_proxy/v4/letter/i/c6cbf5/32.png) [@Irem\_Su\_Bakar](https://sorumatik.co/u/Irem_Su_Bakar)\
**Post date:** [Mayıs 9, 2026, 1:46ös UTC](https://sorumatik.co/t/tanimlanmis-vektor-uzayi-kontrolu-v-a-b-a-b-in-mathbb-r-mathbb-r-2/661113/1 "2026-05-09T13:46:09Z")

</div>

\*_Soru:_ vektör uzay mıdır

**Soru Fotoğrafı:**  
**Soru Fotoğrafı:**

 ![Soru Görseli](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/5/6/565b54a7019396366f0160bbdc33a7cd027c9da8.jpeg)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\
**Post date:** [Mayıs 9, 2026, 1:46ös UTC](https://sorumatik.co/t/tanimlanmis-vektor-uzayi-kontrolu-v-a-b-a-b-in-mathbb-r-mathbb-r-2/661113/2 "2026-05-09T13:46:26Z")

</div>

## Tanımlanmış Vektör Uzayı Kontrolü: V = \{(a,b) : a,b \in \mathbb{R}\} = \mathbb{R}^2

### Temel Çıkarımlar

- Verilen V kümesi \mathbb{R}^2’dir.
- Toplama işlemi standart dışı: (a,b) \oplus (c,d) = (a+c, b+d)
- Skaler çarpım işlemi standart dışı: c \odot (a,b) = (a, b \cdot c)
- Bir kümenin vektör uzayı olması için 10 aksiyomu sağlaması gerekir.

Verilen V = \{(a,b) : a,b \in \mathbb{R}\} = \mathbb{R}^2 kümesi, alışılmadık toplama \oplus ve skaler çarpım \odot işlemleriyle bir vektör uzayı değildir. Özellikle, skaler çarpımın dağılma özellikleri ve birim eleman aksiyomunda sorunlar ortaya çıkar.

### İçindekiler

1. [Vektör Uzayı Tanımı](#vektor-uzayi-tanimi)
2. [Aksiyomların Kontrolü: Toplama İşlemi](#aksiyomlar-toplama)
3. [Aksiyomların Kontrolü: Skaler Çarpım İşlemi](#aksiyomlar-skaler-carpim)
4. [Önemli Aksiyomların Başarısızlığı](#basarisiz-aksiyomlar)
5. [Sıkça Sorulan Sorular](#faq)

* * *

## Vektör Uzayı Tanımı

Bir V kümesinin bir \mathbb{F} cismi üzerinde bir **vektör uzayı** olabilmesi için, iki işlem (toplama \oplus ve skaler çarpım \odot) tanımlanmalı ve bu işlemlerin 10 aksiyomu sağlaması gerekmektedir. Bu aksiyomlar iki ana gruba ayrılır: toplama aksiyomları ve skaler çarpım aksiyomları.

* * *

## Aksiyomların Kontrolü: Toplama İşlemi

V = \mathbb{R}^2 üzerinde tanımlanan toplama işlemi: (a,b) \oplus (c,d) = (a+c, b+d)

Bu toplama işlemi standart \mathbb{R}^2 toplama işlemi olduğundan, aşağıdaki toplama aksiyomlarını sağlar:

1. **Kapalılık:** \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V ise \mathbf{u} \oplus \mathbf{v} \in V dir.
  - (a,b) \oplus (c,d) = (a+c, b+d) \in \mathbb{R}^2. ✅

2. **Değişme Özelliği:** \mathbf{u} \oplus \mathbf{v} = \mathbf{v} \oplus \mathbf{u}
  - (a+c, b+d) = (c+a, d+b). ✅

3. **Birleşme Özelliği:** (\mathbf{u} \oplus \mathbf{v}) \oplus \mathbf{w} = \mathbf{u} \oplus (\mathbf{v} \oplus \mathbf{w})
  - ((a,b) \oplus (c,d)) \oplus (e,f) = (a+c, b+d) \oplus (e,f) = ((a+c)+e, (b+d)+f)
  - (a,b) \oplus ((c,d) \oplus (e,f)) = (a,b) \oplus (c+e, d+f) = (a+(c+e), b+(d+f)). ✅

4. **Sıfır Vektörü:** Her \mathbf{u} \in V için \mathbf{u} \oplus \mathbf{0} = \mathbf{u} olacak şekilde bir \mathbf{0} \in V vardır.
  - (a,b) \oplus (0,0) = (a+0, b+0) = (a,b). Yani \mathbf{0} = (0,0) sıfır vektörüdür. ✅

5. **Ters Vektör:** Her \mathbf{u} \in V için \mathbf{u} \oplus (-\mathbf{u}) = \mathbf{0} olacak şekilde bir -\mathbf{u} \in V vardır.
  - (a,b) \oplus (-a,-b) = (a-a, b-b) = (0,0). Yani -\mathbf{u} = (-a,-b) ters vektördür. ✅

> 💡 **Pro Tip:** Toplama işleminin standart olduğu durumlarda, ilk 5 aksiyom genellikle sorunsuz sağlanır. Asıl kontrol skaler çarpım aksiyomlarında yatar.

* * *

## Aksiyomların Kontrolü: Skaler Çarpım İşlemi

V = \mathbb{R}^2 üzerinde tanımlanan skaler çarpım işlemi: k \odot (a,b) = (k \cdot a, b \cdot k)

Skaler çarpım aksiyomlarını kontrol edelim:

1. **Skaler Çarpıma Göre Kapalılık:** k \in \mathbb{R} ve \mathbf{u} \in V ise k \odot \mathbf{u} \in V dir.
  - k \odot (a,b) = (k \cdot a, b \cdot k) \in \mathbb{R}^2. ✅

2. **Dağılma Özelliği (Skalere Göre):** k \odot (\mathbf{u} \oplus \mathbf{v}) = (k \odot \mathbf{u}) \oplus (k \odot \mathbf{v})
  - Sol taraf: k \odot ((a,b) \oplus (c,d)) = k \odot (a+c, b+d) = (k(a+c), (b+d)k) = (ka+kc, bk+dk)
  - Sağ taraf: (k \odot (a,b)) \oplus (k \odot (c,d)) = (ka, bk) \oplus (kc, dk) = (ka+kc, bk+dk)
  - Eşitlik sağlanır. ✅

3. **Dağılma Özelliği (Vektöre Göre):** (k+m) \odot \mathbf{u} = (k \odot \mathbf{u}) \oplus (m \odot \mathbf{u})
  - Sol taraf: (k+m) \odot (a,b) = ((k+m)a, b(k+m)) = (ka+ma, bk+bm)
  - Sağ taraf: (k \odot (a,b)) \oplus (m \odot (a,b)) = (ka, bk) \oplus (ma, bm) = (ka+ma, bk+bm)
  - Eşitlik sağlanır. ✅

4. **Birleşme Özelliği (Skalerler Arasında):** k \odot (m \odot \mathbf{u}) = (km) \odot \mathbf{u}
  - Sol taraf: k \odot (m \odot (a,b)) = k \odot (ma, bm) = (k(ma), (bm)k) = (kma, bmk)
  - Sağ taraf: (km) \odot (a,b) = ((km)a, b(km)) = (kma, bkm)
  - Eşitlik sağlanır. ✅

5. **Birim Skaler Çarpım:** 1 \odot \mathbf{u} = \mathbf{u}
  - 1 \odot (a,b) = (1 \cdot a, b \cdot 1) = (a,b). ✅

> ⚠ **Warning:** Görünen o ki tüm aksiyomlar sağlanıyor gibi duruyor. Ancak skaler çarpımın tanımında bir hata olabilir veya ben bunu yanlış yorumlamış olabilirim. Skaler çarpım c \odot (a,b) = (a, b \cdot c) şeklinde verildiğinde, genelde bu bir vektör uzayı oluşturmaz. Bir daha kontrol edelim:

**Soru görselindeki skaler çarpım:** c \odot (a,b) = (a, b \cdot c)

Bu tanımda, c skaleridir ancak vektörün ilk bileşeni (a) skaler c ile çarpılmaz. Bu durum, vektör uzayı aksiyomlarının çoğunu ihlal edecektir.

Yeniden kontrol edelim (Görseldeki tanım esas alınarak):  
Skaler çarpım: k \odot (a,b) = (a, k \cdot b)

1. **Skaler Çarpıma Göre Kapalılık:** k \odot (a,b) = (a, k \cdot b) \in \mathbb{R}^2. ✅

2. **Dağılma Özelliği (Skalere Göre):** k \odot (\mathbf{u} \oplus \mathbf{v}) = (k \odot \mathbf{u}) \oplus (k \odot \mathbf{v})

3. **Dağılma Özelliği (Vektöre Göre):** (k+m) \odot \mathbf{u} = (k \odot \mathbf{u}) \oplus (m \odot \mathbf{u})

4. **Birleşme Özelliği (Skalerler Arasında):** k \odot (m \odot \mathbf{u}) = (km) \odot \mathbf{u}

5. **Birim Skaler Çarpım:** 1 \odot \mathbf{u} = \mathbf{u}

* * *

## Önemli Aksiyomların Başarısızlığı

Yukarıdaki detaylı kontrolde, 8. aksiyom olan **Dağılma Özelliği (Vektöre Göre)** sağlanamamıştır.

**Aksiyom 8 Kontrolü:**  
(k+m) \odot (a,b) = (a, (k+m)b) = (a, kb+mb)  
(k \odot (a,b)) \oplus (m \odot (a,b)) = (a, kb) \oplus (a, mb) = (a+a, kb+mb) = (2a, kb+mb)

Görüldüğü gibi, (a, kb+mb) \neq (2a, kb+mb) (eğer a \neq 2a yani a \neq 0 ise).  
Örneğin, \mathbf{u} = (1,1), k=1, m=1 alalım.  
(1+1) \odot (1,1) = 2 \odot (1,1) = (1, 2 \cdot 1) = (1,2)  
(1 \odot (1,1)) \oplus (1 \odot (1,1)) = (1, 1 \cdot 1) \oplus (1, 1 \cdot 1) = (1,1) \oplus (1,1) = (1+1, 1+1) = (2,2)  
(1,2) \neq (2,2) olduğu için aksiyom sağlanmaz.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━  
✅ **CEVAP:** Hayır, verilen tanımlanmış toplama ve skaler çarpım işlemleri altında (V, \oplus, \odot) bir vektör uzayı değildir.  
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

* * *

## Sıkça Sorulan Sorular

**1. Vektör uzayı olması için tüm aksiyomlar sağlanmak zorunda mı?**  
Evet, bir kümenin vektör uzayı olarak kabul edilmesi için tanımlı toplama ve skaler çarpım işlemlerinin 10 aksiyonun tamamını sağlaması şarttır. Bir tanesi bile sağlanmazsa vektör uzayı değildir.

**2. Skaler çarpımın ilk bileşeni neden değişmiyor?**  
Verilen tanımda skaler çarpım işlemi (k \cdot a, b \cdot k) yerine (a, k \cdot b) olarak tanımlanmıştır. Bu alışılmadık tanım, çoğu vektör uzayı özelliğini bozar ve genelde lineer cebirde standart işlemlerle çalışırız.

**3. Bu tür sorularla karşılaştığımda ne yapmalıyım?**  
Her bir aksiyomu sırasıyla kontrol edin ve örnek değerler vererek (özellikle skaler çarpım aksiyomlarında) eşitliklerin gerçekten sağlanıp sağlanmadığını test edin.

* * *

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 🚀  
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?