# Tan≤ft(3π/2 + A ) dot sin( B + C ) = 2√2/3

**URL:** <https://sorumatik.co/t/tan-ft-3-2-a-dot-sin-b-c-2-2-3/698072>\
**Category:** YKS TYT\
**Created:** [Ekim 24, 2026, 6:27ös UTC](https://sorumatik.co/t/tan-ft-3-2-a-dot-sin-b-c-2-2-3/698072 "2026-10-24T18:27:26Z")\
**Posts on this page:** 6\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Sultan\_Agir](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sultan_agir/32/232292_2.png) [@Sultan\_Agir](https://sorumatik.co/u/Sultan_Agir)\
**Post date:** [Ekim 24, 2026, 6:27ös UTC](https://sorumatik.co/t/tan-ft-3-2-a-dot-sin-b-c-2-2-3/698072/1 "2026-10-24T18:27:26Z")

</div>

Çevrel çemberinin yarıçapı 12 birim olan ABC üçgeninin iç açıları widehat{A}, widehat{B} ve widehat{C}'dir.  
\tan\left(\frac{3\pi}{2} + widehat{A}\right) dot \sin(widehat{B} + widehat{C}) = \frac{2\sqrt{2}}{3}  
olduğuna göre, ABC üçgeninin uzun kenarının uzunluğu kaç birimdir?  
A) 6  
B) 8  
C) 12  
D) 18  
E) 24

 ![Çevrel çemberinin yarıçapı 12 birim olan ABC üçgeninin iç açıları widehat A , widehat B...](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/5/9/59b47cc11488e6e63ddf4e8c81eaac266a9e9568.jpeg)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![sorumatik\_ai](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sorumatik_ai/32/235405_2.png) [@sorumatik\_ai](https://sorumatik.co/u/sorumatik_ai)\
**Post date:** [Ekim 24, 2026, 6:27ös UTC](https://sorumatik.co/t/tan-ft-3-2-a-dot-sin-b-c-2-2-3/698072/2 "2026-10-24T18:27:51Z")

</div>

## ABC Üçgeninde Kenar Uzunluğu Bulma

💡 **KULLANILAN FORMÜL / KURAL:**

- İndirgeme Formülleri:
\tan\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -\cot(\alpha)
- Üçgenin iç açıları toplamı: \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = \pi \implies \widehat{B} + \widehat{C} = \pi - \widehat{A}
- Bütünler açıların sinüsü: \sin(\pi - \widehat{A}) = \sin(\widehat{A})
- Sinüs Teoremi:
\frac{a}{\sin(\widehat{A})} = 2R

* * *

🧠 **ÇÖZÜM ADIMLARI:**

**Adım 1 — Trigonometrik İfadeleri \widehat{A} Açısı Cinsinden Düzenleme**

Verilen eşitlikteki trigonometrik ifadeleri sadeleştirelim:

- \tan\left(\frac{3\pi}{2} + \widehat{A}\right) = -\cot(\widehat{A})
- Bir üçgende iç açılar toplamı 180^\circ (\pi) olduğundan \widehat{B} + \widehat{C} = \pi - \widehat{A}'dır. Buradan:
\sin(\widehat{B} + \widehat{C}) = \sin(\pi - \widehat{A}) = \sin(\widehat{A})

**Adım 2 — Eşitliği Sadeleştirerek \sin(\widehat{A}) Değerini Bulma**

Bulduğumuz bu eşitlikleri verilen denklemde yerine yazalım:

\left(-\cot(\widehat{A})\right) \cdot \sin(\widehat{A}) = -\frac{2\sqrt{2}}{3}

Kotanjant fonksiyonunu \cot(\widehat{A}) = \frac{\cos(\widehat{A})}{\sin(\widehat{A})} şeklinde açalım:

-\frac{\cos(\widehat{A})}{\sin(\widehat{A})} \cdot \sin(\widehat{A}) = -\frac{2\sqrt{2}}{3}

Sinüsler sadeleşir ve her iki taraf -1 ile çarpılırsa:

\cos(\widehat{A}) = \frac{2\sqrt{2}}{3}

Temel trigonometrik özdeşlikten (\sin^2(\widehat{A}) + \cos^2(\widehat{A}) = 1) \sin(\widehat{A}) değerini hesaplayalım:

\sin^2(\widehat{A}) = 1 - \cos^2(\widehat{A}) = 1 - \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}

Bir üçgenin iç açısı 0^\circ ile 180^\circ arasında olduğu için sinüs değeri daima pozitiftir:

\sin(\widehat{A}) = \frac{1}{3}

**Adım 3 — Sinüs Teoremi ile a Kenarını Hesaplama**

Çevrel çemberin yarıçapı R = 12\text{ birim} olarak verilmiştir. Sinüs teoremini uygulayalım:

\frac{a}{\sin(\widehat{A})} = 2R

a = 2R \cdot \sin(\widehat{A})

a = 2 \cdot 12 \cdot \frac{1}{3} = 24 \cdot \frac{1}{3} = 8\text{ birim}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━  
✅ **CEVAP:** **B) 8**  
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

🎯 **TEMEL KAVRAMLAR:**

- **Sinüs Teoremi:** Bir üçgende herhangi bir kenarın, karşısındaki açının sinüsüne oranı sabittir ve çevrel çemberin çapına (2R) eşittir.
- **Açı İndirgeme:** \frac{3\pi}{2} ekseninde trigonometrik fonksiyonlar isim değiştirir (\tan \to \cot) ve bulunulan bölgenin işaretini alır (4. bölgede tanjant negatif olduğundan -\cot).

⚠ **SIK YAPILAN HATALAR:**

- **❌ Hatalı Yaklaşım:** \tan\left(\frac{3\pi}{2} + \widehat{A}\right) ifadesinde fonksiyonun isim değiştirdiğini unutup doğrudan -\tan(\widehat{A}) yazmak.
- **✅ Doğru Yaklaşım:** Düşey eksen açılarında (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}) fonksiyon adının değiştiğini (\tan \leftrightarrow \cot, \sin \leftrightarrow \cos) dikkate almak.

Sinüs teoremi ile alan formülü arasındaki bağıntıyı içeren benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Sultan\_Agir](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sultan_agir/32/232292_2.png) [@Sultan\_Agir](https://sorumatik.co/u/Sultan_Agir)\
**Post date:** [Ekim 24, 2026, 6:28ös UTC](https://sorumatik.co/t/tan-ft-3-2-a-dot-sin-b-c-2-2-3/698072/3 "2026-10-24T18:28:25Z")

</div>

> [@sorumatik\_ai](#):
>
> ## ABC Üçgeninde Kenar Uzunluğu Bulma
> 
> 💡 **KULLANILAN FORMÜL / KURAL:**
> 
> - İndirgeme Formülleri:
> \tan\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -\cot(\alpha)
> - Üçgenin iç açıları toplamı: \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = \pi \implies \widehat{B} + \widehat{C} = \pi - \widehat{A}
> - Bütünler açıların sinüsü: \sin(\pi - \widehat{A}) = \sin(\widehat{A})
> - Sinüs Teoremi:
> \frac{a}{\sin(\widehat{A})} = 2R
> 
> * * *
> 
> 🧠 **ÇÖZÜM ADIMLARI:**
> 
> **Adım 1 — Trigonometrik İfadeleri \widehat{A} Açısı Cinsinden Düzenleme**
> 
> Verilen eşitlikteki trigonometrik ifadeleri sadeleştirelim:
> 
> - \tan\left(\frac{3\pi}{2} + \widehat{A}\right) = -\cot(\widehat{A})
> - Bir üçgende iç açılar toplamı 180^\circ (\pi) olduğundan \widehat{B} + \widehat{C} = \pi - \widehat{A}'dır. Buradan:
> \sin(\widehat{B} + \widehat{C}) = \sin(\pi - \widehat{A}) = \sin(\widehat{A})
> 
> **Adım 2 — Eşitliği Sadeleştirerek \sin(\widehat{A}) Değerini Bulma**
> 
> Bulduğumuz bu eşitlikleri verilen denklemde yerine yazalım:
> 
> \left(-\cot(\widehat{A})\right) \cdot \sin(\widehat{A}) = -\frac{2\sqrt{2}}{3}
> 
> Kotanjant fonksiyonunu \cot(\widehat{A}) = \frac{\cos(\widehat{A})}{\sin(\widehat{A})} şeklinde açalım:
> 
> -\frac{\cos(\widehat{A})}{\sin(\widehat{A})} \cdot \sin(\widehat{A}) = -\frac{2\sqrt{2}}{3}
> 
> Sinüsler sadeleşir ve her iki taraf -1 ile çarpılırsa:
> 
> \cos(\widehat{A}) = \frac{2\sqrt{2}}{3}
> 
> Temel trigonometrik özdeşlikten (\sin^2(\widehat{A}) + \cos^2(\widehat{A}) = 1) \sin(\widehat{A}) değerini hesaplayalım:
> 
> \sin^2(\widehat{A}) = 1 - \cos^2(\widehat{A}) = 1 - \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}
> 
> Bir üçgenin iç açısı 0^\circ ile 180^\circ arasında olduğu için sinüs değeri daima pozitiftir:
> 
> \sin(\widehat{A}) = \frac{1}{3}
> 
> **Adım 3 — Sinüs Teoremi ile a Kenarını Hesaplama**
> 
> Çevrel çemberin yarıçapı R = 12\text{ birim} olarak verilmiştir. Sinüs teoremini uygulayalım:
> 
> \frac{a}{\sin(\widehat{A})} = 2R
> 
> a = 2R \cdot \sin(\widehat{A})
> 
> a = 2 \cdot 12 \cdot \frac{1}{3} = 24 \cdot \frac{1}{3} = 8\text{ birim}
> 
> ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━  
> ✅ **CEVAP:** **B) 8**  
> ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
> 
> 🎯 **TEMEL KAVRAMLAR:**
> 
> - **Sinüs Teoremi:** Bir üçgende herhangi bir kenarın, karşısındaki açının sinüsüne oranı sabittir ve çevrel çemberin çapına (2R) eşittir.
> - **Açı İndirgeme:** \frac{3\pi}{2} ekseninde trigonometrik fonksiyonlar isim değiştirir (\tan \to \cot) ve bulun…

@sorumatik_ai ya şimdi aile ağaççisi ile ilgili bilgi verilmemiş ya ben bu ağaç belki geniş açı olacak bilmiyorum şimdi bu indir giyeceğiz ya o zaman eksi yani 4 bölgeden geleceğini nereden biliyoruz Belki de geniş açı

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![sorumatik\_ai](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sorumatik_ai/32/235405_2.png) [@sorumatik\_ai](https://sorumatik.co/u/sorumatik_ai)\
**Post date:** [Ekim 24, 2026, 6:28ös UTC](https://sorumatik.co/t/tan-ft-3-2-a-dot-sin-b-c-2-2-3/698072/4 "2026-10-24T18:28:43Z")

</div>

## Trigonometride İndirgeme ve Açının Geniş Olma Durumu

Harika ve son derece kritik bir noktaya değindin! Birçok öğrencinin kafasını karıştıran bu durumu iki temel gerekçeyle netleştirelim:

* * *

### 1. İndirgeme Formülleri Birer Özdeşliktir (Açıdan Bağımsızdır)

Trigonometride indirgeme yaparken pratik olarak açıyı (\widehat{A}) **dar açı gibi kabul ederiz**. Bunun sebebi, formülün genel bir matematiksel özdeşlik olmasıdır.

Açının geniş açı (90^\circ \< \widehat{A} \< 180^\circ) olduğunu varsaysak bile toplam-fark formüllerinden bunu ispatlayabiliriz:

\tan\left(\frac{3\pi}{2} + \widehat{A}\right) = \frac{\sin\left(\frac{3\pi}{2} + \widehat{A}\right)}{\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \widehat{A}\right)}

Toplam formüllerini açtığımızda:

- \sin\left(\frac{3\pi}{2} + \widehat{A}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)\cos(\widehat{A}) + \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)\sin(\widehat{A}) = (-1)\cos(\widehat{A}) + 0 = -\cos(\widehat{A})
- \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \widehat{A}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)\cos(\widehat{A}) - \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)\sin(\widehat{A}) = 0 - (-1)\sin(\widehat{A}) = \sin(\widehat{A})

Buradan oranlarsak:

\frac{-\cos(\widehat{A})}{\sin(\widehat{A})} = -\cot(\widehat{A})

Gördüğün gibi, \widehat{A} ister 10^\circ, ister 120^\circ, ister 1000^\circ olsun; \tan\left(\frac{3\pi}{2} + \widehat{A}\right) ifadesi **her zaman** -\cot(\widehat{A}) değerine eşittir. İşaret analizi açının genişliğini kendi içinde otomatik olarak telafi eder.

* * *

### 2. Çözümün Doğal Sonucu: \widehat{A} Geniş Açı Olamaz

Denklemi çözdüğümüzde elde ettiğimiz sonuca bakalım:

-\cos(\widehat{A}) = -\frac{2\sqrt{2}}{3} \implies \cos(\widehat{A}) = \frac{2\sqrt{2}}{3}

- Bir üçgende iç açılar 0^\circ \< \widehat{A} \< 180^\circ aralığındadır.
- Eğer \widehat{A} **geniş açı** (90^\circ \< \widehat{A} \< 180^\circ) olsaydı, 2. bölgede kosinüs negatif olacağından \cos(\widehat{A}) \< 0 çıkmak zorundaydı.
- Ancak sonucumuz \cos(\widehat{A}) \> 0 (pozitif) çıktığı için \widehat{A} açısının kesinlikle **dar açı** olduğunu matematiksel olarak kanıtlamış olduk.

* * *

💡 **ÖZET:**  
İndirgeme yaparken bilinmeyen açıyı daima **1. bölgedeymiş (dar açıymış)** gibi düşünüp işaret belirleriz; cebirsel kurallar açının geniş olması durumunu da kendiliğinden doğru şekilde yürütür.

Bu indirgeme kurallarının birim çember üzerindeki geometrik mantığını da incelemek ister misin?

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Sultan\_Agir](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sultan_agir/32/232292_2.png) [@Sultan\_Agir](https://sorumatik.co/u/Sultan_Agir)\
**Post date:** [Ekim 24, 2026, 6:29ös UTC](https://sorumatik.co/t/tan-ft-3-2-a-dot-sin-b-c-2-2-3/698072/5 "2026-10-24T18:29:48Z")

</div>

@sorumatik_ai geniş açı olursa peki

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![sorumatik\_ai](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sorumatik_ai/32/235405_2.png) [@sorumatik\_ai](https://sorumatik.co/u/sorumatik_ai)\
**Post date:** [Ekim 24, 2026, 6:30ös UTC](https://sorumatik.co/t/tan-ft-3-2-a-dot-sin-b-c-2-2-3/698072/6 "2026-10-24T18:30:05Z")

</div>

## Açının Geniş Açı Olması Durumunda İşaret Analizi

Geniş açı olduğunda işaretlerin nasıl birbirini dengelediğini **hem bölgeler üzerinden** hem de **sayısal bir örnekle** inceleyelim.

* * *

### 1. Bölge Analizi ile İnceleme

Diyelim ki \widehat{A} açısı bir **geniş açı** olsun (90^\circ \< \widehat{A} \< 180^\circ, yani 2. bölge):

1. **Sol Taraf:** \tan\left(270^\circ + \widehat{A}\right)

2. **Sağ Taraf:** -\cot(\widehat{A})

**Gördüğün gibi:** Sol taraf da pozitif çıktı, sağ taraf da pozitif çıktı! Yani formül işaretini bozmaz, her koşulda birbirine eşit kalır.

* * *

### 2. Somut Sayısal Örnek (\widehat{A} = 120^\circ)

Hemen geniş bir açı olan \widehat{A} = 120^\circ’yi formülde yerine koyalım:

- **Sol taraf:**

- **Sağ taraf (-\cot(\widehat{A}) kuralı):**

İki sonuç da birebir aynı çıktı!

* * *

### 3. Bu Soru Özelinde Neden Geniş Açı Olamaz?

Soru kökünde denklem şuydu:

\tan\left(\frac{3\pi}{2} + \widehat{A}\right) \cdot \sin(\widehat{B} + \widehat{C}) = \frac{2\sqrt{2}}{3}

1. \tan\left(\frac{3\pi}{2} + \widehat{A}\right) = -\cot(\widehat{A})
2. \sin(\widehat{B} + \widehat{C}) = \sin(\pi - \widehat{A}) = \sin(\widehat{A})

Çarptığımızda:

-\cot(\widehat{A}) \cdot \sin(\widehat{A}) = -\frac{\cos(\widehat{A})}{\sin(\widehat{A})} \cdot \sin(\widehat{A}) = -\cos(\widehat{A})

Eşitlersek:

-\cos(\widehat{A}) = \frac{2\sqrt{2}}{3} \implies \cos(\widehat{A}) = -\frac{2\sqrt{2}}{3}

Eğer soru metnindeki eşitliğin sağ tarafı pozitif bir değer verilmişse, \cos(\widehat{A}) negatif çıkar. Bir üçgende kosinüsü negatif olan açı **geniş açıdır**.

Ancak soruda işlem yapıldığında \sin(\widehat{A}) her zaman:

\sin^2(\widehat{A}) = 1 - \cos^2(\widehat{A}) = 1 - \left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9} \implies \sin(\widehat{A}) = \frac{1}{3}

olarak bulunur.

Yani açı dar da olsa geniş de olsa \sin(\widehat{A}) = \frac{1}{3} değeri **asla değişmez**. Kenar uzunluğunu belirleyen Sinüs Teoremi de doğrudan \sin(\widehat{A}) değerini kullandığı için kenar uzunluğu (a = 8) hiçbir durumda değişmez.

Trigonometrik indirgemelerde benzer bir işaret analizi örneği daha yapmak ister misin?