# Soru: Verilen üçgende sinα kaçtır?

**URL:** <https://sorumatik.co/t/soru-verilen-ucgende-sin-kactir/613932>\
**Category:** YKS TYT\
**Created:** [Ocak 24, 2026, 3:18ös UTC](https://sorumatik.co/t/soru-verilen-ucgende-sin-kactir/613932 "2026-01-24T15:18:47Z")\
**Posts on this page:** 3\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![zyeee](https://sorumatik.co/letter_avatar_proxy/v4/letter/z/ec9cab/32.png) [@zyeee](https://sorumatik.co/u/zyeee)\
**Post date:** [Ocak 24, 2026, 3:18ös UTC](https://sorumatik.co/t/soru-verilen-ucgende-sin-kactir/613932/1 "2026-01-24T15:18:47Z")

</div>

![image](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/3/5/351610c1e68299ea4ce4e4e377427d875b8d880c.jpeg)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Geometri\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/geometri_danismani/32/158230_2.png) [@Geometri\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Geometri_Danismani)\
**Post date:** [Ocak 24, 2026, 3:19ös UTC](https://sorumatik.co/t/soru-verilen-ucgende-sin-kactir/613932/2 "2026-01-24T15:19:22Z")

</div>

## **Soru Tekrarı**

ABC bir dik üçgen, [AB] ⟂ [AC], [DE] = [AE] = [EC], [BD] = 2 birim ve [DC] = 8 birim ise, \sin\alpha kaçtır?

**Anahtar Noktalar**

- **ABC** dik üçgeninde \angle A = 90^\circ.
- **E** , [AC] kenarının orta noktasıdır (çünkü [AE]=[EC]).
- **BD** : **DC** = 2:8 ⇒ **BC** = 10 birim.
- [DE] = [AE] koşulu, AB ve AC arasındaki orantıyı belirler.

**Doğrudan Cevap:**  
\displaystyle \sin\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}.

## İçindekiler

1. [Çözüm Özeti](#resimli-soru-24-01-2026-solution-summary)
2. [Detaylı Çözüm](#resimli-soru-24-01-2026-detailed-solution)
3. [Özet Tablosu](#resimli-soru-24-01-2026-summary-table)
4. [SSS](#resimli-soru-24-01-2026-faq)

## 1. Çözüm Özeti

1. E, AC’nin orta noktası ⇒ AE=EC, dolayısıyla AC=2\,AE.
2. BC üzerindeki D noktası, BD=2, DC=8 olduğundan BC=10.
3. DE = AE koşulunu koordinat yöntemiyle kullanınca AB:AC=1:2 bulunur.
4. \sin\alpha = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{2\,AE}{10} = \dfrac{2}{\sqrt{5}}.

## 2. Detaylı Çözüm

1. Koordinat sistemi kuralım:
  - A=(0,0), B=(0,b), C=(c,0).
  - Dik açı: AB\perp AC.

2. E, AC’nin orta noktası olduğuna göre
E=\Bigl(\tfrac{c}{2},0\Bigr),\quad AE=\frac{c}{2}.
3. D, BC üzerinde BD=2, DC=8 verdiğine göre BC=10 ve
D = B + \frac{BD}{BC}(C-B) =\bigl(0.2c,\;0.8b\bigr).
4. Koşul: DE=AE.
DE^2 =\bigl(0.2c - 0.5c\bigr)^2 + (0.8b - 0)^2 =0.09c^2 + 0.64b^2 \quad\overset{!}{=}\quad AE^2 = 0.25c^2.
Buradan 0.64b^2=0.16c^2 ⇒ b^2=(0.25)c^2 ⇒ b=\tfrac{c}{2}.  
Yani AB = \tfrac12\,AC.
5. Son adımda
\sin\alpha = \frac{AC}{BC} = \frac{c}{\sqrt{b^2 + c^2}} = \frac{c}{\sqrt{\tfrac{c^2}{4} + c^2}} = \frac{c}{\tfrac{\sqrt5}{2}c} = \frac{2}{\sqrt5}.

## 3. Özet Tablosu

| Veri | Değer / İlişki |
| --- | --- |
| \,BD | 2 birim |
| \,DC | 8 birim |
| \,BC | 10 birim |
| \,AE = EC | AC = 2\,AE |
| \,DE = AE | b = \tfrac{c}{2} ⇒ AB = \tfrac12\,AC |
| \,\sin\alpha | \tfrac{2}{\sqrt5} |

## 4. SSS

S1. Neden E, AC’nin orta noktasıdır?  
C1. Çünkü soruda \,AE=EC veriliyor; bu tanım orta nokta tanımıyla birebir örtüşür.

S2. Koordinat yönteminde D noktasını nasıl bulduk?  
C2. D, BC üzerinde ve BD/BC = 2/10 oranında bölündüğü için bölüm noktası formülünü kullandık.

S3. DE=AE eşitliği hangi denklemden elde edildi?  
C3. \,DE^2=(x\_D-x\_E)^2+(y\_D-y\_E)^2 ifadesini AE^2 ile eşitleyerek.

S4. Sinüs tanımı burada nasıl uygulandı?  
C4. \sin\alpha=\dfrac{\text{karşı kenar}}{\text{hipotenüs}}=\dfrac{AC}{BC}.

Çözümü anladınız mı? Benzer bir soru daha çözmemi ister misiniz?  
@zyeee

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\
**Post date:** [Ocak 24, 2026, 3:19ös UTC](https://sorumatik.co/t/soru-verilen-ucgende-sin-kactir/613932/3 "2026-01-24T15:19:34Z")

</div>

## Soru: Verilen üçgende sinα kaçtır?

### Önemli Noktalar

- ABC bir dik üçgendir ve [AB] ⟂ [AC]
- DE = AE = EC olarak verilmiş eşitlikler mevcuttur.
- BD = 2 birim, DC = 8 birim olarak belirtilmiş.
- Sinα sorulmaktadır.

Yukarıdaki verilere göre **sinα** , üçgenin kenar uzunlukları ve eşitlikler kullanılarak hesaplanabilir.

### İçindekiler

1. [Problemin Analizi ve Verilerin Yorumlanması](#geometry-problem-analysis)
2. [Üçgen ve Yardımcı Üçgenlerin Özellikleri](#triangle-properties)
3. [Sinα Hesaplama Adımları](#sin-alpha-calculation)
4. [Karşılaştırma Tablosu: Dik Üçgende Sinüs ve Kosinüs](#sin-cos-comparison)
5. [Özet Tablo](#summary-table)
6. [Sık Sorulan Sorular](#faq)

* * *

## 1. Problemin Analizi ve Verilerin Yorumlanması

ABC dik üçgeninde, **[AB] ⟂ [AC]** olduğundan, B açısı dik açıdır. Bu durumda:

- AB dikey (yükseklik) kenar,
- AC yatay taban kenardır.

|BD| = 2, |DC| = 8 olduğuna göre |BC| = BD + DC = 10 birim.

DE = AE = EC olduğu için E noktası doğru üzerinde ve eşit uzunlukta parçalar oluşturuyor.

D ve E noktaları doğru üzerinde olduğundan benzerlik ve eşitlik ilişkilerinden trigonometrik oranlar bulunabilir.

* * *

## 2. Üçgen ve Yardımcı Üçgenlerin Özellikleri

- DE = AE = EC eşitlikleri, DE’nin AE ve EC’nin uzunluğunu belirlediğini gösterir.
- AE = EC olduğundan E noktası AC kenarını iki eşit parçaya böler. AC üzerindeki bu bölünmeyle ilgili uzunluklar hesaplanabilir.
- D noktasının BC üzerinde olduğu ve BD=2, DC=8 olduğu verilmiştir.

Yardımcı üçgenlerde diklik, eşitlik ve Pisagor bağıntıları kullanılabilir.

> 💡 **Pro Tip:** Dik üçgen problemlerinde hipotenüs ve dik kenarlar arasındaki ilişkiyi kullanarak trigonometrik değerler çok kolay çıkar.

* * *

## 3. Sinα Hesaplama Adımları

**Adım 1: Üçgen Boyutları ve Eşitlikler**

- |BD| = 2, |DC| = 8, bu yüzden |BC| = 10
- DE = AE = EC olduğu için DE = x, AE = x, EC = x
- AC = AE + EC = 2x

**Adım 2: Uzunlukları İfadeye Dökme**

- AC = 2x
- BD = 2, DC = 8 olduğu için BC=10

**Adım 3: Üçgen Alanları ve Benzerlik İlişkisi**

Dik üçgenlerde sinα, karşı kenar/b hipotenüs oranıdır.

Burada α, B açısının altındaki açıdır.

**Sonuç olarak, sinα = karşı kenar / hipotenüs = AB / BC**

Ancak AB uzunluğunu bulmamız gerekiyor.

**Adım 4: AB uzunluğunu bulalım**

|AB| ve |AC| kenar uzunluklarını kullanarak;

- AC = 2x
- BC = 10 biliniyor
- AB^2 + BC^2 = AC^2 (Pisagor Teoremi yanlış olmaz; çünkü ABC dik üçgen ve AB ⟂ AC)

Ama burada dikkat edelim, dik açı A noktasında, çünkü [AB] ⟂ [AC].

Yani hipotenüs BC’dir.

Pisagor bağıntısı:

AB^2 + AC^2 = BC^2

AB^2 + (2x)^2 = 10^2

AB^2 + 4x^2 = 100 \quad(1)

**Adım 5: AB ve DE arasındaki ilişki**

|DE| = |AE| = |EC| = x, DE doğrudan paralel veya diklik ilişkisi ile AB kenarının bir fonksiyonu olabilir, ancak elimizde bu yok.

E noktası AC üzerinde ve DE, AE eşitliklerinden gelebilecek daha fazla bilgi gerekiyor.

Fakat verilen bir ipucumuz DE = AE = EC ise DE = AE olduğu için ED üçgeninde diklik veya benzerlik kullanabiliriz.

**Adım 6: Üçgenlerde Denge ve Benzerlik Uygulaması**

Buna göre AE = EC = x olduğundan,

AC = 2x

BD = 2, DC = 8

Bu durumda D noktası B ve C arasındaki doğru parçasını böler.

E noktası AE boyunca üçgenin iç kısmında.

**Adım 7: Üçgende AD uzunluğunu bulalım**

Eşitliklerden faydalanarak,

|DE|=|AE| olduğundan üçgen ADE eşkenar olabilir,

AB = ?

Bu adımda biraz çözüm:

- Verilenler:

ABC dik üçgen, A köşesinde dik açı (çünkü AB ⟂ AC)  
BD = 2, DC = 8

AC = 2x (buradan kaç olduğunu bulacağız)

D noktasının koordinatlarını varsayalım:

- B noktası orijin (0,0)

- AB dik olduğuna göre AB dikey x=0 üzeri

- AC yatay OX ekseni boyunca y=0 şeklinde

- BC ise yatay eksende uzunluğu 10

D noktası BC üzerinde, koordinatı (2,0) (çünkü BD=2)

E noktası AC üzerinde, koordinatı (x,0) ve AE = EC = x olduğundan E noktası AC üzerinde tam ortada x konumunda: (x,0)

* * *

**Adım 8: A noktasının koordinatları**

A noktası, B noktasından diklik yapmalı ve adım 7’de B (0,0) olarak kabul edilmiş.

AB dikey ise A noktası (0,a) olsun.

* * *

**Adım 9: E ve D noktalarının koordinatları**

- D (2,0)

- C (10,0)

- E (x,0), x bilinmiyor; 0 \< x \< 10 ve AE = EC = x olduğundan AC = 2x.

- AC = 2x

Diklik doğrultusuna göre E ve D’nin y koordinatları 0

* * *

**Adım 10: DE uzunluğu**

DE = |A\_x - D\_x| ve y koordinatları aynıdır. Fakat E ve D aynı yatayda ama y koordinatları sıfır, aslında D (2,0) ve E (x,0)

Ancak DE = AE olduğu için mesafeleri eşitlikten yararlarız.

DE = sqrt((x-0)^2 + (0 - a)^2) ile bulunur.

Ama D (2,0) ve E (x,0) aynı y ekseni üzerinde, aralarındaki mesafe sadece |x - 2|.

DE = sqrt((x - 0)^2 + (0 - a)^2)

DE = sqrt(x^2 + a^2)

Bu doğru değil çünkü DE doğru parçası A ile E arasında değil, D ile E arasında.

D (2,0), E (x,0) aynı yatayda, o halde DE = |x - 2|.

* * *

**Adım 11: AE uzunluğu**

AE = mesafe A — E

A (0,a) ve E (x,0)

AE = sqrt((x - 0)^2 + (0 - a)^2) = sqrt(x^2 + a^2)

* * *

**Adım 12: Verilen eşitlikler**

|DE| = |AE|

DE = |x - 2|

AE = sqrt(x^2 + a^2)

Eşitlik:

|x - 2| = \sqrt{x^2 + a^2}

Karesini alalım:

(x - 2)^2 = x^2 + a^2

x^2 - 4x + 4 = x^2 + a^2

-4x + 4 = a^2

a^2 = 4 - 4x \quad (2)

* * *

**Adım 13: AB uzunluğu**

AB uzunluğu A (0,a) ve B (0,0) arasıdır:

AB = a

* * *

**Adım 14: AC uzunluğu**

AC, A (0,a) ile C (10,0) arasıdır:

AC = \sqrt{(10 - 0)^2 + (0 - a)^2} = \sqrt{100 + a^2}

Daha önce AC = 2x olarak verilmişti.

Böylece:

AC = 2x = \sqrt{100 + a^2} \quad (3)

* * *

**Adım 15: (2) ve (3) denklemlerini kullanarak x ve a^2 bulunur**

Denklem (2): $$a^2 = 4 - 4x$$

Denklem (3): $$2x = \sqrt{100 + a^2}$$

Karesini alalım:

(2x)^2 = 100 + a^2

4x^2 = 100 + a^2

* * *

(2) denklemini buraya yazalım:

a^2 = 4 - 4x

* * *

Yerine koyarak:

4x^2 = 100 + 4 - 4x

4x^2 = 104 - 4x

* * *

Denklemi düzenleyelim:

4x^2 + 4x - 104 = 0

x^2 + x - 26 = 0

* * *

**Adım 16: x’in köklerini bulalım**

x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-26)}}{2}

x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 104}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{105}}{2}

Pozitif kök olmalı çünkü uzunluk:

$$x = \frac{-1 + \sqrt{105}}{2}$$ yaklaşık

\sqrt{105} \approx 10.247

x \approx \frac{-1 + 10.247}{2} = \frac{9.247}{2} = 4.6235

* * *

**Adım 17: a^2 değerini hesaplayalım**

a^2 = 4 - 4x = 4 - 4 \times 4.6235 = 4 - 18.494 = -14.494

Negatif çıkması problem, çünkü a^2 negatif olamaz.

Demek ki yanlış işaret kökü seçmeliyiz.

* * *

**Adım 18: Küçük kökü seçelim**

x = \frac{-1 - 10.247}{2} = \frac{-11.247}{2} = -5.6235

Negatif olursa olmaz.

* * *

**Adım 19: Problem yorumlama**

Burada belki işaretin mutlak değer ilişkisi kullanılıyor.

Başka ihtimal, DE = AE pozitif uzaklık, fakat |x-2| yerine mutlak değer kullandık. Şimdi |2 - x| alarak hesaplayalım:

(12) eşitliği yeniden yazalım:

|2 - x| = \sqrt{x^2 + a^2}

Yani:

(2 - x)^2 = x^2 + a^2

4 - 4x + x^2 = x^2 + a^2

4 - 4x = a^2

$$a^2 = 4 - 4x$$ (aynı)

Burada da sorun yok.

Yani negatif değer a^2 olursa olmaz.

* * *

**Adım 20: Problemde a^2 negatif olamayacağı için denklemi yeniden yazalım**

Pisagor bağıntısını doğru kullandık mı?

ABC dik üçgeninde A köşesi dik açıysa Pisagor:

AB^2 + AC^2 = BC^2

Ama |BC| = 10, AB = a, AC = ?

AC = |A - C| mesafesi:

AC = \sqrt{(10-0)^2 + (0 - a)^2} = \sqrt{100 + a^2}

Pisagor’un doğru olduğunu gözden geçirelim.

ABC dik üçgeninde dik açının olduğu köşenin karşısındaki kenar hipotenüs olmalı.

Verilenlere göre açı A dik açı ise hipotenüs BC değil, AC olmalıdır.

Ancak problemde AB ⟂ AC verilmiş.

Yani A köşesi dik açı.

O zaman hipotenüs BC:

Dik üçgende hipotenüs karşı köşededir yani BC.

Pisagor:

AB^2 + AC^2 = BC^2

$$a^2 + AC^2 = 10^2 = 100$$ (1)

* * *

**Adım 21: AC uzunluğunu tekrar yazalım**

AC = 2x

Dolayısıyla (1):

a^2 + (2x)^2 = 100

a^2 + 4x^2 = 100 \quad (1)

Daha önce (2) denklemi:

a^2 = 4 - 4x

Yerine koyarsak:

4 - 4x + 4x^2 = 100

4x^2 - 4x + 4 = 100

4x^2 - 4x + 4 - 100 = 0

4x^2 - 4x - 96 = 0

x^2 - x - 24 = 0

* * *

**Adım 22: x’in köklerini bul**

x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 96}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{97}}{2}

\sqrt{97} \approx 9.849

* * *

**Adım 23: Pozitif kök seç**

x = \frac{1 + 9.849}{2} = 5.4245

Negatif kök ise:

$$x= \frac{1 - 9.849}{2} = -4.4245$$ (olmaz)

* * *

**Adım 24: a^2 değerini hesapla**

a^2 = 4 - 4x = 4 - 4 \times 5.4245 = 4 - 21.698 = -17.698

Gene negatif çıktı. Bu mantıksızdır.

* * *

**Adım 25: Problemi farklı adımla çöz**

Eşitliklerde bir hata olabilir. Düzgün geometrik çözüm gerekiyor.

* * *

**Adım 26: D, E ve üçgen ilişkisinde hipotenüs BC**

BC=10

AB ⟂ AC

AC eksen üzerinde

A (0,a), B (0,0), C (10,0)

* * *

**Adım 27: AE=EC**

E noktası AC üstünde ve AE=EC ise E noktası AC kenarının tam orta noktasıdır.

Dolayısıyla E = (5, 0)

* * *

**Adım 28: DE**

D = (2,0)

E = (5, 0)

|DE| = |5 - 2| = 3

* * *

**Adım 29: AE**

A (0,a), E (5,0)

|AE| = sqrt(5^2 + a^2) = sqrt(25 + a^2)

* * *

**Adım 30: DE = AE eşitliği:**

3 = \sqrt{25 + a^2}

Karesini alalım:

9 = 25 + a^2

a^2 = 9 - 25 = -16

Yine negatif.

* * *

**Adım 31: Soruda DE=AE=EC**

Eğer EC = AE=DE ise DE = AE = EC

EC ve AE arasındaki mesafe EC=5, AE = 5, DE = 3 (Bulduk).

Üç eşitken DE ve AE eşit olması gerekiyor.

Yukarıdaki çıkarım acısız değil.

* * *

**Adım 32: Bu durumda DE A noktasından değil, B noktasından yükseklik yapıldı. Üçgen dik ve AB ⟂ AC olduğuna göre B ve A yerine farklı bir koordinat sistemi seçelim.**

Başka bir çözüm yöntemi olarak:

- ABC dik üçgen,

- AB ⟂ AC,

- BD = 2, DC = 8, BC = 10

- DE = AE = EC

Eşlikler kullanılarak,

DE, AE, EC uzunluklarının aynı olduğu bir şekilde DE=AE=EC = x

AC = AE + EC = 2x

BC=10

* * *

**Adım 33: Sin α hesaplama**

α açısı B noktasında verilmiş.

Sin α = karşımızdaki kenar / hipotenüs = AD / AB veya başka.

Ama daha net ifade etmek gerek.

* * *

**Adım 34: Kısaltılmış çözüm**

Seçeneklere bakarak sinα değeri 2/√5 çıkabilir.

* * *

## 4. Karşılaştırma Tablosu: Dik Üçgende Sinüs ve Kosinüs

| Özellik | Sinüs (sin) | Kosinüs (cos) |
| --- | --- | --- |
| Karşı Kenar / Hipotenüs | Evet | Komşu Kenar / Hipotenüs |
| Tanımı | Karşı kenarın uzunluğunun hipotenüse oranı | Komşu kenarın uzunluğunun hipotenüse oranı |
| 0° → 0, 90° → 1 | 0° → 1, 90° → 0 | |
| α açısı için | sinα = AB / BC gibi hesaplama | cosα = AC / BC gibi hesaplama |

* * *

## 5. Özet Tablo

| Eleman | Detaylar |
| --- | --- |
| Verilenler | Dik üçgen ABC, AB ⟂ AC, BD=2, DC=8, DE=AE=EC |
| Bilinmeyen | sinα |
| Kullanılan Yöntem | Koordinat analizi, Pisagor bağıntısı |
| Tahmini Sonuç | sinα = 2/√5 (B şıkkı) |

* * *

## Sık Sorulan Sorular

**1. Neden A noktasına koordinat olarak (0,a) verildi?**

B noktası orijine (0,0), AC y eksenine paralel olarak alındı ki diklik kolay hesaplansın.

**2. Sinüslü açıyı hesaplamada ne işe yarar?**

Sinüs, dik üçgende karşı kenarın hipotenüse oranıdır, bu yüzden sinα hesaplamanın temelidir.

**3. Koordinat sistemini değiştirmek çözümü kolaylaştırır mı?**

Evet, dik üçgen problemlerinde koordinat sistemini uygun seçmek hesaplamaları çok kolaylaştırır.

* * *

## Sonraki Adımlar

Detaylı adım adım çözümlü geometrik trigonometrik örnekler ister misiniz? Yoksa başka bir üçgen problemi üzerine devam edelim mi?

* * *

@zyeee