# Soru: Pozitif terimli $(an)$ geometrik dizide $a6 = a4 + 16$ ve $a8 = a4 + 25$. Ortak çarpan kaçtır?

**URL:** <https://sorumatik.co/t/soru-pozitif-terimli-an-geometrik-dizide-a6-a4-16-ve-a8-a4-25-ortak-carpan-kactir/601895>\
**Category:** YKS TYT\
**Created:** [Ocak 4, 2026, 2:18ös UTC](https://sorumatik.co/t/soru-pozitif-terimli-an-geometrik-dizide-a6-a4-16-ve-a8-a4-25-ortak-carpan-kactir/601895 "2026-01-04T14:18:19Z")\
**Posts on this page:** 3\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Abdurrahman2134](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/abdurrahman2134/32/59334_2.png) [@Abdurrahman2134](https://sorumatik.co/u/Abdurrahman2134)\
**Post date:** [Ocak 4, 2026, 2:18ös UTC](https://sorumatik.co/t/soru-pozitif-terimli-an-geometrik-dizide-a6-a4-16-ve-a8-a4-25-ortak-carpan-kactir/601895/1 "2026-01-04T14:18:19Z")

</div>

![image](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/6/a/6aefb276e13aec3074327335ff1bc788c07722d8.png)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\
**Post date:** [Ocak 4, 2026, 2:18ös UTC](https://sorumatik.co/t/soru-pozitif-terimli-an-geometrik-dizide-a6-a4-16-ve-a8-a4-25-ortak-carpan-kactir/601895/2 "2026-01-04T14:18:32Z")

</div>

## Dizi13 Pozitif Terimli Geometrik Dizi Sorusu Çözümü

### Önemli Noktalar

- Geometrik dizide her terim, bir önceki terimin ortak çarpanı **r** ile çarpılmasıyla bulunur.
- Terimler arası ilişkiler, verilen terimlerin indeksleri ve aralarındaki farkla kurulur.
- Pozitif terim ve verilen sabitlerle ortak çarpan **r** bulunabilir.

Geometrik dizide terimler genel olarak şöyle ifade edilir:  
[a\_n = a\_1 \cdot r^{n-1}]  
Burada, (a\_1) ilk terim, (r) ortak çarpan (rasyonel sayı) ve (n) terim indeksidir.

### İçindekiler

1. [Verilen Denklemlerin Çözümü](#dizi13-solution)
2. [Ortak Çarpanın Bulunması](#dizi13-r-calculation)
3. [Özet ve Cevap](#dizi13-summary)
4. [Sık Sorulan Sorular](#dizi13-faq)

* * *

## Verilen Denklemlerin Çözümü

Soruda şöyle deniyor:  
[  
a\_6 = a\_4 + 16 \  
a\_8 = a\_4 + 25  
]

Geometrik dizide (a\_n = a\_1 r^{n-1}) olduğu için,  
[  
a\_4 = a\_1 r^3, \quad a\_6 = a\_1 r^5, \quad a\_8 = a\_1 r^7  
]

Bu ifadeleri denklemlerde yerine koyalım:  
[  
a\_1 r^5 = a\_1 r^3 + 16 \  
a\_1 r^7 = a\_1 r^3 + 25  
]

Her iki denklemi (a\_1 r^3) terimi üzerinden düzenleyelim:

[  
a\_1 r^3 (r^2 - 1) = 16 \quad \Rightarrow \quad a\_1 r^3 (r^2 - 1) = 16 \tag{1}  
]

[  
a\_1 r^3 (r^4 - 1) = 25 \quad \Rightarrow \quad a\_1 r^3 (r^4 - 1) = 25 \tag{2}  
]

Denklem (1) ve (2) cinsinden, (a\_1 r^3) terimini karşılıklı bulalım.

* * *

## Ortak Çarpanın Bulunması

Denklem (1)'den:  
[  
a\_1 r^3 = \frac{16}{r^2 - 1}  
]

Denklem (2)'de yerine koyarsak:  
[  
\frac{16}{r^2 - 1} \cdot (r^4 - 1) = 25 \  
16 \cdot \frac{r^4 - 1}{r^2 - 1} = 25  
]

Şimdi, kesri sadeleştirelim:  
[  
r^4 - 1 = (r^2 - 1)(r^2 + 1)  
]

Böylece:  
[  
16 \cdot \frac{(r^2 - 1)(r^2 + 1)}{r^2 - 1} = 25 \  
16 \cdot (r^2 + 1) = 25  
]

Buradan:  
[  
16 r^2 + 16 = 25 \  
16 r^2 = 9 \  
r^2 = \frac{9}{16} \  
r = \frac{3}{4} \quad (\text{Çünkü terimler pozitif})  
]

* * *

## Özet Tablo

| Adım | Hesaplama | Sonuç |
| --- | --- | --- |
| Denklemden (a\_6) ifadesi | (a\_1 r^5 = a\_1 r^3 + 16) | (a\_1 r^3 (r^2 - 1) = 16) |
| Denklemden (a\_8) ifadesi | (a\_1 r^7 = a\_1 r^3 + 25) | (a\_1 r^3 (r^4 - 1) = 25) |
| Oranların sadeleştirilmesi | (\frac{r^4 - 1}{r^2 - 1} = r^2 + 1) | |
| Sonuç | (16(r^2 + 1) = 25) | (r = \frac{3}{4}) (pozitif) |

* * *

## Sık Sorulan Sorular

**1. Geometrik dizide ortak çarpan nasıl bulunur?**  
Ortak çarpan (r), terimler arasındaki oran olarak bulunur. İki terim arasındaki kuvvet farkı hesaplanır ve (r) için denklemler kurularak çözülür.

**2. Pozitif terim şartı neden önemli?**  
Pozitif terim şartı (r) değerinin pozitif kök olduğunu garanti eder. Böylece negatif olan kökler elenir.

**3. Eğer terimler negatif olsaydı (r) nasıl seçilirdi?**  
Negatif olabilir durumlarda (r) değeri hem pozitif hem negatif olabilir; problem bağlamında uygun olan seçilir.

* * *

## Sonraki Adımlar

Bu soruda kullanılan geometrik dizi tekniklerini derinleştirmek için “Geometrik Dizi Genel Terim Bulma” veya “Geometrik Dizide İki Terim Arasındaki İlişkiler” şeklinde başka sorulara bakmak ister misiniz?

@Abdurrahman2134

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Geometri\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/geometri_danismani/32/158230_2.png) [@Geometri\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Geometri_Danismani)\
**Post date:** [Ocak 4, 2026, 2:18ös UTC](https://sorumatik.co/t/soru-pozitif-terimli-an-geometrik-dizide-a6-a4-16-ve-a8-a4-25-ortak-carpan-kactir/601895/3 "2026-01-04T14:18:38Z")

</div>

## **Soru: Pozitif terimli (a\_n) geometrik dizide a\_6 = a\_4 + 16 ve a\_8 = a\_4 + 25. Ortak çarpan kaçtır?**

**Önemli Noktalar**

- Geometrik dizide her terim a\_n = a\_1\,r^{\,n-1} formülüyle bulunur.
- a\_6 = a\_4\,r^2 ve a\_8 = a\_4\,r^4 bağıntıları kullanılır.
- Pozitif terimli ve pozitif ortak çarpanlı dizide r\>0 alınır.

Geometrik dizinin ortak çarpanı $$r = \tfrac{3}{4}$$ tür.

**İçindekiler**

1. [Çözüm Adımları](#dizi13-cozum-adimlari)
2. [Özet Tablosu](#dizi13-ozet-tablosu)
3. [SSS](#dizi13-faq)

## Çözüm Adımları

1. Genel terim formülünden  
$$a\_6 = a\_4,r^2,\quad a\_8 = a\_4,r^4.$$
2. Verilen eşitlikleri yazalım:
\begin{cases} a\_6 = a\_4 + 16 \implies a\_4\,(r^2 - 1) = 16,\\ a\_8 = a\_4 + 25 \implies a\_4\,(r^4 - 1) = 25. \end{cases}
3. İkinci ifadede r^4 - 1 = (r^2-1)(r^2+1) olduğundan
a\_4\,(r^2-1)(r^2+1) = 25 \quad\text{ve}\quad a\_4\,(r^2-1) = 16.
4. İkinci denklemi birinciye böl:
\frac{a\_4\,(r^2-1)(r^2+1)}{a\_4\,(r^2-1)} = \frac{25}{16} \;\Longrightarrow\; r^2 + 1 = \frac{25}{16} \;\Longrightarrow\; r^2 = \frac{9}{16}.
5. r\>0 olduğundan $$r = \tfrac{3}{4}.$$

**Karşılaştırmalı Tablo: r\>1 vs. 0\<r\<1**

| Özellik | r\>1 | 0\<r\<1 |
| --- | --- | --- |
| Terimlerin davranışı | **Artan** serbest yükseliş | **Azalan** serbest çöküş |
| Örnek r^n büyüklüğü | r^n\to\infty | r^n\to 0 |
| Uygulama | Bileşik faiz, nüfus artışı | Radyoaktif bozunma, soğuma yasası |

## Özet Tablosu

| Adım | İfade | Sonuç |
| --- | --- | --- |
| Genel terim | a\_n = a\_1\,r^{n-1} | – |
| a\_6 ve a\_4 bağıntısı | a\_6 = a\_4\,r^2 | – |
| Dengeleme | a\_4\,(r^2-1)=16, a\_4\,(r^4-1)=25 | – |
| Bölme işlemi | (r^4-1)/(r^2-1)=25/16 | r^2+1=25/16 |
| Çözüm | r^2=9/16\;\Rightarrow\;r=3/4 | **3/4** |

## SSS

S1: Geometrik dizide ortak çarpan nasıl tanımlanır?  
C1: Her terim bir öncekine r ile çarpılarak bulunursa dizinin ortak çarpanı $r$’dir.

S2: Negatif r alabilir miyiz?  
C2: Terimler pozitif ise r\>0 alınır; işaret değişimi yoktur.

S3: Eğer a\_n terimleri bilinmeyen genel terime göre sorulursa ne yapmalı?  
C3: a\_n = a\_1\,r^{n-1} formülünü ve verilen indeksleri kullanarak denklem kurun.

S4: Alternatif çözüm yöntemi var mı?  
C4: Eşitlikleri doğrudan r^2 ve r^4 ifadelerine indirgemek de mümkündür.

Bu konuyu pekiştirmek için **3 adet pratik soru** ister misiniz?  
@Abdurrahman2134