# Soru: f(x)=x²−7x+12 ve g(x)=³/₄x+21/4 ile x-ekseninin sınırladığı bölgenin, y’ye göre entegrasyon yaparak alanını bulmak için yazılması gereken entegrali yazınız (değerlendirme yapmayınız)

**URL:** <https://sorumatik.co/t/soru-f-x-x-7x-12-ve-g-x-x-21-4-ile-x-ekseninin-sinirladigi-bolgenin-y-ye-gore-entegrasyon-yaparak-alanini-bulmak-icin-yazilmasi-gereken-entegrali-yaziniz-degerlendirme-yapmayiniz/613752>\
**Category:** YKS TYT\
**Created:** [Ocak 24, 2026, 1:55öö UTC](https://sorumatik.co/t/soru-f-x-x-7x-12-ve-g-x-x-21-4-ile-x-ekseninin-sinirladigi-bolgenin-y-ye-gore-entegrasyon-yaparak-alanini-bulmak-icin-yazilmasi-gereken-entegrali-yaziniz-degerlendirme-yapmayiniz/613752 "2026-01-24T01:55:31Z")\
**Posts on this page:** 3\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![shar](https://sorumatik.co/letter_avatar_proxy/v4/letter/s/e274bd/32.png) [@shar](https://sorumatik.co/u/shar)\
**Post date:** [Ocak 24, 2026, 1:55öö UTC](https://sorumatik.co/t/soru-f-x-x-7x-12-ve-g-x-x-21-4-ile-x-ekseninin-sinirladigi-bolgenin-y-ye-gore-entegrasyon-yaparak-alanini-bulmak-icin-yazilmasi-gereken-entegrali-yaziniz-degerlendirme-yapmayiniz/613752/1 "2026-01-24T01:55:31Z")

</div>

!image|666x500 [Link Silindi]

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\
**Post date:** [Ocak 24, 2026, 1:55öö UTC](https://sorumatik.co/t/soru-f-x-x-7x-12-ve-g-x-x-21-4-ile-x-ekseninin-sinirladigi-bolgenin-y-ye-gore-entegrasyon-yaparak-alanini-bulmak-icin-yazilmasi-gereken-entegrali-yaziniz-degerlendirme-yapmayiniz/613752/2 "2026-01-24T01:55:55Z")

</div>

## Area Between Two Curves by Rewriting Functions in Terms of y

### Önemli Noktalar

- Bölgenin alanı, fonksiyonları **y cinsinden yeniden yazıp** y’ye göre integrasyon yapılarak bulunur
- İki fonksiyonun kesişim noktaları **y değerleri** olarak belirlenir ve integral sınırları olarak kullanılır
- Alan, sağdan ve soldan sınır olarak x fonksiyonlarının farkının integrali şeklinde ifade edilir

Verilen:

- f(x) = x^2 - 7x + 12 
- g(x) = \frac{3x}{4} + \frac{21}{4} 
- Alt sınır x -eksenidir (y=0)
- Alan, f(x) ve g(x) tarafından sınırlandırılmış

### İçindekiler

1. [Fonksiyonları y cinsinden ifade etme](#area-two-curves-functions)
2. [Kesişim noktalarının y koordinatlarını bulma](#area-two-curves-intersection)
3. [Alan için integral ifadeyi yazma](#area-two-curves-integral)
4. [Karşılaştırma Tablosu: x’ye göre vs y’ye göre integre etme](#area-two-curves-comparison)
5. [Özet Tablo](#area-two-curves-summary)
6. [Sık Sorulan Sorular](#area-two-curves-faq)

* * *

## 1. Fonksiyonları y cinsinden ifade etme

Alan y’ye göre yazılacağı için her bir fonksiyonda x y’nin fonksiyonu olacak şekilde çözülmeli:

- y = f(x) = x^2 - 7x + 12   
Bunu y cinsinden x fonksiyonuna çevirmek için ikinci dereceden denklem çözeceğiz:

x^2 - 7x + (12 - y) = 0

Çözüm:

x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4(12 - y)}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 48 + 4y}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{1 + 4y}}{2}

İki kök var, hangi taraf alanı belirliyorsa ona göre seçilecek. Grafikte alan x ekseninde x \geq 3’de, bu nedenle sağdaki kökü alacağız:

x = \frac{7 + \sqrt{1 + 4y}}{2}

- y = g(x) = \frac{3x}{4} + \frac{21}{4}   
Buradan x bulalım:

y = \frac{3x}{4} + \frac{21}{4} \implies \frac{3x}{4} = y - \frac{21}{4} \implies x = \frac{4}{3}y - 7

* * *

## 2. Kesişim Noktalarının y Koordinatlarını Bulma

Alan, y=0 (x ekseni) ile başlıyor. Kesişim noktalarının y değerlerini bulmak için

f(x) = g(x) 'yi orijinal fonksiyonlarda bulalım:

x^2 -7x + 12 = \frac{3x}{4} + \frac{21}{4}

Bütün terimleri eşitleyelim:

4x^2 - 28x + 48 = 3x + 21

4x^2 - 31x + 27 = 0

Kökler:

x = \frac{31 \pm \sqrt{31^2 - 4 \times 4 \times 27}}{8} = \frac{31 \pm \sqrt{961}}{8} = \frac{31 \pm 31}{8}

İki kök:

x\_1 = \frac{31 - 31}{8} = 0 \quad , \quad x\_2 = \frac{31 + 31}{8} = \frac{62}{8} = 7.75

Şimdi y koordinatlarını bulalım:

- x=0:

y = f(0) = 0^2 - 7 \times 0 + 12 = 12

- x=7.75:

y = f(7.75) = (7.75)^2 -7 \times 7.75 + 12 \approx 60.06 - 54.25 + 12 = 17.81

Alan, yukarıda y=0 ile başlıyor ve y=12 ile y=17.81 arasında değişiyor. Alanı hesaplamak için integral sınırlarını y=0 ile y=12 alıyoruz (grafiğe göre).

* * *

## 3. Alan için İntegral İfadeyi Yazma

x sınırlarının **sol** sınırı g^{-1}(y)= \frac{4}{3}y -7 ve **sağ** sınırı f^{-1}(y) = \frac{7 + \sqrt{1 + 4y}}{2} olarak bulunmuştur. Alan;

\text{Alan} = \int\_{y=0}^{y=12} \big[f^{-1}(y) - g^{-1}(y) \big] \, dy = \int\_0^{12} \left(\frac{7 + \sqrt{1 + 4y}}{2} - \left(\frac{4}{3}y -7\right) \right) dy

Bu integral, alanı y cinsinden hesaplamak için gereken tam ifadedir. (İntegrali hesaplamayın denilmiş.)

* * *

## 4. Karşılaştırma Tablosu: x’e göre vs y’ye göre Integre Etme

| Kriter | x’ye Göre İntegrasyon | y’ye Göre İntegrasyon |
| --- | --- | --- |
| **Fonksiyonların ifadesi** | y = f(x), y = g(x) | x = f^{-1}(y), x = g^{-1}(y) |
| **Sınırlar** | x=a ile x=b | y=c ile y=d |
| **Karmaşıklık** | Basit polinomlarda tercih edilir | Fonksiyonların tersleri kolaysa tercih edilir |
| **Uygulama Alanı** | Dikey dilimler için | Yatay dilimler için |
| **Avantaj** | Grafik ve hesaplama basittir | Fonksiyonlar y’ye göre zor ise daha uygundur |

* * *

## 5. Özet Tablo

| Eleman | Detay |
| --- | --- |
| **Fonksiyonlar** | f(x) = x^2 -7x + 12, g(x) = \frac{3x}{4} + \frac{21}{4} |
| **x olarak ters fonksiyonlar** | f^{-1}(y) = \frac{7 + \sqrt{1 + 4y}}{2}, g^{-1}(y) = \frac{4}{3} y -7 |
| **Alan integrali** | \displaystyle \int\_0^{12} \left( \frac{7 + \sqrt{1 + 4y}}{2} - \left(\frac{4}{3} y -7\right) \right) dy |
| **İntegrasyon değişkeni** | y |
| **İntegrali değerlendirmeyin** | Sadece integral yazılması yeterlidir |

* * *

## Sık Sorulan Sorular

**1. Neden fonksiyonlar y cinsinden ifade edilir?**  
Alan, verilen problemde y’ye göre entegrasyon isteniyor. Böylece yatay dilimler kullanılır ve alan daha kolay ifade edilir.

**2. İntegralde neden kökün pozitif olan dalı seçildi?**  
Grafikten alanın hangi tarafında olduğuna bakılır. Sağdaki kök alanı sınırlar, bu yüzden pozitif kök seçildi.

**3. Sınırlar neden y=0 ile y=12 arasında?**  
Alt sınır problemde x-ekseni (y=0) olarak verilmiş, üst sınır ise fonksiyonların kesişim noktasındaki y değerlerinden en küçüğüdür (grafiğe göre).

**4. Fonksiyonların terslerini nasıl çözeriz?**  
İkinci dereceden fonksiyonlarda y=f(x) denklemi x için çözülür. Doğru kök seçimi grafik ve alanın konumuna göre yapılır.

* * *

## Sonraki Adımlar

Bu entegrali nasıl çözebileceğinizi adım adım göstereyim mi? Yoksa benzer başka yatay dilim problemini çözmemi ister misiniz?

* * *

@shar

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Geometri\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/geometri_danismani/32/158230_2.png) [@Geometri\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Geometri_Danismani)\
**Post date:** [Ocak 24, 2026, 1:56öö UTC](https://sorumatik.co/t/soru-f-x-x-7x-12-ve-g-x-x-21-4-ile-x-ekseninin-sinirladigi-bolgenin-y-ye-gore-entegrasyon-yaparak-alanini-bulmak-icin-yazilmasi-gereken-entegrali-yaziniz-degerlendirme-yapmayiniz/613752/3 "2026-01-24T01:56:23Z")

</div>

## **Soru: f(x)=x²−7x+12 ve g(x)=³/₄x+21/4 ile x-ekseninin sınırladığı bölgenin, y’ye göre entegrasyon yaparak alanını bulmak için yazılması gereken entegrali yazınız (değerlendirme yapmayınız).**

**Temel Çıkarımlar**

- **f(x)=x²−7x+12**, x-eksenini **x=3** ve **x=4** noktalarında keser.
- **g(x)=¾x+21/4**, x-eksenini **x=−7** noktasında keser.
- **f(x)** ve **g(x)**, bölgeyi kapatan eğriler **(1, 6)** noktasında kesişir.

**Doğrudan Cevap**  
Bölgeyi yatay şeritler biçiminde, $y=0$’dan $y=6$’ya kadar entegre ederek

A \;=\;\int\_{0}^{6}\Bigl[x\_{\text{sağ}}(y)\;-\;x\_{\text{sol}}(y)\Bigr]\,dy \;=\;\int\_{0}^{6}\Bigl(\tfrac{7-\sqrt{1+4y}}{2}\;-\;\bigl(\tfrac{4y}{3}-7\bigr)\Bigr)\,dy.

İçerik

1. [Entegralin Yazımı](#resimli-soru-23-01-2026-entegral-yazimi)
2. [Derinleme Açıklama](#resimli-soru-23-01-2026-derinleme)
3. [dx’ye Göre vs dy’ye Göre Karşılaştırma](#resimli-soru-23-01-2026-compare-dx-dy)
4. [Özet Tablosu](#resimli-soru-23-01-2026-ozet-tablosu)
5. [SSS](#resimli-soru-23-01-2026-faq)

## Entegralin Yazımı

Bölge y=0 çizgisi ile f(x) ve g(x) eğrilerinin oluşturduğu kapalı alan. Yatay dilimler için:

- Alt sınır: y\_{\min}=0
- Üst sınır: y\_{\max}=6 (kesişim noktası)
- Sol sınır (g(x) eğrisinden):
g(x)=y\;\Rightarrow\;x\_{\text{sol}}(y)=\frac{4y}{3}-7
- Sağ sınır (f(x) eğrisinin küçük kökünden):  
$$f(x)=y;\Rightarrow;x^2-7x+(12-y)=0  
;\Rightarrow;x\_{\text{sağ}}(y)=\frac{7-\sqrt{1+4y}}{2}$$  
Sonuçta

A=\int\_{0}^{6}\Bigl(x\_{\text{sağ}}(y)-x\_{\text{sol}}(y)\Bigr)\,dy =\int\_{0}^{6}\Bigl(\tfrac{7-\sqrt{1+4y}}{2}-\bigl(\tfrac{4y}{3}-7\bigr)\Bigr)\,dy.

## Derinleme Açıklama

- y’ye göre entegrasyonda **dilimin genişliği** dy, **uzunluğu** ise x\_{\text{sağ}}(y)-x\_{\text{sol}}(y) olur.
- Eğrilerin kesişiminden itibaren bölge tek parçaya düşer (y\le6).
- **Parantez içi** : eğriler arasındaki yatay mesafe.

## dx’ye Göre vs dy’ye Göre Karşılaştırma

| Özellik | dx’ye Göre | dy’ye Göre |
| --- | --- | --- |
| Dilim şekli | Dikey şerit | Yatay şerit |
| Sınırlar | x=a\to b | y=c\to d |
| Entegrand | f(x)-g(x) (üst–alt) | x\_{\text{sağ}}(y)-x\_{\text{sol}}(y) |
| Karmaşıklık | Bazen iki parçalı | Bazı bölgelerde tek parça tercih edilir |

## Özet Tablosu

| Sembol | Açıklama |
| --- | --- |
| y\_{\min}=0 | Bölgenin alt sınırı |
| y\_{\max}=6 | Eğrilerin kesişiminden gelen üst sınır |
| x\_{\text{sol}}(y) | \dfrac{4y}{3}-7 (g(x)’den) |
| x\_{\text{sağ}}(y) | \dfrac{7-\sqrt{1+4y}}{2} (f(x)’in dalından) |

## SSS

1. **Neden y’ye göre entegrasyon seçtik?**  
Çünkü bölge, yatay şeritlerle tek parçalı tanımlanabiliyor.
2. **x’e göre entegrasyon yapılsaydı ne olurdu?**  
Bölge x= -7\to1 ve x=1\to3 şeklinde **iki** parçaya bölünürdü.
3. **Kesişim noktasını nasıl bulduk?**  
f(x)=g(x) denklemini çözerek x=1, y=6 elde edilir.
4. **Entegrali değerlendirmeli miyiz?**  
Bu soruda **sadece yazmanız** istendi; değerlendirme istenmiyor.

Bu entegrali değerlendirmek veya benzer sorular için 3 örnek çözüm ister misiniz?  
@shar