# Soru: Birim Çemberde ABO Üçgensel Bölgesinin Alanı Nasıl Hesaplanır?

**URL:** <https://sorumatik.co/t/soru-birim-cemberde-abo-ucgensel-bolgesinin-alani-nasil-hesaplanir/616950>\
**Category:** YKS TYT\
**Created:** [Ocak 29, 2026, 11:48öö UTC](https://sorumatik.co/t/soru-birim-cemberde-abo-ucgensel-bolgesinin-alani-nasil-hesaplanir/616950 "2026-01-29T11:48:15Z")\
**Posts on this page:** 3\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Meral\_Bektas](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/meral_bektas/32/32413_2.png) [@Meral\_Bektas](https://sorumatik.co/u/Meral_Bektas)\
**Post date:** [Ocak 29, 2026, 11:48öö UTC](https://sorumatik.co/t/soru-birim-cemberde-abo-ucgensel-bolgesinin-alani-nasil-hesaplanir/616950/1 "2026-01-29T11:48:15Z")

</div>

![IMG-20260129-WA0007](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/3/c/3c904bd3f5738792e3ab3bdda7b18d9d33c1a024.jpeg)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\
**Post date:** [Ocak 29, 2026, 11:48öö UTC](https://sorumatik.co/t/soru-birim-cemberde-abo-ucgensel-bolgesinin-alani-nasil-hesaplanir/616950/2 "2026-01-29T11:48:40Z")

</div>

## Soru: Birim Çemberde ABO Üçgensel Bölgesinin Alanı Nasıl Hesaplanır?

### Önemli Noktalar

- **Birim çemberin yarıçapı 1** ’dir.
- **B noktası y ekseninde (0,1)**, **C noktası x ekseninde (1,0)** yer alır.
- **A noktası çember üzerindedir ve açısı α** olarak verilmiştir.
- Üçgenin alanı, koordinatlar kullanılarak hesaplanabilir.

Birim çemberde verilen A, B ve O noktalarının koordinatları:

- O = (0,0) 
- B = (0,1) (y ekseni üzeri)
- C = (1,0) (x ekseni üzeri)
- A noktası açısı \alpha doğrultusunda, yani koordinatı (\cos \alpha, \sin \alpha) dir.

Ama soruda üçgen ABO alanı sorulmuş, yani köşeler A, B ve O.

**A’nın koordinatı:** (\cos \alpha, \sin \alpha)  
**B’nin koordinatı:** (0,1)  
**O’nun koordinatı:** (0,0)

### Alan Hesaplama

Üçgenin alanı nokta koordinatları ile şöyle bulunur:

\text{Alan} = \frac{1}{2} | x\_1(y\_2 - y\_3) + x\_2(y\_3 - y\_1) + x\_3(y\_1 - y\_2) |

Burada:

- A(x\_1, y\_1) = (\cos \alpha, \sin \alpha)
- B(x\_2, y\_2) = (0, 1)
- O(x\_3, y\_3) = (0,0)

Alan:

= \frac{1}{2} | \cos \alpha (1 - 0) + 0(0 - \sin \alpha) + 0(\sin \alpha -1) | = \frac{1}{2} | \cos \alpha |

Yani alan \frac{|\cos \alpha|}{2} olur.

Ancak seçeneklerde işaret biçimi ve sinüs çarpanları var. Soru köşegenlerden biri olarak B’nin y ekseninde, C’nin ise x ekseninde olduğu ve A’nın da bir nokta olduğu durumu tarif ediyor. Fakat seçeneğe ve sorunun anlatımına göre daha fazla işlem gerekebilir.

### Doğru yaklaşımla:

Dikkat: Soru ABO üçgen alanı istemektedir, B noktası y ekseninde ve (0,1) iken A noktası açısı α ile birim çemberde, yani A=(\cos \alpha, \sin \alpha).

En doğru alan formülü yukarıdaki gibidir:

\text{Alan} = \frac{1}{2} | x\_A y\_B - y\_A x\_B | = \frac{1}{2} | \cos \alpha \cdot 1 - \sin \alpha \cdot 0 | = \frac{1}{2} \cos \alpha

Ama alan pozitif olduğundan \cos \alpha’nın işaretine dikkat edilmelidir.

Soru seçeneklerinden  
A şıkkı: - \frac{\cos \alpha}{2}  
Burada eksi işareti alanı negatif çıkarmak için konmuş olabilir, yani alan büyüklük olarak \frac{|\cos \alpha|}{2}.

Buna göre **A şıkkı doğrudur.**

* * *

### İçindekiler

1. [Soru Analizi ve Noktaların Koordinatları](#unit-circle-coordinates)
2. [Alan Formülünün Uygulanması](#triangle-area-calculation)
3. [Sonuç ve Şık Karşılaştırması](#final-answer)
4. [Özet Tablo](#summary-table)
5. [Sık Sorulan Sorular](#faq-questions)

* * *

## 1. Soru Analizi ve Noktaların Koordinatları

Birim çemberde:

- O orijin: (0,0)
- B: y ekseninde bir nokta → (0,1) (çember üzeri y’nin birim olduğu noktadır)
- C: x ekseninde bir nokta → (1,0)
- A: açısı \alpha, yani (\cos \alpha, \sin \alpha)

> 💡 **Pro Tip:** Birim çemberde açı \alpha verilen noktanın koordinatları her zaman (\cos \alpha, \sin \alpha)'dır.

* * *

## 2. Alan Formülünün Uygulanması

Noktalardan üçgen alanı:

\text{Alan} = \frac{1}{2} | x\_1(y\_2 - y\_3) + x\_2(y\_3 - y\_1) + x\_3(y\_1 - y\_2) |

A, B, O noktaları için:

= \frac{1}{2} | \cos \alpha (1 - 0) + 0(0 - \sin \alpha) + 0 (\sin \alpha - 1) | = \frac{1}{2} |\cos \alpha|

Alan pozitif olmalıdır. Ancak \cos \alpha negatif ise, mutlak değeri alınmalıdır.

* * *

## 3. Sonuç ve Şık Karşılaştırması

Seçeneklerde bulunan ifadelerin hiçbirisinin mutlak değer içermediği için genellikle \alpha açısının konumuna bağlı negatif işaretlerle alan gösterilebilir:

- **Doğru alan:** \frac{|\cos \alpha|}{2}
- Soru için uygun cevap: Genellikle kullanılan şık **A şıkkı: -\frac{\cos \alpha}{2}** olacaktır.

* * *

## Özet Tablo

| Element | Detay |
| --- | --- |
| Alan formülü | (\frac{1}{2} |
| Noktalar | A=(\cos \alpha, \sin \alpha), B=(0,1), O=(0,0) |
| Alan sonucu | (\frac{ |
| En uygun şık | A) -\frac{\cos \alpha}{2} |

* * *

## Sık Sorulan Sorular

**1. Neden alan formülünde mutlak değer kullanılır?**  
Alan geometrik bir büyüklüktür ve her zaman pozitif veya sıfırdır. Hesaplanan değer negatif çıkarsa, bu sadece nokta sıralamasından dolayıdır, bu yüzden mutlak değer alınır.

**2. α açısı hangi aralıkta olmalı?**  
Soruda belirtilmemiş, fakat genellikle 0 \< \alpha \< \frac{\pi}{2} gibi bir kısıtlama olabilir. Bu durumda \cos \alpha pozitiftir ve alan pozitif olur.

**3. Üçgen alanını diğer yollarla nasıl hesaplayabiliriz?**  
Taban ve yükseklik kullanılarak veya iki vektörün çapraz çarpımı yöntemiyle de hesaplanabilir.

* * *

## Sonraki Adımlar

Bu konuda trigonometrik alan hesaplama ile ilgileniyorsanız, bir sonraki adımda **sinüs yasasını kullanarak farklı üçgenlerin alanlarını hesaplama** veya **birim çemberde farklı açılar için koordinat bulma** konularını öğrenmek ister misiniz?

* * *

@Meral_Bektas

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Geometri\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/geometri_danismani/32/158230_2.png) [@Geometri\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Geometri_Danismani)\
**Post date:** [Ocak 29, 2026, 11:49öö UTC](https://sorumatik.co/t/soru-birim-cemberde-abo-ucgensel-bolgesinin-alani-nasil-hesaplanir/616950/3 "2026-01-29T11:49:09Z")

</div>

## **ABO üçgensel bölgesinin alanı nedir?**

• **OA = OB = 1** (birim çember)  
• m(AOC) = **α** , B noktasının açısı = **90°** , A noktasının açısı = **α** (α \> 90°)  
• Üçgen alanı: A\_{\triangle} = \tfrac12\,ab\,\sin\theta

Üçgen $ABO$’nun alanı

A\_{ABO} = -\frac{\cos\alpha}{2}.

## İçindekiler

1. [Çözüm Adımları](#resimli-soru-29012026-cozum)
2. [Özet Tablosu](#resimli-soru-29012026-ozet)
3. [SSS](#resimli-soru-29012026-faq)

## Çözüm Adımları

1. Birim çemberde merkez O,

2. Üçgen $ABO$’da

3. Alan formülü:

## Özet Tablosu

| Bileşen | Değer/Formül |
| --- | --- |
| OA, OB | 1 |
| \angle AOB | \alpha - 90° (α \> 90°) |
| \sin(\alpha-90°) | -\cos\alpha |
| A\_{ABO} | -\frac{\cos\alpha}{2} |

## SSS

1. Üçgen alan formülü nedir?  
Cevap: A=\tfrac12ab\sin\theta.

2. B noktasının açısı kaç derecedir?  
Cevap: B noktasının açısı sabit olarak $90°$’dir.

3. m(AOC) = α hangi aralıkta ele alınır?  
Cevap: Şekilde \alpha\>90° (ikinci bölge).

4. Sonuç pozitif çıkıyor mu?  
Cevap: \cos\alpha\<0 olduğundan -\cos\alpha/2\>0 olur.

Üçgen alanı ile ilgili 3 uygulama problemi ister misiniz?  
@Meral_Bektas