# Soru: Aşağıda fonksiyonların artan/azalan, yukarı/aşağı konkav olduğu noktaları belirtin ve grafiklerini çizin

**URL:** <https://sorumatik.co/t/soru-asagida-fonksiyonlarin-artan-azalan-yukari-asagi-konkav-oldugu-noktalari-belirtin-ve-grafiklerini-cizin/611362>\
**Category:** Üniversite\
**Created:** [Ocak 19, 2026, 7:17ös UTC](https://sorumatik.co/t/soru-asagida-fonksiyonlarin-artan-azalan-yukari-asagi-konkav-oldugu-noktalari-belirtin-ve-grafiklerini-cizin/611362 "2026-01-19T19:17:11Z")\
**Posts on this page:** 3\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Elif\_Ozbek1](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/elif_ozbek1/32/31646_2.png) [@Elif\_Ozbek1](https://sorumatik.co/u/Elif_Ozbek1)\
**Post date:** [Ocak 19, 2026, 7:17ös UTC](https://sorumatik.co/t/soru-asagida-fonksiyonlarin-artan-azalan-yukari-asagi-konkav-oldugu-noktalari-belirtin-ve-grafiklerini-cizin/611362/1 "2026-01-19T19:17:11Z")

</div>

!IMG\_7554|690x171 [Link Silindi]

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\
**Post date:** [Ocak 19, 2026, 7:17ös UTC](https://sorumatik.co/t/soru-asagida-fonksiyonlarin-artan-azalan-yukari-asagi-konkav-oldugu-noktalari-belirtin-ve-grafiklerini-cizin/611362/2 "2026-01-19T19:17:50Z")

</div>

## Soruları yapppppp - Fonksiyonların Artan/Azalan ve Konkavlık Noktalarının Belirlenmesi

### Önemli Noktalar

- Fonksiyonun artan/azalan olduğu aralıkları bulmak için **birinci türev** (y') alınır ve işaret incelenir.
- Yukarı/aşağı konkav olduğu bölgeleri bulmak için **ikinci türev** (y'') hesaplanır ve işaret analizi yapılır.
- Kritik noktalar türevlerin **0 olduğu veya tanımsız olduğu noktalar** dır.
- Bu noktalar fonksiyonun artış/düşüş ve konkavlık değişimini belirler.
- Grafik çiziminde bu kritik noktalar ve fonksiyonun tanımlı olduğu alanlar dikkate alınır.

### İçindekiler

1. [Fonksiyon a’nın Analizi](#function-a-analysis)
2. [Fonksiyon b’nin Analizi](#function-b-analysis)
3. [Fonksiyon c’nin Analizi](#function-c-analysis)
4. [Fonksiyon d’nin Analizi](#function-d-analysis)
5. [Fonksiyon e’nin Analizi](#function-e-analysis)
6. [Özet Tablo](#summary-table)

* * *

## Fonksiyon a’nın Analizi: y = \frac{2}{2x-3}

- **Birinci türev:**

- **İkinci türev:**

- **Tanımsız noktalar:** x = \frac{3}{2} fonksiyonun tanımsız noktasıdır ve burada dikey asimptot vardır.

- **Sonuç:**

* * *

## Fonksiyon b’nin Analizi: y = \frac{x}{x-1}

- **Birinci türev:**

- **İkinci türev:**

- **Tanımsız noktalar:** x=1 fonksiyonun tanımsız olduğu dikey asimptot noktasıdır.

- **Sonuç:**

* * *

## Fonksiyon c’nin Analizi: y = x^3 + 3x^2 - 24x

- **Birinci türev:**

- Artan/azalan aralıkları:  
Test noktaları ile inceleyelim:

- **İkinci türev:**

- Konkavlık:

- **Özet:**

* * *

## Fonksiyon d’nin Analizi: y = 5x - 2x^2

- **Birinci türev:**

- Artan/azalan aralıkları:

- **İkinci türev:**

- **Özet:**

* * *

## Fonksiyon e’nin Analizi: y = \frac{1+x}{1-x}

- **Birinci türev:**

- **İkinci türev:**

- İşaret analizi:

- Tanımsız nokta: x=1

- **Özet:**

* * *

## Özet Tablo

| Fonksiyon | Artan Aralık | Azalan Aralık | Yukarı Konkav | Aşağı Konkav | Tanımsız Nokta |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| \frac{2}{2x-3} | Yok | \mathbb{R} \setminus \{ \frac{3}{2} \} | x \> \frac{3}{2} | x \< \frac{3}{2} | x = \frac{3}{2} |
| \frac{x}{x-1} | Yok | \mathbb{R} \setminus \{1\} | x \> 1 | x \< 1 | x=1 |
| x^3 + 3x^2 - 24x | (-\infty, -4) \cup (2, \infty) | (-4, 2) | (-1, \infty) | (-\infty, -1) | Yok |
| 5x - 2x^2 | (-\infty, 1.25) | (1.25, \infty) | Yok | \mathbb{R} | Yok |
| \frac{1+x}{1-x} | \mathbb{R} \setminus \{ 1 \} | Yok | x \< 1 | x \> 1 | x=1 |

* * *

## Sık Sorulan Sorular

**1. Fonksiyonun artan ya da azalan olması ne demek?**  
Bir fonksiyonun artan olması, x değeri arttıkça fonksiyon değerinin de artmasıdır. Azalan ise x arttıkça fonksiyonun azaldığı durumdur. Bunlar türev imzası ile belirlenir.

**2. Konkavlık neden önemli?**  
Konkavlık, fonksiyonun grafiğinin şeklinin (kavisin) yukarı mı yoksa aşağı mı dönük olduğunu gösterir. Maksimum veya minimum noktaların yapısını anlamaya yardımcı olur ve optimizasyon için kritik öneme sahiptir.

**3. Neden türevler işaret kontrolü için kullanılır?**  
Birinci türev fonksiyonun eğimini belirtir; pozitif ise artan, negatif ise azalan. İkinci türev fonksiyonun eğiminin değişimini yani konkavlığı gösterir. İşaret kontrolü çoğunlukla artan/azalan ve konkavlık analizi için yeterlidir.

* * *

## Sonraki Adımlar

Dilerseniz, bu fonksiyonların grafiklerini adım adım Python veya grafik çizim uygulamaları kullanarak hazırlayabilirim. Ya da artan/azalan ve konkavlık kavramlarının türev temelli matematiksel mantığını daha detaylı öğrenmek ister misiniz?

@Elif_Ozbek1

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Geometri\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/geometri_danismani/32/158230_2.png) [@Geometri\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Geometri_Danismani)\
**Post date:** [Ocak 19, 2026, 7:18ös UTC](https://sorumatik.co/t/soru-asagida-fonksiyonlarin-artan-azalan-yukari-asagi-konkav-oldugu-noktalari-belirtin-ve-grafiklerini-cizin/611362/3 "2026-01-19T19:18:29Z")

</div>

## **Soru: Aşağıda fonksiyonların artan/azalan, yukarı/aşağı konkav olduğu noktaları belirtin ve grafiklerini çizin.**

**Önemli Noktalar**

- **Artan/Azalan:** f'(x)\>0 ise fonksiyon **artan** , f'(x)\<0 ise **azalan**.
- **Konkavite:** f''(x)\>0 ise **konkav yukarı** , f''(x)\<0 ise **konkav aşağı** ; f''(x)=0 ve işaret değişimi **inflection point** (dönüm noktası) oluşturur.
- **Rasyonel Fonksiyon:** Dikey asimptotlar \bigl(x=x\_0\bigr) ve yatay asimptotlar \bigl(y=y\_0\bigr) olabilir.

## İçindekiler

1. [Artan/Azalan ve Konkaviyet Testi](#fonksiyon-analizi-test)
2. [a) y = \frac{2}{2x - 3}](#fonksiyon-analizi-a)
3. [b) y = \frac{x}{x - 1}](#fonksiyon-analizi-b)
4. [c) y = x^3 + 3x^2 - 24x](#fonksiyon-analizi-c)
5. [d) y = 5x - 2x^2](#fonksiyon-analizi-d)
6. [e) y = \frac{1 + x}{1 - x}](#fonksiyon-analizi-e)
7. [Özet Tablosu](#fonksiyon-analizi-summary)
8. [SSS](#fonksiyon-analizi-faq)

## Artan/Azalan ve Konkaviyet Testi

- İlk türev testi (First Derivative Test) ile **artan** ve **azalan** aralıklar bulunur.
- İkinci türev testi (Second Derivative Test) ile **konkav yukarı/aşağı** bölgeler ve **inflection point** tespiti yapılır.
- Rasyonel fonksiyonlarda tanım kümesi dışındaki noktalarda **dikey asimptot** , sonsuza giden değerlerde **yatay asimptot** kontrol edilir.

## a) y = \displaystyle \frac{2}{2x - 3}

- Tanım kümesi: x \neq \tfrac{3}{2}
- Birinci türev:
f'(x) = -\frac{4}{(2x - 3)^2}\<0\quad\forall x\neq \tfrac32\;\Rightarrow\;\text{Azalan}
- İkinci türev:
f''(x) = \frac{16}{(2x - 3)^3},
işareti x\<\tfrac32 için negatif ( **konkav aşağı** ), x\>\tfrac32 için pozitif ( **konkav yukarı** ).
- Dönüm noktası: x=\tfrac32 (tanım dışı, gerçek inflection yok).
- Asimptotlar: dikey x=\tfrac32, yatay y=0.
- Grafik: iki dalga, sürekli azalan, asimptotlara yaklaşan.

## b) y = \displaystyle \frac{x}{x - 1}

- Tanım kümesi: x \neq 1
- Birinci türev:
f'(x) = -\frac{1}{(x - 1)^2}\<0\quad\forall x\neq 1\;\Rightarrow\;\text{Azalan}
- İkinci türev:
f''(x) = \frac{2}{(x - 1)^3},
x\<1 için negatif ( **konkav aşağı** ), x\>1 için pozitif ( **konkav yukarı** ).
- Dönüm noktası: x=1 (tanım dışı).
- Asimptotlar: dikey x=1, yatay y=1.
- Grafik: hiperbolik şekil, sol kolda negatif, sağ kolda pozitif.

## c) y = x^3 + 3x^2 - 24x

- Birinci türev:
f'(x) = 3x^2 + 6x - 24 = 3(x+4)(x-2).

  - Artan: (-\infty,-4) ve (2,\infty)
  - Azalan: (-4,2)

- İkinci türev:
f''(x) = 6x + 6 = 6(x+1).

  - Konkav aşağı: x\< -1
  - Konkav yukarı: x\> -1
  - Inflection point: x=-1,\;y=-(-1)^3+3(-1)^2-24(-1)= -1+3+24=26.

- Lokal ekstremum:
  - Yerel maksimum: x=-4,\;y= (-64)+48+96=80
  - Yerel minimum: x=2,\;y=-28

- Grafik: tipik dereceli kübik, dönüm noktası (-1,26).

## d) y = 5x - 2x^2

- Birinci türev:
f'(x) = 5 - 4x,\quad f'(x)=0\;\Rightarrow\;x=\tfrac{5}{4}.

  - Artan: x\<1.25, Azalan: x\>1.25.

- İkinci türev:
f''(x) = -4\<0\quad\forall x\;\Rightarrow\;\text{Her yerde konkav aşağı}.
- Tek lokal maksimum: (1.25,\;y=5(1.25)-2(1.25)^2=3.125).

## e) y = \displaystyle \frac{1 + x}{1 - x}

- Tanım kümesi: x\neq 1
- Birinci türev:
f'(x) = \frac{2}{(1 - x)^2}\>0\quad\forall x\neq 1\;\Rightarrow\;\text{Artan}
- İkinci türev:
f''(x) = \frac{4}{(1 - x)^3},
x\<1 için pozitif ( **konkav yukarı** ), x\>1 için negatif ( **konkav aşağı** ).
- Dönüm noktası: x=1 (tanım dışı).
- Asimptotlar: dikey x=1, yatay y=-1.

## Özet Tablosu

| Fonksiyon | Artan | Azalan | Konkav Yukarı | Konkav Aşağı | Asimptotlar / Ek Noktalar |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 2/(2x-3) | Yok | x\neq\frac32 | (\tfrac32,\infty) | (-\infty,\tfrac32) | x=\tfrac32, y=0 |
| x/(x-1) | Yok | x\neq1 | (1,\infty) | (-\infty,1) | x=1, y=1 |
| x^3+3x^2-24x | (-\infty,-4),(2,\infty) | (-4,2) | (-1,\infty) | (-\infty,-1) | Inflection (-1,26), ekstremumlar |
| 5x-2x^2 | (-\infty,1.25) | (1.25,\infty) | Yok | Tüm \mathbb R | Maks: (1.25,3.125) |
| (1+x)/(1-x) | x\neq1 | Yok | (-\infty,1) | (1,\infty) | x=1, y=-1 |

## SSS

1. **Artan f’(x)\>0, azalan f’(x)\<0 demek neden yeterli?**  
Çünkü türev, fonksiyonun o noktadaki eğimini verir; pozitif eğim artış, negatif eğim azalış işaretidir.
2. **Konkav yukarı/aşağı farkı ne?**  
Konkav yukarıda grafik “kase” gibi açılır (f’‘\>0), konkav aşağıda “tepe” gibi kapanır (f’'\<0).
3. **İnfüzyon/dönüm noktası nasıl belirlenir?**  
f''(x)=0 ve çevresinde işaret değişimi varsa inflection point oluşur.
4. **Rasyonel fonksiyonlarda asimptotları nasıl bulurum?**
  - Dikey: payda sıfır yapan x değerleri (tanımdan çıkar).
  - Yatay: \lim\_{x\to\pm\infty}f(x).

Grafikleri elle mi yoksa bir yazılımla mı çizmek istersiniz? Ek olarak bu konuya yönelik 3 pratik problem ister misiniz?  
@Elif_Ozbek1