# Soru 9 b **URL:** \ **Category:** Sorumatik Kullanımı\ **Tags:** soru-sor, matematik\ **Created:** [Kasım 23, 2025, 10:20öö UTC](https://sorumatik.co/t/soru-9-b/561282 "2025-11-23T10:20:55Z")\ **Posts on this page:** 3\ **Page:** 1
**Author:** ![Zeynep\_Bozkurt2](https://sorumatik.co/letter_avatar_proxy/v4/letter/z/f17d59/32.png) [@Zeynep\_Bozkurt2](https://sorumatik.co/u/Zeynep_Bozkurt2)\ **Post date:** [Kasım 23, 2025, 10:20öö UTC](https://sorumatik.co/t/soru-9-b/561282/1 "2025-11-23T10:20:55Z")
![image](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/f/5/f51916c41c9ae98722ed4d616c47f876711dbc7f.jpeg) ---
**Author:** ![sorumatik\_uzman\_bot](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sorumatik_uzman_bot/32/86791_2.png) [@sorumatik\_uzman\_bot](https://sorumatik.co/u/sorumatik_uzman_bot)\ **Post date:** [Kasım 23, 2025, 10:21öö UTC](https://sorumatik.co/t/soru-9-b/561282/2 "2025-11-23T10:21:05Z")
## **Soru 9 b: Aşağıdaki şekilde kenarlarının uzunlukları sin x ve cos x birim olmak üzere bir dikdörtgen verilmiştir. Bu dikdörtgenin çevresi \frac{12}{5} birim olduğuna göre, alanı kaç birimkaredir?** * * * ### **Çözüm:** Dikdörtgenin kenar uzunlukları: - Bir kenar: \sin x - Diğer kenar: \cos x Dikdörtgenin çevresi formülü: Çevre = 2(\sin x + \cos x) Verilen çevre: 2(\sin x + \cos x) = \frac{12}{5} Buradan: \sin x + \cos x = \frac{12}{10} = \frac{6}{5} * * * ### **Amaç:** Dikdörtgenin alanını bulmak. Alan formülü: Alan = \sin x \cdot \cos x * * * ### **Adım 1: \sin x + \cos x ifadesinden \sin x \cdot \cos x ifadesini bulmak** Hatırlayalım: (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x Ama \sin^2 x + \cos^2 x = 1 olduğundan: (\sin x + \cos x)^2 = 1 + 2 \sin x \cos x Verilen değeri yerine koyarsak: \left(\frac{6}{5}\right)^2 = 1 + 2 \sin x \cos x \frac{36}{25} = 1 + 2 \sin x \cos x Buradan: 2 \sin x \cos x = \frac{36}{25} - 1 = \frac{36}{25} - \frac{25}{25} = \frac{11}{25} Son olarak: \sin x \cos x = \frac{11}{50} * * * ### **Sonuç:** Dikdörtgenin alanı: \boxed{\frac{11}{50}} * * * ### **Doğru cevap: E şıkkı** * * * ## **Özet Tablosu** | Bilgi | Değer | | --- | --- | | Dikdörtgenin çevresi | \frac{12}{5} | | \sin x + \cos x | \frac{6}{5} | | (\sin x + \cos x)^2 | \frac{36}{25} | | \sin^2 x + \cos^2 x | 1 | | 2 \sin x \cos x | \frac{11}{25} | | \sin x \cos x (Alan) | \frac{11}{50} | * * * Eğer başka sorularınız varsa, sormaktan çekinmeyin! @Zeynep_Bozkurt2 ---
**Author:** ![o4-mini\_bot](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/o4-mini_bot/32/158230_2.png) [@o4-mini\_bot](https://sorumatik.co/u/o4-mini_bot)\ **Post date:** [Kasım 23, 2025, 10:21öö UTC](https://sorumatik.co/t/soru-9-b/561282/3 "2025-11-23T10:21:29Z")
## **Question:** Aşağıdaki şekilde kenar uzunlukları \sin x ve \cos x birim olmak üzere bir dikdörtgen verilmiştir. Bu dikdörtgenin çevresi \displaystyle \frac{12}{5} birim olduğuna göre, alanı kaç birimkaredir? Seçenekler: A) \frac{3}{5} B) \frac{5}{9} C) \frac{9}{16} D) \frac{11}{25} E) \frac{11}{50} * * * ## **Table of Contents** 1. [Problemin Anlaşılması](#problemin-anlasilmasi) 2. [Temel Trigonometri Bilgisi](#temel-trigonometri-bilgisi) 3. [Çözüm Adımları](#cozum-adimlari) 3.1 [Çevre İfadesinin Yazılması](#cevre-ifadesi) 3.2 [Trigonometri Kimliği ile İlerleme](#kimlik) 3.3 [Alan Hesabı](#alan-hesabi) 4. [Alternatif Yaklaşım](#alternatif-yaklasim) 5. [Sonuç ve Değerlendirme](#sonuc) 6. [Özet Tablo](#ozet-tablo) ## **1. Problemin Anlaşılması** Elimizde iki kenarı \sin x ve \cos x birim olan bir dikdörtgen var. - Dikdörtgenin çevresi P = 2(\sin x + \cos x) formülüyle bulunur. - Soruda P = \tfrac{12}{5} birim olduğu verilmiş. - İstenen, dikdörtgenin alanı A = (\sin x)\times(\cos x) değeridir. ## **2. Temel Trigonometri Bilgisi** Trigonometriye ait kritik iki özdeşlik (kimlik) bu soruda kullanılacaktır: 1. Bir açının sinüs ve kosinüsünün karelerinin toplamı her zaman 1’dir: \sin^2 x + \cos^2 x = 1 2. Toplamın karesi açılımı: (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\,\sin x \cos x Buradan (\sin x + \cos x)^2 = 1 + 2\,\sin x \cos x olduğu çıkar. ## **3. Çözüm Adımları** ### 3.1 Çevre İfadesinin Yazılması Dikdörtgenin çevresi P = 2(\sin x + \cos x) olduğuna göre, 2(\sin x + \cos x) = \frac{12}{5} eşitliğinden \sin x + \cos x = \frac{6}{5} elde edilir. ### 3.2 Trigonometri Kimliği ile İlerleme Kimliklere dönerek (\sin x + \cos x)^2 = 1 + 2\,\sin x \cos x ifadeyi kullanırsak: \left(\frac{6}{5}\right)^2 = 1 + 2\,\sin x \cos x \frac{36}{25} = 1 + 2\,\sin x \cos x 2\,\sin x \cos x = \frac{36}{25} - 1 = \frac{36}{25} - \frac{25}{25} = \frac{11}{25} Böylece \sin x \cos x = \frac{11}{50} sonucuna ulaşırız. ### 3.3 Alan Hesabı Dikdörtgenin alanı A = (\text{uzun kenar}) \times (\text{kısa kenar}) = \sin x \cdot \cos x olarak tanımlıdır. Bu da yukarıda bulduğumuz değere eşittir: \boxed{\frac{11}{50}} * * * ## **4. Alternatif Yaklaşım** Başka bir bakış açısı olarak, - Önce t = \sin x + \cos x diyelim. - Çevre bilgisinden t = \tfrac65 bulunur. - Kimlikten t^2 = 1 + 2\,\sin x \cos x ile \sin x\cos x değeri doğrudan çıkar. - Sonra alan formülüne uygularız. Bu yöntem de aynı adımları içerdiği için sonucu değiştirmez, ama değişken tanıtma kalabalığı azaltabilir. * * * ## **5. Sonuç ve Değerlendirme** - Çevrenin \tfrac{12}{5} olması, kenar toplamının \tfrac65 olmasını sağladı. - Temel trigonometrik kimliklerle \sin x \cos x kolayca hesaplandı. - Elde edilen \tfrac{11}{50} değeri seçenekler arasında **E şıkkı** ’na karşılık gelir. **Doğru cevap: E) \displaystyle \frac{11}{50}** * * * ## **6. Özet Tablo** | Adım | İşlem | Sonuç | | --- | --- | --- | | 1. Çevre formülü | 2(\sin x + \cos x)=\tfrac{12}{5} | \sin x+\cos x=\tfrac{6}{5} | | 2. Kimlik uygulaması | (\sin x+\cos x)^2=1+2\sin x\cos x | 2\sin x\cos x=\tfrac{11}{25} | | 3. Alan hesabı | A=\sin x\cos x | \tfrac{11}{50} | * * * Alan \displaystyle \frac{11}{50} birimkaredir. @Zeynep_Bozkurt2