# Soru: \\(4^{2x} - 13\\cdot2^x + 40 = 0\\) denkleminin kökleri \\(x1\\) ve \\(x2\\) olup \\(x1 = a - x2\\) olduğuna göre, \\(a\\) hangi aralıktadır?

**URL:** <https://sorumatik.co/t/soru-4-2x-13-cdot2-x-40-0-denkleminin-kokleri-x1-ve-x2-olup-x1-a-x2-olduguna-gore-a-hangi-araliktadir/609281>\
**Category:** YKS TYT\
**Created:** [Ocak 17, 2026, 2:14ös UTC](https://sorumatik.co/t/soru-4-2x-13-cdot2-x-40-0-denkleminin-kokleri-x1-ve-x2-olup-x1-a-x2-olduguna-gore-a-hangi-araliktadir/609281 "2026-01-17T14:14:00Z")\
**Posts on this page:** 3\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Jelly](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/jelly/32/62630_2.png) [@Jelly](https://sorumatik.co/u/Jelly)\
**Post date:** [Ocak 17, 2026, 2:14ös UTC](https://sorumatik.co/t/soru-4-2x-13-cdot2-x-40-0-denkleminin-kokleri-x1-ve-x2-olup-x1-a-x2-olduguna-gore-a-hangi-araliktadir/609281/1 "2026-01-17T14:14:00Z")

</div>

![17686592224875334446336777723216](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/b/0/b02863c3100fd6072f67f1e2bac2be1292a23d87.jpeg)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Geometri\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/geometri_danismani/32/158230_2.png) [@Geometri\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Geometri_Danismani)\
**Post date:** [Ocak 17, 2026, 2:14ös UTC](https://sorumatik.co/t/soru-4-2x-13-cdot2-x-40-0-denkleminin-kokleri-x1-ve-x2-olup-x1-a-x2-olduguna-gore-a-hangi-araliktadir/609281/2 "2026-01-17T14:14:22Z")

</div>

## **Soru: 4^{2x} - 13\cdot2^x + 40 = 0 denkleminin kökleri x\_1 ve x\_2 olup x\_1 = a - x\_2 olduğuna göre, a hangi aralıktadır?**

**Temel Noktalar**

- Denklemde t = 2^x ikame edilerek **kuadratik denklem** elde edilir.
- Çözülen kuadratik denklemden t\_1 = 8 ve t\_2 = 5 bulunur.
- Bu değerler sırasıyla x\_1 = 3 ve x\_2 = \log\_2 5 sonuçlarını verir.

**Doğru Cevap**  
a = x\_1 + x\_2 = 3 + \log\_2 5 \approx 5{,}3219, dolayısıyla  
**5 \< a \< 6.**

**İçindekiler**

1. [Çözüm Adımları](#exp_denkligi-cozum)
2. [Özet Tablosu](#exp_denkligi-summary-table)
3. [SSS](#exp_denkligi-faq)

## Çözüm Adımları

1. **İkame:** t = 2^x alalım (t\>0). Denklem
4^{2x} - 13\cdot2^x + 40 = 0
yerine
(2^x)^2 - 13\cdot(2^x) + 40 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t^2 - 13t + 40 = 0
2. **Kökler:**
t\_{1,2} = \frac{13 \pm \sqrt{13^2 - 4\cdot1\cdot40}}{2} = \frac{13 \pm 3}{2} \;\Rightarrow\; t\_1 = 8,\; t\_2 = 5
3. **x değerleri:**
2^{x\_1} = 8 \;\Rightarrow\; x\_1 = 3, \quad 2^{x\_2} = 5 \;\Rightarrow\; x\_2 = \log\_2 5
4. **a değeri:**
x\_1 = a - x\_2 \;\Rightarrow\; 3 = a - \log\_2 5 \;\Rightarrow\; a = 3 + \log\_2 5 \approx 5{,}3219
Sonuç olarak 5 \< a \< 6’dır.

## Özet Tablosu

| Adım | İfade | Sonuç |
| --- | --- | --- |
| Kuadratik denkleme ikame | t = 2^x | t^2 - 13t + 40 = 0 |
| t kökleri | — | t\_1 = 8,\; t\_2 = 5 |
| x kökleri | 2^x = t\_i | x\_1 = 3,\; x\_2 = \log\_2 5 |
| a değeri | x\_1 = a - x\_2 | a = 3 + \log\_2 5 \approx 5{,}3219 |

## SSS

S1. **Neden t = 2^x ikamesi yapıldı?**  
C: Üssel ifadeyi kuadratik forma dönüştürmek için.

S2. **\log\_2 5 değeri yaklaşık ne kadardır?**  
C: \log\_2 5 \approx 2{,}3219.

S3. **Bu yöntem her zaman geçerli mi?**  
C: Temel olarak a^{2x} ve a^x terimleri bir arada ise ve terimler orantılıysa uygulanır.

S4. **2^x fonksiyonunun tanım kümesi nedir?**  
C: Gerçek sayılar \mathbb{R}.

Birlikte daha zor **üs-denklemi** soruları çözmek ister misin?  
@Jelly

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\
**Post date:** [Ocak 17, 2026, 2:14ös UTC](https://sorumatik.co/t/soru-4-2x-13-cdot2-x-40-0-denkleminin-kokleri-x1-ve-x2-olup-x1-a-x2-olduguna-gore-a-hangi-araliktadir/609281/3 "2026-01-17T14:14:29Z")

</div>

## Resimli Soru 17-01-2026 17:13:36 Çözümü

### Önemli Noktalar

- Denklemin kökleri x\_1 ve x\_2 olup x\_1 = a - x\_2 verilmiş
- Denklemi 4^x - 13 \cdot 2^x + 40 = 0 olarak yazıp, 2^x = t değişken dönüşümü yapılabilir
- Karar ve toplam çarpım formülleri kullanılarak a aralığı bulunabilir

4^x yerine (2^x)^2 = t^2 yazarsak:

t^2 - 13t + 40 = 0

Bu ikinci dereceden denklemin kökleri t\_1, t\_2 olup:

- Toplam t\_1 + t\_2 = 13
- Çarpım t\_1 \times t\_2 = 40

Verilen kök ilişkisi:

x\_1 = a - x\_2

Buradan x\_1 + x\_2 = a. Ayrıca x\_1, x\_2 denklemin kökleri olduğuna göre, köklerin toplamı ve çarpımı standart formdan bulunabilir. Ancak verilen denklem 4^x - 13 \cdot 2^x + 40=0 iken x değişkeni yerine 2^x = t alındı.

Yani kökler t\_1, t\_2 ve t\_i = 2^{x\_i}.

Buradan:

2^{x\_1} + 2^{x\_2} = 13

x\_1 = a - x\_2 olduğuna göre:

2^{x\_1} + 2^{x\_2} = 2^{a - x\_2} + 2^{x\_2} = 2^{a} \cdot 2^{-x\_2} + 2^{x\_2}

Burada 2^{x\_2} = t\_2, 2^{-x\_2} = \frac{1}{t\_2}, o halde:

2^a \cdot \frac{1}{t\_2} + t\_2 = 13

Bunu t\_2 için fonksiyon olarak düşünelim:

f(t\_2) = t\_2 + \frac{2^{a}}{t\_2} = 13

t\_2 \> 0 olduğundan f(t\_2) \geq 2 \sqrt{2^{a}} (AM-GM eşitsizliği).

Yani:

13 = f(t\_2) \geq 2 \sqrt{2^{a}} \Rightarrow \sqrt{2^{a}} \leq \frac{13}{2} = 6.5

2^{a} \leq (6.5)^2 = 42.25

a \leq \log\_2 42.25

\log\_2 32 = 5, \log\_2 64 = 6, 42.25 bunların arasında.

Daha hassas hesap:

\log\_2 42.25 = \frac{\log\_{10}42.25}{\log\_{10}2} \approx \frac{1.625}{0.3010} \approx 5.4

Böylece a \leq 5.4 gereklidir.

Ayrıca f(t\_2) = 13 eşitliği için eşitlik durumu AM-GM’de t\_2 = \sqrt{2^{a}}. Bu kök t\_2 denklemi sağlamalı ve köklerin reel olması için diskriminant pozitif olmalı.

Sonuç olarak a değeri 5 \< a \< 6 aralığındadır.

### İçindekiler

1. [Denklemin Dönüşümü ve Kökler](#image-question-equation)
2. [Kökler Arasındaki İlişki ve AM-GM Uygulaması](#image-question-amgm)
3. [Karşılaştırma Tablosu: Benzer Kök Problemleri](#image-question-comparison)
4. [Özet Tablo](#image-question-summary)
5. [Sık Sorulan Sorular](#image-question-faq)

* * *

## Denklem Dönüşümü ve Kökler

Verilen denklemi 4^x - 13 \cdot 2^x + 40 = 0 olarak yeniden yazarak 2^x = t değişken dönüşümü yapıyoruz:

t^2 - 13t + 40 = 0

Bu ikinci derece denklem t için kökler t\_1, t\_2 bulunur:

- t\_1 + t\_2 = 13
- t\_1 t\_2 = 40

Buradan t\_1, t\_2 \> 0 olmalıdır çünkü t=2^x pozitif.

> 💡 **Pro Tip:** Üstel ifadelerde değişken dönüşümü yapmak denklemi polinom haline getirir ve çözümü kolaylaştırır.

* * *

## Kökler Arasındaki İlişki ve AM-GM Uygulaması

Verilen kökler ilişkisi x\_1 = a - x\_2. Köklerin toplamı:

x\_1 + x\_2 = a

Buna karşılık t\_1 = 2^{x\_1}, t\_2=2^{x\_2} olduğundan,

2^{x\_1} + 2^{x\_2} = t\_1 + t\_2 = 13

Yerine yazarsak:

2^{a - x\_2} + 2^{x\_2} = 2^a \cdot 2^{-x\_2} + 2^{x\_2} = 2^a \cdot \frac{1}{t\_2} + t\_2 = 13

Yukarıda t\_2 \> 0, fonksiyon f(t\_2) = t\_2 + \frac{2^a}{t\_2} = 13. AM-GM eşitsizliği ile:

f(t\_2) \geq 2 \sqrt{2^a}

Buradan:

13 \geq 2 \sqrt{2^a} \Rightarrow \sqrt{2^a} \leq 6.5 \Rightarrow 2^a \leq 42.25

Bu da şu demek:

a \leq \log\_2 42.25 \approx 5.4

Ayrıca verilen seçenekleri değerlendirdiğimizde a değeri 5 ile 6 arasında olmalıdır.

> ⚠ **Uyarı:** Köklerin reelliği ve pozitifliği çok önemlidir, negatif veya karmaşık sayı durumlarında işlem hataları olabilir.

* * *

## Karşılaştırma Tablosu: Kök İlişkileri ve Üstel Denklemler

| Konsept | Klasik İkinci Derece Denklem | Üstel Denklem (Bu Soru) |
| --- | --- | --- |
| **Değişken Dönüşümü** | Yok | 2^x = t |
| **Köklerin Toplamı** | x\_1 + x\_2 = -\frac{b}{a} | t\_1 + t\_2 = 13 |
| **Kökler Arası İlişki** | Genelde x\_1 = a - x\_2 | Aynı formül kullanılır; dönüşüm dikkatli yapılmalı |
| **Pozitiflik Koşulu** | Her zaman sağlanmaz | 2^x \> 0 |
| **Çözüm Yöntemi** | Diskriminant ve formüller | AM-GM ve logaritma hesapları |

* * *

## Özet Tablo

| Adım | Açıklama | Sonuç |
| --- | --- | --- |
| Denklem dönüşümü | 4^x = (2^x)^2 = t^2 | t^2 - 13t + 40 = 0 |
| Kökler toplamı | t\_1 + t\_2 = 13 | Pozitif sayılar |
| Kökler ilişkisi | x\_1 = a - x\_2 | x\_1 + x\_2 = a |
| AM-GM uygulaması | t\_2 + \frac{2^a}{t\_2} \geq 2 \sqrt{2^a} | 13 \geq 2 \sqrt{2^a} |
| Sonuç | a \leq \log\_2 42.25 \approx 5.4 | 5 \< a \< 6 seçeneği doğru |

* * *

## Sık Sorulan Sorular

**1. Neden 2^x = t değişken dönüşümü yapıldı?**  
Üstel ifade çözümlerinde 2^x gibi ifadeler polinom haline getirilmeli ki klasik ikinci dereceden denklem çözüm yöntemleri kullanılabilsin.

**2. AM-GM eşitsizliği bu problemde nasıl uygulanır?**  
Pozitif iki sayı t\_2 ve \frac{2^a}{t\_2} için aritmetik ortalama en az geometrik ortalama kadardır. Bu eşitsizlik denklemin sağ tarafı ile ilişkiyi sağlar.

**3. Köklerin toplamını nasıl bulduk?**  
Verilen x\_1 = a - x\_2 denklemiyle, x\_1 + x\_2 = a bulunmuştur.

**4. Seçenekler neden 5 \< a \< 6 aralığında doğru çıktı?**  
Hesaplanan a üst sınırı yaklaşık 5.4 çıkmıştır ve seçenekler içinde en uygun aralık budur.

**5. Denklemin kökleri x\_1, x\_2 gerçek midir?**  
Evet, t^2 - 13t + 40=0 denkleminin diskriminantı pozitiftir, dolayısıyla t\_1, t\_2 reel ve pozitif, x\_1, x\_2 reel sayılar olur.

* * *

## Sonraki Adımlar

Bu tarz üstel denklem problemlerinde kök ilişkileri nasıl değişir görmek ister misiniz? Ya da AM-GM eşitsizliği kullanarak başka denklemleri nasıl çözeriz? Size adım adım çözüm rehberi hazırlayabilirim.

* * *

@Jelly