# Soit g la fonction définie par 1 lim g(r) et lim gr) et Vxe Dg 1 g'(\*) =3(\*+ 1) (Cg) au point d'abscisse 2 sur

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**Category:** Question Answer\
**Tags:** soru-cozumu\
**Created:** [Ekim 19, 2026, 5:32ös UTC](https://sorumatik.co/t/soit-g-la-fonction-definie-par-1-lim-g-r-et-lim-gr-et-vxe-dg-1-g-3-1-cg-au-point-dabscisse-2-sur/697296 "2026-10-19T17:32:02Z")\
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**Post date:** [Ekim 19, 2026, 5:32ös UTC](https://sorumatik.co/t/soit-g-la-fonction-definie-par-1-lim-g-r-et-lim-gr-et-vxe-dg-1-g-3-1-cg-au-point-dabscisse-2-sur/697296/1 "2026-10-19T17:32:02Z")

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Soit g la fonction définie par1  
g(r) =

1. Déterminer1 D, et calculer  
x+x+1  
(-1)2  
lim g(r) et lim gr)  
X- +00  
1-0
2. Montrer que1 g est dérivable sur D,  
et Vxe Dg1 g’(_) =3(_+ 1)  
(-1)3
3. Donner le tableau des variations de g
4. Donner une équation de la tangente à  
(Cg)

au po\int d'abscisse 2

1. Soit h la restriction de la fonction g  
sur l’intervalle I=]1; +o[.  
a) Montrer que1 h admet une fonction  
réciproque h  
à déterminer.  
définie sur un intervalle J  
b) Montrer que1 h  
est dérivable au po \int 7  
et déterminer (hl’(7).

 ![Soit g la fonction définie par1 g(r) = 1) Déterminer1 D, et calculer x+x+1 (-1)2 lim...](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/c/3/c3eaa3c63aeae460d6cebfd7e5c7800d07d707d8.jpeg)

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résoudre s’il vous plais

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## Étude Complète de la Fonction Rationnelle g(x)

💡 **FORMULES ET RÈGLES UTILISÉES :**

- **Dérivée d’un quotient :** \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
- **Équation de la tangente en x\_0 :** y = g'(x\_0)(x - x\_0) + g(x\_0)
- **Théorème de la bijection :** Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle I, alors elle réalise une bijection de I sur l’intervalle J = f(I) et admet une fonction réciproque f^{-1}.
- **Dérivée d’une fonction réciproque :** Si f(x\_0) = y\_0 et f'(x\_0) \neq 0, alors f^{-1} est dérivable en y\_0 et :

(f^{-1})'(y\_0) = \frac{1}{f'(x\_0)}

* * *

🧠 **ÉTAPES DE RÉSOLUTION :**

**Étape 1 — Détermination du domaine D\_g et calcul des limites à l’infini**  
Le dénominateur s’annule lorsque (x - 1)^2 = 0, soit x = 1. L’ensemble de définition est donc :

D\_g = \mathbb{R} \setminus \{1\} = ]-\infty ; 1[\;\cup\;]1 ; +\infty[

Pour les limites en l’infini d’une fonction rationnelle, on prend le quotient des termes de plus haut degré :

\lim\_{x \to +\infty} g(x) = \lim\_{x \to +\infty} \frac{x^2 + x + 1}{x^2 - 2x + 1} = \lim\_{x \to +\infty} \frac{x^2}{x^2} = 1

\lim\_{x \to -\infty} g(x) = \lim\_{x \to -\infty} \frac{x^2 + x + 1}{x^2 - 2x + 1} = \lim\_{x \to -\infty} \frac{x^2}{x^2} = 1

* * *

**Étape 2 — Dérivabilité et calcul de la dérivée g'(x)**  
g est le quotient de deux fonctions polynômes définies sur \mathbb{R}, avec un dénominateur non nul sur D\_g. Elle est donc dérivable sur D\_g.

Posons u(x) = x^2 + x + 1 \implies u'(x) = 2x + 1 et v(x) = (x - 1)^2 \implies v'(x) = 2(x - 1).  
Pour tout x \in D\_g :

g'(x) = \frac{(2x + 1)(x - 1)^2 - 2(x - 1)(x^2 + x + 1)}{(x - 1)^4}

En factorisant le numérateur par (x - 1) :

g'(x) = \frac{(x - 1)\left[(2x + 1)(x - 1) - 2(x^2 + x + 1)\right]}{(x - 1)^4}

g'(x) = \frac{(2x^2 - x - 1) - (2x^2 + 2x + 2)}{(x - 1)^3}

g'(x) = \frac{-3x - 3}{(x - 1)^3} = \frac{-3(x + 1)}{(x - 1)^3}

* * *

**Étape 3 — Tableau des variations de g**  
Le signe de g'(x) dépend du numérateur -3(x + 1) et du dénominateur (x - 1)^3 :

- -3(x + 1) = 0 \iff x = -1
- (x - 1)^3 change de signe en x = 1 (valeur interdite).

Étude des signes :

- Sur ]-\infty ; -1[ : -3(x + 1) \> 0 et (x - 1)^3 \< 0 \implies g'(x) \< 0
- Sur ]-1 ; 1[ : -3(x + 1) \< 0 et (x - 1)^3 \< 0 \implies g'(x) \> 0
- Sur ]1 ; +\infty[ : -3(x + 1) \< 0 et (x - 1)^3 \> 0 \implies g'(x) \< 0

Valeurs particulières et limites en 1 :

g(-1) = \frac{(-1)^2 + (-1) + 1}{(-1 - 1)^2} = \frac{1}{4}

\lim\_{x \to 1^-} g(x) = \lim\_{x \to 1^+} g(x) = \frac{3}{0^+} = +\infty

**Tableau de variations :**

| x | -\infty | | -1 | | 1 | | +\infty |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| **-3(x+1)** | | + | 0 | - | | - | |
| **(x-1)^3** | | - | | - | 0 | + | |
| **g'(x)** | | - | 0 | + | | | - | |
| **g(x)** | 1 | \searrow | \frac{1}{4} | \nearrow | +\infty \;\;|\;\; +\infty | \searrow | 1 |

* * *

**Étape 4 — Équation de la tangente au point d’abscisse x\_0 = 2**  
Calculons l’image et le nombre dérivé en x\_0 = 2 :

g(2) = \frac{2^2 + 2 + 1}{(2 - 1)^2} = \frac{7}{1} = 7

g'(2) = \frac{-3(2 + 1)}{(2 - 1)^3} = \frac{-9}{1} = -9

L’équation de la tangente est donnée par :

y = g'(2)(x - 2) + g(2)

y = -9(x - 2) + 7 \iff y = -9x + 18 + 7 \iff y = -9x + 25

* * *

**Étape 5 — Étude de la fonction réciproque h^{-1}**  
**a)** Sur l’intervalle I = ]1 ; +\infty[, la fonction h est continue (fonction rationnelle) et strictement décroissante.  
D’après le théorème de la bijection, h réalise une bijection de I vers l’intervalle J = h(I) :

J = \left]\lim\_{x \to +\infty} h(x) \; ; \; \lim\_{x \to 1^+} h(x)\right[=]1 ; +\infty[

Ainsi, h admet une fonction réciproque h^{-1} définie sur J = ]1 ; +\infty[.

**b)** On a h(2) = 7, ce qui implique h^{-1}(7) = 2.  
Comme h est dérivable en x\_0 = 2 et que h'(2) = -9 \neq 0, la fonction réciproque h^{-1} est dérivable en 7 et l’on a :

(h^{-1})'(7) = \frac{1}{h'(h^{-1}(7))} = \frac{1}{h'(2)} = \frac{1}{-9} = -\frac{1}{9}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━  
✅ **RÉPONSE FINALE :**

1. D\_g = \mathbb{R} \setminus \{1\} ; \lim\_{x \to +\infty} g(x) = 1 et \lim\_{x \to -\infty} g(x) = 1.
2. g est dérivable sur D\_g et \forall x \in D\_g, \; g'(x) = \frac{-3(x + 1)}{(x - 1)^3}.
3. g est strictement décroissante sur ]-\infty ; -1], strictement croissante sur [-1 ; 1[et strictement décroissante sur]1 ; +\infty[.
4. Équation de la tangente : y = -9x + 25.
5. **a)** h^{-1} est définie sur J = ]1 ; +\infty[.  
**b)** h^{-1} est dérivable en 7 et (h^{-1})'(7) = -\frac{1}{9}.  
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🎯 **NOTIONS CLÉS :**

- **Fonction réciproque :** Pour qu’une fonction admette une fonction réciproque continue, il suffit qu’elle soit continue et strictement monotone sur un intervalle donné.
- **Dérivation de la réciproque :** La condition primordiale pour la dérivabilité de h^{-1} en y\_0 est que h'(x\_0) \neq 0 avec h(x\_0) = y\_0.

⚠ **ERREURS COURANTES :**

- ❌ **Approche Incorrecte :** Développer le dénominateur (x-1)^4 ou oublier de factoriser par (x-1) au numérateur de g', ce qui alourdit considérablement les calculs.
- ✅ **Approche Correcte :** Simplifier systématiquement par (x-1) après la factorisation au numérateur avant de regrouper les termes.

Souhaites-tu déterminer l’expression explicite de h^{-1}(x) pour x \in ]1 ; +\infty[ ?