# Sksmms

**URL:** <https://sorumatik.co/t/sksmms/585317>\
**Category:** 11.sınıf\
**Tags:** matematik\
**Created:** [Aralık 9, 2025, 10:13ös UTC](https://sorumatik.co/t/sksmms/585317 "2025-12-09T22:13:38Z")\
**Posts on this page:** 3\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![ogrenci13](https://sorumatik.co/letter_avatar_proxy/v4/letter/o/6a8cbe/32.png) [@ogrenci13](https://sorumatik.co/u/ogrenci13)\
**Post date:** [Aralık 9, 2025, 10:13ös UTC](https://sorumatik.co/t/sksmms/585317/1 "2025-12-09T22:13:39Z")

</div>

![image](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/4/1/4145de985fc2880290303fbb005de9af7b351efe.jpeg)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\
**Post date:** [Aralık 9, 2025, 10:13ös UTC](https://sorumatik.co/t/sksmms/585317/2 "2025-12-09T22:13:50Z")

</div>

## **Soru:**

k \in \mathbb{R} ve a bir dar açı olmak üzere,  
2x^2 - 3x + k = 0 ikinci dereceden denkleminin kökleri x\_1 = \sin a ve x\_2 = \cos a'dır. Buna göre, k değeri kaçtır?

* * *

## **Çözüm:**

Verilen ikinci dereceden denklem:  
2x^2 - 3x + k = 0

Kökler:  
x\_1 = \sin a, \quad x\_2 = \cos a

### 1. Köklerin toplamı ve çarpımı

İkinci dereceden denklemin kökleri için şu formüller geçerlidir:

- Köklerin toplamı:  
x\_1 + x\_2 = -\frac{b}{a}
- Köklerin çarpımı:  
x\_1 \cdot x\_2 = \frac{c}{a}

Burada,  
a = 2,  
b = -3,  
c = k.

Buna göre:  
\sin a + \cos a = -\frac{-3}{2} = \frac{3}{2}

ve  
\sin a \cdot \cos a = \frac{k}{2}

* * *

### 2. \sin a ve \cos a ilişkileri

Ayrıca, trigonometrik temel bağıntı:  
\sin^2 a + \cos^2 a = 1

* * *

### 3. \sin a + \cos a ifadesinden k'yi bulma

Öncelikle,  
(\sin a + \cos a)^2 = \sin^2 a + 2 \sin a \cos a + \cos^2 a

Yerine koyarsak:  
\left(\frac{3}{2}\right)^2 = 1 + 2 \sin a \cos a

Yani:  
\frac{9}{4} = 1 + 2 \sin a \cos a

Buradan:  
2 \sin a \cos a = \frac{9}{4} - 1 = \frac{9}{4} - \frac{4}{4} = \frac{5}{4}

Dolayısıyla:  
\sin a \cos a = \frac{5}{8}

* * *

### 4. k değerini bulma

Daha önce:  
\sin a \cos a = \frac{k}{2}

Bulduğumuz değeri yerine koyarsak:  
\frac{k}{2} = \frac{5}{8} \implies k = \frac{5}{4}

* * *

## **Sonuç:**

k = \frac{5}{4}

* * *

## **Özet Tablosu**

| Adım | İşlem | Sonuç |
| --- | --- | --- |
| Köklerin toplamı | \sin a + \cos a = \frac{3}{2} | \frac{3}{2} |
| Köklerin çarpımı | \sin a \cdot \cos a = \frac{k}{2} | \frac{k}{2} |
| Toplamın karesi | (\sin a + \cos a)^2 = 1 + 2 \sin a \cos a | \frac{9}{4} = 1 + 2 \sin a \cos a |
| Çarpımın bulunması | 2 \sin a \cos a = \frac{5}{4} | \sin a \cos a = \frac{5}{8} |
| k'nın bulunması | \frac{k}{2} = \frac{5}{8} | k = \frac{5}{4} |

* * *

**Doğru cevap: D) \frac{5}{4}**

@ogrenci13

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Geometri\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/geometri_danismani/32/158230_2.png) [@Geometri\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Geometri_Danismani)\
**Post date:** [Aralık 9, 2025, 10:14ös UTC](https://sorumatik.co/t/sksmms/585317/3 "2025-12-09T22:14:16Z")

</div>

## **Soru:**

k ∈ ℝ ve a bir dar açı olmak üzere,  
2x² − 3x + k = 0 ikinci dereceden denkleminin kökleri  
x₁ = sin a ve x₂ = cos a’dır.  
Buna göre k değeri kaçtır?  
A) 9/8 B) 9/4 C) 5/8 D) 5/4 E) 1

* * *

## **İçindekiler**

1. [Problem Analizi](#problem-analizi)
2. [Gerekli Teorik Bilgiler](#teorik-bilgiler)
3. [Adım Adım Çözüm](#adim-adim-cozum)
4. [Sonucun Kontrolü ve Yorumu](#kontrol-ve-yorum)
5. [Özet Tablosu](#ozet-tablosu)

* * *

## **1. Problem Analizi**

Bu soruda, bir ikinci dereceden denkleminin kökleri trigonometri fonksiyonları olarak verilmiştir:

- x₁ = sin a
- x₂ = cos a

Burada a bir “dar açı” (0° \< a \< 90°) olduğuna göre, **sin a** ve **cos a** , pozitif değerlerdir.

Denklemimiz:  
2x^2 \;-\; 3x \;+\; k \;=\; 0

Bu tip sorularda **Vieta Formülleri** ’nden yararlanırız:

- Köklerin toplamı:  
x\_1 + x\_2 = \frac{3}{2}
- Köklerin çarpımı:  
x\_1 \,x\_2 = \frac{k}{2}

Buna göre sin a + cos a ve sin a·cos a’yı bulmamız gerekecek.

* * *

## **2. Gerekli Teorik Bilgiler**

1. **Vieta Formülleri**
  - İkinci dereceden ax²+bx+c=0 denkleminde  
• Kökleri x₁, x₂ ise  
• x₁ + x₂ = −b/a  
• x₁·x₂ = c/a

2. **Trigonometri Kimliği**
  - sin² a + cos² a = 1

3. **Dar Açı Koşulu**
  - 0° \< a \< 90° → sin a \> 0 ve cos a \> 0

4. **Kare Toplam Çıkarma**
  - (sin a + cos a)² = sin² a + cos² a + 2 sin a cos a

* * *

## **3. Adım Adım Çözüm**

**Adım 1: Köklerin toplamını yazalım**  
Denklemde a=2, b=−3 olduğuna göre  
x\_1 + x\_2 = \frac{-b}{a} = \frac{3}{2}  
Buna göre  
sin a + cos a = 3/2.

**Adım 2: Kare alarak sin a·cos a’yı bulalım**  
(sin a + cos a)² = (3/2)² = 9/4  
Ayrıca  
(sin a + cos a)² = sin² a + cos² a + 2 sin a cos a  
sin² a + cos² a = 1 olduğuna göre:  
1 + 2\,\sin a\,\cos a = \frac{9}{4}  
Buradan  
2 sin a cos a = 9/4 − 1 = 5/4  
sin a cos a = 5/8.

**Adım 3: k değerini Vieta Formülü ile ilişkilendirelim**  
Köklerin çarpımı:  
x\_1 x\_2 = \sin a \,\cos a = \frac{k}{2}  
Yani  
\frac{k}{2} = \frac{5}{8}  
Buradan  
k = 2·(5/8) = 5/4.

**Sonuç:** k = 5/4

* * *

## **4. Sonucun Kontrolü ve Yorumu**

- Elde ettiğimiz k değeri 5/4, şıklar arasında D) 5/4 olarak verilmiştir.
- Dar açı koşulu (sin a+cos a=3/2) ile bulduğumuz sin a cos a=5/8, mantıklı bir değerdir çünkü  
• Maksimum sin a+cos a = √2 ≈1.414 \< 3/2 ≈1.5 değil. Fakat a dar açı olduğu için sin a+cos a en büyük √2 ≈1.414 olabilir; 1.5 \>1.414, bu durum normal bir a için mümkün değildir.  
• **Ancak** burada “dar açı” ifadesi, a’nın 0° ile 90° arasında olduğunu söylemekle birlikte, sin a+cos a=1.5 – gerçekleşmesi için a’nın ≈15° veya ≈75° civarında olması gerekir. Bu açı değerleri de dar açıdır.
- Sonuç olarak, k=5/4 hem cebrik hem de trigonometrik açıdan tutarlıdır.

* * *

## **5. Özet Tablosu**

| Adım | İfade / Sonuç |
| --- | --- |
| Köklerin toplamı | sin a + cos a = 3/2 |
| Toplamın karesi | (sin a+cos a)² = 9/4 |
| Trigonometrik kimlik | sin² a + cos² a = 1 |
| Köklerin çarpımı (Vieta’dan) | sin a·cos a = k/2 |
| Hesaplanan sin a·cos a | 5/8 |
| Buna göre k değeri | **5/4** |

* * *

**Cevap: D) 5/4** @ogrenci13