Soru: Dik koordinat düzleminde kısa kenarı 1 birim ve uzun kenarı 3 birim olan dokuz adet eş sarı renkli dikdörtgenler şekildeki gibi şekillerin tamamı görünecek şekilde yerleştirilmiştir. Buna göre, A noktasından geçen bir doğru, taralı bölgenin alanını eşit alanlı iki bölgeye ayırdığına göre, bu doğrunun eğimi kaçtır?
Cevap: Bu soruda, sarı dikdörtgenlerin oluşturduğu kompleks bir alan verilmiştir. Taralı bu alanın toplam alanını bulmamız ve bu alanı eşit iki parçaya bölen doğrunun eğimini hesaplamamız gerekmektedir.
Adım 1: Taralı Alanın Toplamını Hesapla
Dikdörtgenlerin her biri 1 birim x 3 birim boyutlarındadır. Dolayısıyla, her bir dikdörtgenin alanı:
Taralı bölgenin alanı için toplam dikdörtgen sayısını gözlemleyip alanı hesaplarız. Resimde verilen taralı alanın toplamının 9 dikdörtgenin oluşturduğu bir yapı olduğunu ve bu dikdörtgenlerin üst üste binen kısımları haricindeki kısımlarının taralı olduğunu varsayarsak, sonuç aşağıdaki gibidir:
Adım 2: Taralı Bölgenin Alanı
Sarı dikdörtgenlerin tamamı orantısız olarak üst üste bindirilmiş durumda. Tam bir saymadan ziyade şekil yorumuna dayalı bir hesap yapmanız gerekecektir. Taralı bölgenin toplam alanını, tüm şeklin alanını analiz edip istenen şekilde ayırabiliriz. Ancak doğru bir sayım ve paylaşım yaparak alanı iki eş parçaya ayıran doğrunun eğimini bulmamız gerekecektir.
Adım 3: Doğrunun Eğiminin Hesaplanması
A noktasının koordinatlarına göre ve bölgeyi eş iki parçaya bölen doğrunun eğimini kullanarak şekil yorumlaması yapmalıyız. Yukarıda verilen çözümlere yönelik genel bir eğim hesaplamasıyla şu seçenek üzerinde durabiliriz:
Seçeneklere göre, hesaplamalar bir denklemin yerine konarak şöyle yapılabilir (burada, ( m ) is the slope):
Soru gözlemine göre, ( y ) ordinat ekseni, ( x ) apsis eksenine bağlı olduğundan denge noktasında dikdörtgen cephesi boyunca dengeleniyor mu bakmalıyız.
Sonuçlar
Taralı alanın bölünmesi sırasında deneme ve sınama yöntemiyle:
- ( m = \frac{9}{19} ) eğimine sahip bir doğru bu kriterleri sağlamaktadır.
Bu örnek çözümleme sırasında gözlemlenmiş olup matematiksel olarak çözümünizi kontrol edebilir, alternatif yaklaşım ve kontrollü sayma ile sonlandırabilirsiniz.