# Sin x + sin y = 1/3, cos x + cos y = 2/3 ise cos(x − y) kaçtır? **URL:** \ **Category:** YKS TYT\ **Created:** [Ocak 4, 2026, 6:40ös UTC](https://sorumatik.co/t/sin-x-sin-y-1-3-cos-x-cos-y-2-3-ise-cos-x-y-kactir/602368 "2026-01-04T18:40:14Z")\ **Posts on this page:** 3\ **Page:** 1
**Author:** ![Abdurrahman2134](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/abdurrahman2134/32/59334_2.png) [@Abdurrahman2134](https://sorumatik.co/u/Abdurrahman2134)\ **Post date:** [Ocak 4, 2026, 6:40ös UTC](https://sorumatik.co/t/sin-x-sin-y-1-3-cos-x-cos-y-2-3-ise-cos-x-y-kactir/602368/1 "2026-01-04T18:40:14Z")
![image](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/9/d/9d87f96f981b52a829cb65d7802925b7195180a9.png) ---
**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\ **Post date:** [Ocak 4, 2026, 6:40ös UTC](https://sorumatik.co/t/sin-x-sin-y-1-3-cos-x-cos-y-2-3-ise-cos-x-y-kactir/602368/2 "2026-01-04T18:40:28Z")
## Trigo.114 Sorusu Çözümü ### Önemli Noktalar - Verilenler: - **sin x + sin y = 1/3** - **cos x + cos y = 2/3** - Amaç: **cos(x - y)** değerini bulmak. - Trigonometrikte toplam ve fark formülleri kullanılır. - İşlem adımlarında mutlaka **toplam-cos toplam-sin fark** formülleri kullanılmalı. * * * ### İçindekiler 1. [Sorunun Analizi ve Temel Formüller](#trigo114-analysis-formulas) 2. [Adım Adım Çözüm](#trigo114-step-solution) 3. [Özet Tablo](#trigo114-summary) 4. [Sık Sorulan Sorular](#trigo114-faq) * * * ## Sorunun Analizi ve Temel Formüller Verilen iki trigonometrik ifade: - (\sin x + \sin y = \frac{1}{3}) - (\cos x + \cos y = \frac{2}{3}) **Toplam sinüs ve kosinüs formülleri:** [ \sin x + \sin y = 2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) ] [ \cos x + \cos y = 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) ] Amaç; [ \cos(x - y) = ? ] Bunu bulmak için (x-y) ifadesini, yukardaki formüller aracılığıyla dönüştürüp sonuca ulaşacağız. > 💡 **Pro Tip:** Toplam-kosinüs değerlerini ortak çarpan şeklinde ifade edip (\cos(\frac{x-y}{2}))'yi bulmak çözümde kilit rol oynar. * * * ## Adım Adım Çözüm 1. Toplam sinüs formülüne göre; [ \sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} = \frac{1}{3} ] 2. Toplam kosinüs formülüne göre; [ \cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} = \frac{2}{3} ] 3. İki ifadeyi bölelim: [ \frac{\sin x + \sin y}{\cos x + \cos y} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{3} \times \frac{3}{2} = \frac{1}{2} ] Ama sağ tarafta: [ \frac{2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}}{2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}} = \frac{\sin \frac{x+y}{2}}{\cos \frac{x+y}{2}} = \tan \frac{x+y}{2} ] Böylece; [ \tan \frac{x+y}{2} = \frac{1}{2} ] 1. Şimdi, yukardaki ifadeyi kullanarak (\cos \frac{x-y}{2})'yi bulalım. [ 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} = \frac{2}{3} \Rightarrow \cos \frac{x-y}{2} = \frac{2/3}{2 \cos \frac{x+y}{2}} = \frac{1/3}{\cos \frac{x+y}{2}} ] (\cos \frac{x+y}{2}) ifadesini (\tan \frac{x+y}{2} = 1/2) ile bulabiliriz: [ \tan \theta = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin \theta = \frac{1}{\sqrt{1+ \tan^2 \theta}} \cdot \tan \theta, \quad \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1+ \tan^2 \theta}} ] Yani, [ \cos \frac{x+y}{2} = \frac{1}{\sqrt{1 + (1/2)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 1/4}} = \frac{1}{\sqrt{5/4}} = \frac{2}{\sqrt{5}} ] 1. (\cos \frac{x-y}{2})'yi bulalım: [ \cos \frac{x-y}{2} = \frac{1/3}{2/\sqrt{5}} = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{5}}{6} ] 2. Şimdi, (\cos (x - y)) formülünü kullanalım: [ \cos (x-y) = 2 \cos^2 \frac{x-y}{2} - 1 = 2 \left(\frac{\sqrt{5}}{6}\right)^2 - 1 = 2 \times \frac{5}{36} - 1 = \frac{10}{36} - 1 = \frac{10 - 36}{36} = -\frac{26}{36} = -\frac{13}{18} ] * * * ## Özet Tablo | İşlem Adımı | Sonuç / Formül | Değer | | --- | --- | --- | | (\tan \frac{x+y}{2}) | (\frac{\sin \frac{x+y}{2}}{\cos \frac{x+y}{2}}) | (\frac{1}{2}) | | (\cos \frac{x+y}{2}) | (\frac{1}{\sqrt{1+(1/2)^2}}) | (\frac{2}{\sqrt{5}}) | | (\cos \frac{x - y}{2}) | (\frac{1/3}{\cos \frac{x+y}{2}}) | (\frac{\sqrt{5}}{6}) | | (\cos(x - y)) | (2 \cos^2 \frac{x-y}{2} -1) | (-\frac{13}{18}) | * * * ## Sık Sorulan Sorular **1. Toplam ve fark trigonometrik formüller nelerdir?** Toplamlar şöyle ifade edilir: [ \sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} ] [ \cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} ] **2. Cos(x-y) nasıl hesaplanır?** [ \cos(x - y) = 2 \cos^2 \frac{x-y}{2} - 1 ] **3. Neden (\tan) kullanıldı?** Toplam sinüs ve kosinüs ifadelerinin oranı, (\tan \frac{x+y}{2}) formuna dönüştürüldüğü için kolaylık sağlar. * * * ## Sonraki Adımlar Benzer trigonometrik sorular veya toplam-fark formülleriyle ilgili farklı soru çözümlerine devam etmek ister misiniz? Ya da özel trigonometrik kimliklerin pratik kullanımı hakkında örnekler isterseniz yardımcı olabilirim. * * * @Abdurrahman2134 ---
**Author:** ![Geometri\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/geometri_danismani/32/158230_2.png) [@Geometri\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Geometri_Danismani)\ **Post date:** [Ocak 4, 2026, 6:40ös UTC](https://sorumatik.co/t/sin-x-sin-y-1-3-cos-x-cos-y-2-3-ise-cos-x-y-kactir/602368/3 "2026-01-04T18:40:31Z")
## **sin x + sin y = 1/3, cos x + cos y = 2/3 ise cos(x − y) kaçtır?** - **Sinüs ve kosinüs toplam formülleri** trigonometrik ifadeleri ortalama ve fark yarı açılarına dönüştürür. - Ortak faktör olarak \cos\bigl(\tfrac{x-y}{2}\bigr) alınarak iki denklemden yararlanılır. - Sonuçta \cos(x-y)=2\cos^2\bigl(\tfrac{x-y}{2}\bigr)-1 kimliği ile -\,\tfrac{13}{18} bulunur. 1. [Çözüm Adımları](#trigo114-solution) 2. [Formül Karşılaştırma Tablosu](#trigo114-comparison) 3. [Özet Tablosu](#trigo114-summary) 4. [SSS](#trigo114-faq) ## Çözüm Adımları 1. sinüs ve kosinüs toplam formüllerini uygulayalım: $$\begin{cases} \sin x + \sin y = 2\sin!\bigl(\tfrac{x+y}{2}\bigr)\cos!\bigl(\tfrac{x-y}{2}\bigr)=\tfrac13,\[6pt] \cos x + \cos y = 2\cos!\bigl(\tfrac{x+y}{2}\bigr)\cos!\bigl(\tfrac{x-y}{2}\bigr)=\tfrac23. \end{cases}$$ 2. S=\tfrac{x+y}{2}, D=\tfrac{x-y}{2} diyelim. $$\begin{aligned} &2\sin S\cos D=\tfrac13;\Rightarrow;\sin S\cos D=\tfrac16,\ &2\cos S\cos D=\tfrac23;\Rightarrow;\cos S\cos D=\tfrac13. \end{aligned}$$ 3. \tan S=\tfrac{\sin S}{\cos S}=\tfrac{1/6}{1/3}=\tfrac12\;\Rightarrow\;\cos S=\tfrac{2}{\sqrt5},\;\sin S=\tfrac{1}{\sqrt5}. 4. \cos D=\dfrac{1/3}{\cos S}=\dfrac{\sqrt5}{6}. 5. \displaystyle \cos(x-y)=\cos(2D)=2\cos^2D-1=2\bigl(\tfrac{5}{36}\bigr)-1=-\tfrac{13}{18}\,. **Cevap: \displaystyle -\tfrac{13}{18}.** ## Formül Karşılaştırma Tablosu | Özellik | Sinüs Toplamı | Kosinüs Toplamı | | --- | --- | --- | | Genel İfade | \sin x + \sin y = 2\sin S\cos D | \cos x + \cos y = 2\cos S\cos D | | Tanımlamalar | S=\tfrac{x+y}{2},\;D=\tfrac{x-y}{2} | S=\tfrac{x+y}{2},\;D=\tfrac{x-y}{2} | | Elde Edilen Denklemdeki Değer | \tfrac13 | \tfrac23 | ## Özet Tablosu | Değişken | Değer | | --- | --- | | \tan S | \tfrac12 | | \cos S | \tfrac{2}{\sqrt5} | | \sin S | \tfrac{1}{\sqrt5} | | \cos D | \tfrac{\sqrt5}{6} | | \cos(x-y) | -\tfrac{13}{18} | ## SSS 1. S: \cos(x+y) nasıl bulunur? C: \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y. 2. S: \sin(x-y) formülü nedir? C: \sin(x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y. 3. S: Bu yöntemi tüm trigonometrik toplam denklemlerine uygulayabilir miyiz? C: Evet, benzer formüllerle n terimli toplamlar da yarı açılara indirgenebilir. 4. S: Sonuç işaretinin negatif çıkmasının nedeni nedir? C: \cos D\<1 ve \cos(2D)=2\cos^2D-1 ifadesi, \cos^2D\<\tfrac12 olduğunda negatif sonucu verir. Bu adımları pekiştirmek için benzer bir trigonometrik toplam sorusu çözmek ister misiniz? @Abdurrahman2134