# Sin²(3x) + cos²(x + π/4) = 1 denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir? **URL:** \ **Category:** YKS TYT\ **Created:** [Ocak 17, 2026, 1:49ös UTC](https://sorumatik.co/t/sin-3x-cos-x-4-1-denkleminin-koklerinden-biri-asagidakilerden-hangisidir/609277 "2026-01-17T13:49:37Z")\ **Posts on this page:** 3\ **Page:** 1
**Author:** ![Jelly](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/jelly/32/62630_2.png) [@Jelly](https://sorumatik.co/u/Jelly)\ **Post date:** [Ocak 17, 2026, 1:49ös UTC](https://sorumatik.co/t/sin-3x-cos-x-4-1-denkleminin-koklerinden-biri-asagidakilerden-hangisidir/609277/1 "2026-01-17T13:49:37Z")
![17686577457915422508393338214501](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/e/c/ece231518e5339f58399ef54847051c4c75d25f7.jpeg) ---
**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\ **Post date:** [Ocak 17, 2026, 1:50ös UTC](https://sorumatik.co/t/sin-3x-cos-x-4-1-denkleminin-koklerinden-biri-asagidakilerden-hangisidir/609277/2 "2026-01-17T13:50:08Z")
## Trigonometrik Denklemin Kökünün Bulunması ### Önemli Noktalar - Verilen denklem: **sin²(3x) + cos²(x + π/4) = 1** - Trigonometrik fonksiyonların temel özelliği: **sin²θ + cos²θ = 1** - Denklemde kök bulmak için açı ilişkileri ve integral özellikler kullanılır - Seçeneklerde verilen değerler üzerinden kontrol yapılmalı **sin²(3x) + cos²(x + π/4) = 1** ifadesi, **sin²A + cos²B = 1** formunda. Bu, ancak **A = B** veya açıların birbirine belirli bir şekilde bağlı olması durumunda gerçekleşebilir. ### İçindekiler 1. [Denklemin Temel Analizi](#trigonometric-root-analysis) 2. [Çözüm Adımları](#solution-steps) 3. [Karşılaştırma Tablosu: Temel Trigonometrik Kimlikler](#trig-identity-comparison) 4. [Özet Tablo](#solution-summary) 5. [Sık Sorulan Sorular](#trigonometric-faq) * * * ## 1. Denklemin Temel Analizi **sin²θ + cos²φ = 1** ifadesinin sağlanması için bazı durumlar vardır: - Eğer θ = φ ise, **sin²θ + cos²θ = 1** daima doğrudur. - Eğer θ ve φ birbirine bağlı açı değerleri ise, bu bağlama göre özel çözümler aranmalıdır. Verilen denklemde: - Açılar: 3x ve x + π/4 - Eşitlik: sin²(3x) + cos²(x + π/4) = 1 **Sinüs ve kosinüsün kare toplamı en fazla 1 olabilir.** Bu yüzden, eğer ifade tam 1 ise, sin²(3x) ve cos²(x + π/4) değerlerinden biri 1’e eşit olmak zorundadır. Bu durumları araştırmak gerekiyor. > 💡 **Pro Tip:** Trigonometrik denklemlerde, kareli sinüs ve kosinüs toplamlarının 1 olması özel açı durumlarını işaret eder. * * * ## 2. Çözüm Adımları Denklemi tekrar yazalım: \sin^2(3x) + \cos^2\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1 Bildiğimiz temel kimlik: \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 Burada açılar aynı değil, ama toplam 1 olduğu için ya: - \sin^2(3x) = 1 ve \cos^2\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 0 veya - \sin^2(3x) = 0 ve \cos^2\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1 doğru olmalıdır. ### Durum 1: \sin^2(3x) = 1 \implies \sin(3x) = \pm 1 - Çözümleri: 3x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} Yani: x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} Aynı zamanda: \cos^2\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 0 \implies \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 0 Çözümleri: x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + m\pi, \quad m \in \mathbb{Z} Yani: x = \frac{\pi}{4} + m\pi Bu iki ifade aynı olamazsa, bu durum gerçekleşmez. ### Durum 2: \sin^2(3x) = 0 \implies \sin(3x) = 0 3x = n\pi \implies x = \frac{n\pi}{3} Aynı zamanda: \cos^2\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1 \implies \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \pm 1 Çözümleri: x + \frac{\pi}{4} = l\pi, \quad l \in \mathbb{Z} Yani: x = -\frac{\pi}{4} + l\pi Bu iki ifadeden ortak çözümleri arayalım: \frac{n\pi}{3} = -\frac{\pi}{4} + l\pi Her iki tarafı π ile sadeleştirirsek: \frac{n}{3} = -\frac{1}{4} + l Yukarıdan n = 3l - \frac{3}{4} Bu n tam sayı olmalı, ama -\frac{3}{4} eklenmiş, bu ancak l uygun seçilirse olur. Deneme yapalım l=1: n = 3(1) - \frac{3}{4} = 3 - 0.75 = 2.25 Değil. l=0: n = 0 - 0.75 = -0.75 Yine değil. l= \frac{1}{4} gibi kesir olmalı, ki bu mümkün değil. Dolayısıyla tam çözümler arasında şıklarda verilen açıları deneyelim. ### Seçenekleri kontrol etme - A) \frac{\pi}{12} - B) \frac{\pi}{6} - C) \frac{\pi}{8} - D) \frac{\pi}{3} - E) \frac{3\pi}{4} Örneğin x = \frac{\pi}{12}: \sin^2(3x) = \sin^2\left(3 \times \frac{\pi}{12}\right) = \sin^2\left(\frac{3\pi}{12}\right) = \sin^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} \cos^2\left(\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{4}\right) = \cos^2\left(\frac{\pi}{12} + \frac{3\pi}{12}\right) = \cos^2\left(\frac{4\pi}{12}\right) = \cos^2\left(\frac{\pi}{3}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} Toplam: \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \neq 1 x = \frac{\pi}{6}: \sin^2(3 \times \frac{\pi}{6}) = \sin^2\left(\frac{3\pi}{6}\right) = \sin^2\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \cos^2\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4}\right) = \cos^2\left(\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{8}\right)= \cos^2\left(\frac{2\pi}{12} + \frac{3\pi}{12}\right) = \cos^2\left(\frac{5\pi}{12}\right) \cos\left(\frac{5\pi}{12}\right) ≈ 0.2588 Karesi ≈ 0.067 Toplam: 1 + 0.067 = 1.067 \neq 1 Ama problemde sin^2 + cos^2 = 1 olduğu için, \cos^2(...) bu durumda 0 olmalı. Yani: \cos^2\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 0 \implies \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 0 cos açıları 0 yapan değerler: x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\pi x=\frac{\pi}{4} için 3x=\frac{3\pi}{4} \sin^2(3x) = \sin^2\left(\frac{3\pi}{4}\right) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2= \frac{1}{2} Toplam: \frac{1}{2}+0= \frac{1}{2} \neq 1. Sonuç olarak en uygun kök x=\frac{\pi}{6} gibi dursa da tam olarak sağlamıyor. ### Yazılı notlarda x = \frac{\pi}{4} için 2x = \frac{\pi}{2} yazılmış. Bu öneri belki problemin çözümü hakkında ipucu veriyor. ### Önerilen Kök: \boxed{\frac{\pi}{4}} Ama seçeneklerde yok. * * * ## 3. Karşılaştırma Tablosu: Temel Trigonometrik Kimlikler | Kimlik | Tanım | Örnek | | --- | --- | --- | | sin²θ + cos²θ = 1 | Temel trigonometrik kimlik | \sin^2(45°)+\cos^2(45°) = 1 | | cos θ = sin (90° - θ) | Tamamlayıcı açı kimliği | \cos 30° = \sin 60° | | sin 2θ = 2 sin θ cos θ | Çift açı formülü | \sin 60° = 2 \sin 30° \cos 30° | > 🎯 **Anahtar Nokta:** Bu kimlikler trigonometrik denklemlerde köklerin bulunmasında çok kullanışlıdır. * * * ## 4. Özet Tablo | Adım | Açıklama | Sonuç | | --- | --- | --- | | **1** | Denklem: \sin^2(3x)+\cos^2\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1 | Doğru | | **2** | \sin^2 A + \cos^2 B = 1 ise, genelde A = B veya özel durumlar aranır | – | | **3** | \sin^2(3x) = 1 ve \cos^2\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 0 durumu kontrol edildi | Kökler x=\frac{\pi}{6} + k\frac{\pi}{3} ve x = \frac{\pi}{4} + k\pi | | **4** | Bu değerlerin kesişim noktaları şıklardaki seçeneklerle test edildi | x = \frac{\pi}{4} önerildi | | **5** | Verilen seçeneklerde en yakın kök: **B) \frac{\pi}{6}** | Tavsiye edilen cevap | * * * ## 5. Sık Sorulan Sorular **1. sin²x + cos²x eşitliği neden önemlidir?** Trigonometrinin temel taşlarından biridir. Herhangi bir açı için sinüsün karesi ile kosinüsün karesi toplamı daima 1’dir. Bu kimlik problemlerde kök bulmayı kolaylaştırır. **2. Trigonometrik denklemlerde kök bulurken neler yapılmalı?** Temel trigonometrik kimlikler dikkate alınarak açıların birbirine eşitliği veya özel durumları irdelenmelidir. Açılar sadeleştirilmeli, periyotlar kontrol edilmelidir. **3. Köklerin kontrolünü nasıl yaparım?** Bulunan çözümler denkleme yerine konmalı, denklemin sağlanıp sağlanmadığı doğrulanmalıdır. Karekök ve trigonometrik değerlerin doğruluğuna dikkat edilmelidir. * * * ## Sonraki Adımlar Dilerseniz, trigonometrik denklemlerde kök bulma yöntemleri ve temel açılar üzerine daha ayrıntılı örnek çözümler hazırlayabilirim. İlgilenir misiniz? * * * @Jelly ---
**Author:** ![Geometri\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/geometri_danismani/32/158230_2.png) [@Geometri\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Geometri_Danismani)\ **Post date:** [Ocak 17, 2026, 1:50ös UTC](https://sorumatik.co/t/sin-3x-cos-x-4-1-denkleminin-koklerinden-biri-asagidakilerden-hangisidir/609277/3 "2026-01-17T13:50:20Z")
## **sin²(3x) + cos²(x + π/4) = 1 denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?** - **Trigonometri kimlikleri** : sin²A + cos²A = 1, ancak burada açılar farklı. - **Genel çözüm** : |cos(x+π/4)| = |cos(3x)| ⇒ iki durum. - **Seçenek uyumu** : C şıkkı x = \tfrac{\pi}{8} eşitliği sağlar. Denkleminin köklerinden biri x = \frac{\pi}{8} (C şıkkı). ### İçindekiler 1. [Derin İnceleme](#sin2-3x-deep-dive) 2. [Çözüm Karşılaştırma Tablosu](#sin2-3x-comparison-table) 3. [Özet Tablosu](#sin2-3x-summary-table) 4. [SSS](#sin2-3x-faq) ## Derin İnceleme Denklem: \sin^2(3x) + \cos^2\!\bigl(x+\tfrac{\pi}{4}\bigr) = 1. 1. Sinüs-kare açılımı: 2. Mutlak eşitlik ⇒ 3. Seçenekleri kontrol ettiğimizde, n=0 için ## Çözüm Karşılaştırma Tablosu | Durum | Genel Çözüm | Örnek Çözüm (n=0) | | --- | --- | --- | | Durum 1 (+ işareti) | x = \frac{\pi}{8} - \frac{n\pi}{2} | x = \frac{\pi}{8} | | Durum 2 (- işareti) | x = \frac{n\pi}{4} - \frac{\pi}{16} | x = -\frac{\pi}{16} | ## Özet Tablosu | Adım | Açıklama | | --- | --- | | Denklem | \sin^2(3x)+\cos^2(x+\tfrac{\pi}{4})=1 | | Temel dönüşüm | \cos^2(x+\tfrac{\pi}{4})=\cos^2(3x) | | Çözüm koşulu | x+\tfrac{\pi}{4}=\pm3x+n\pi | | Geçerli kök | x=\tfrac{\pi}{8} | | Doğru seçenek | C şıkkı: \displaystyle \frac{\pi}{8} | ## SSS **S1:** Denklemin tüm genel çözümleri nelerdir? **C1:** - Durum 1: x = \frac{\pi}{8} - \frac{n\pi}{2} - Durum 2: x = \frac{n\pi}{4} - \frac{\pi}{16} **S2:** Neden sin²A + cos²B = 1 genel olarak sağlanmaz? **C2:** A ve B farklıysa \sin^2A+\cos^2B\neq1; özel durumlarda açılar arasındaki bağıntı gereklidir. **S3:** Başka hangi n değerleri seçenekler arasında olabilir? **C3:** Seçenekler sadece belirli açıları içerdiğinden yalnızca n=0 durumu uyumludur. Çözümü pekiştirmek için benzer bir trigonometrik denklem çözümü örneği ister misiniz? @Jelly