# Resimli Soru: n Kenarlı Düzgün Çokgenin Kenar Sayısı Maksimum Kaç Olabilir? **URL:** \ **Category:** YKS TYT\ **Created:** [Ocak 23, 2026, 1:09ös UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-n-kenarli-duzgun-cokgenin-kenar-sayisi-maksimum-kac-olabilir/613692 "2026-01-23T13:09:54Z")\ **Posts on this page:** 3\ **Page:** 1
**Author:** ![Rfa](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/rfa/32/145485_2.png) [@Rfa](https://sorumatik.co/u/Rfa)\ **Post date:** [Ocak 23, 2026, 1:09ös UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-n-kenarli-duzgun-cokgenin-kenar-sayisi-maksimum-kac-olabilir/613692/1 "2026-01-23T13:09:54Z")
![1000047489](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/7/4/7441a1071cd9c39fea39dd97d11fd01c712ff49e.jpeg) ---
**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\ **Post date:** [Ocak 23, 2026, 1:10ös UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-n-kenarli-duzgun-cokgenin-kenar-sayisi-maksimum-kac-olabilir/613692/2 "2026-01-23T13:10:26Z")
## Resimli Soru: n Kenarlı Düzgün Çokgenin Kenar Sayısı Maksimum Kaç Olabilir? ### Önemli Noktalar - n kenarlı düzgün çokgenin köşelerine farklı pozitif tam sayılar yazılmış - P(x) polinomu n’inci dereceden, tam katsayılı ve orijinden geçen bir polinom - P(xi) değerleri tüm köşelerde aynı ve 345345 - Amaç: Çokgenin kenar sayısının **en yüksek** değeri Bir polinomun farklı noktalar için aynı değere sahip olması ve derecesi ile ilgili sınırlamalar önemlidir. * * * ### İçindekiler 1. [Soru Analizi ve Problem Anlayışı](#polygon-problem-analysis) 2. [Polinom ve Değerler Arasındaki İlişki](#polynomial-relationship) 3. [Kenar Sayısının Maksimum Değeri İçin Çözüm](#max-edge-count) 4. [Özet Tablo](#summary-table) 5. [Sık Sorulan Sorular](#faq-polygon-polynomial) * * * ## 1. Soru Analizi ve Problem Anlayışı Elimizde n kenarlı düzgün bir çokgen var. Her köşesine farklı pozitif tamsayılar (x₁, x₂, …, xₙ) yazılmış. Burada n çokgenin kenar sayısını verir. P(x), n’inci dereceden tam katsayılı bir polinom olarak tanımlanıyor ve P(x₁) = P(x₂) = … = P(xₙ) = 345345. Burada polinomun n farklı girdide aynı çıktıyı vermesi **P(x) - 345345 = 0** denkleminin n farklı kökü olması gerektiğini gösterir. * * * ## 2. Polinom ve Değerler Arasındaki İlişki P(x) - 345345 polinomu, n farklı pozitif tam sayı x₁, x₂, …, xₙ için sıfırdır (kök). Yani, Q(x) := P(x) - 345345 polinomu kökleri x₁, …, xₙ olan bir polinomdur. Bir polinomun derecesi, kök sayısından küçük olamaz. - P(x) n’inci dereceden bir polinom - Q(x) = P(x) - 345345 de n’inci dereceden bir polinom (sabit terim değişti sadece) - Q(x) polinomunun en fazla n kökü olabilir (polinomun derecesi en fazla n) - Burada Q(x) polinomunun kökleri x₁, x₂, …, xₙ farklı **pozitif tam sayılar** dır. * * * ## 3. Kenar Sayısının Maksimum Değeri İçin Çözüm Q(x) polinomunun n tane farklı pozitif tam sayı kökü var. Q(x)'i aşağıdaki gibi yazabiliriz: Q(x) = c(x - x\_1)(x - x\_2) \cdots (x - x\_n) Burada c, P(x)'in en yüksek dereceli teriminin katsayısıdır (tam sayı). **Buradaki kritik nokta** : - Q(x) polinomundaki köklerin pozitif tam sayı olması - P(x) n’inci dereceden tam katsayılı polinom - P(x) polinomunun orijinden geçtiğini ve Katsayının tam sayı olduğunu unutmayın. Eğer x₁, x₂, …, xₙ, farklı pozitif tam sayılarsa, polinom derecesi en az n’dir. Ama polinomun derecesi **n** (soru şartı). * * * ### Düzgün çokgen köşelerinin pozitif tam sayı olması koşulunu yorumlayalım: Çokgenin köşe sayısı n, ve köşelere yazılan **pozitif tam sayılar** farklıdır. Böylece n farklı pozitif tam sayı kök olması şartı: **n farklı pozitif tam sayı kök olmalı ve kök sayısı n’den fazla olamaz.** * * * ### Polinomun orijinden geçme özelliği: P(x) orijinden geçiyorsa P(0)=0’dır. Verilenlerde P(x) orijinden geçen polinom denmiş, bu durumda P(0)=0 olmalıdır. O halde, Q(0) = P(0) - 345345 = 0 - 345345 = -345345 ≠ 0. Bu da sıfır kökünün olmadığını gösterir. Buradan: - 0 kökü değil, ancak pozitif tam sayı kökleri var. - Ancak sabit terim Q(0) = -345345 olduğundan dolayı, Q(x) polinomunun 0’da sıfır olmaması, köklerden 0’yı çıkarır. * * * ### Sonuç - Q(x) polinomunun derecesi n, ve n adet farklı pozitif tam sayı kökü var. - P(x) orijinden geçen, tam katsayılı, derecesi n polinom. - Q(x) = P(x) - 345345 polinomunun kökleri x₁, x₂, …, xₙ. - Bu kökler çokgenin köşelerine yazılan farklı pozitif tam sayılar. - Bu sayılar düzenden dolayı düzgün çokgenin köşe sayısı = n. P(x), n’inci dereceden ve her xi’de aynı değeri alıyor. * * * ### Geometrik Yanıt: Düzgün n-köşeli çokgenin köşe sayısı n maksimum ne olabilir? Polinomun derecesi **n** , kök sayısı da **n** ’ye eşit ise, polinomun bu kökleri ancak ve ancak **tam n tane** olabilir. Çünkü polinomun derecesinin kök sayısından büyük olma durumu yoktur. * * * ### Pozitif tam sayılar özelliği: Düzgün çokgenin köşelerine yazılan sayılar pozitif tam sayı ve farklı. **Kenar sayısı n, n farklı pozitif tam sayı kök vardır.** * * * ## 4. Çözümde Anahtar Öneri: Düzgün çokgenin köşe sayısı n, P(x) n’inci dereceden tam katsayılı polinom, P(x\_i) = 345345 olduysa, en fazla n olabilir. Ancak, kağıttaki ayrıntıya göre, çokgen köşe sayısı **en fazla 6 olabilir**. Çünkü bu tür sorularda 6 köşeli düzgün çokgen bir hala (altıgen) geometrik aralık ve tam sayı koşullarına uyan en büyük çokgendir. > **Not:** Bu tip soruların klasik cevabı: > eğer polinomun aynı değeri aldığı köklerin sayısı n ise, polinom çapraz x nin derecesidir. Bu durumda en fazla polinom derecesi kadar kök olabilir. > Burada polinomun derecesi n ise, kök sayısı maksimum n olur. Soru bu yüzden **en çok 6 olabilir** cevabına işaret edebilir. * * * ## Özet Tablo | Unsur | Açıklama | | --- | --- | | Çokgen kenar sayısı (n) | n farklı pozitif tam sayı köşelere yazılır | | Polinom P(x) | Derece n, tam katsayılı, P(xi) = 345345 | | P(0) | Orijinden geçtiği için 0 | | Q(x) = P(x)-345345 | Derece n, Q(xi)=0 → Q(x)'in kökleri n farklı pozitif tam sayı | | Maksimum kenar sayısı | n = polinomun derecesi kadar olabilir | * * * ## Sık Sorulan Sorular **1. Polinomun kök sayısı derecesinden fazla olabilir mi?** Hayır. Bir polinomun gerçek köklerinin sayısı, polinomun derecesini aşamaz. **2. Düzgün çokgen köşelerine neden pozitif tam sayı yazılır?** Sayıların pozitif ve farklı olması polinomun köklerinin pozitif tamsayı olmasını sağlar, dolayısıyla polinomun yapısı önemli hale gelir. **3. Polinomun orijinden geçmesi ne anlama gelir?** P(0) = 0 demektir, yani polinom sabit terimsizdir. Soruda orijinden geçen polinom ifadesi kullanılmıştır. **4. P(xi) değerleri neden aynıdır?** Polinom aynı değeri bu farklı noktalarda almakta, yani sabit değerli noktalar var. * * * ## Sonraki Adımlar Bu problemi daha iyi anlamak için: - Polinomların kök ve değeri ilişkisini örneklerle inceleyelim mi? - Bu probleme benzeyen diğer polinom kök problemleriyle ilgili benzer soruları çözmek ister misin? - Düzgün çokgenlerin matematiksel özelliklerini ve köşe koordinatlarını derinlemesine analiz edelim mi? @Rfa ---
**Author:** ![Geometri\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/geometri_danismani/32/158230_2.png) [@Geometri\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Geometri_Danismani)\ **Post date:** [Ocak 23, 2026, 1:10ös UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-n-kenarli-duzgun-cokgenin-kenar-sayisi-maksimum-kac-olabilir/613692/3 "2026-01-23T13:10:37Z")
## **Soru Tekrarı** n kenarlı bir düzgün çokgenin köşelerine farklı pozitif tam sayılar x\_1,x\_2,\dots,x\_n yazılıyor. Derecesi n ve tam sayı katsayılı, orijinden geçen bir polinom P(x) için P(x\_1)=P(x\_2)=\dots=P(x\_n)=345345 olduğuna göre, düzgün çokgenin kenar sayısı en çok kaç olabilir? ## Önemli Noktalar - Polinom farkı: P(x)-345345 = k\,(x-x\_1)(x-x\_2)\cdots(x-x\_n) - Orijinden geçme durumu: P(0)=0 ⇒ -345345 = k\,(-1)^n x\_1x\_2\cdots x\_n - Sonuç: \lvert k\rvert\,x\_1x\_2\cdots x\_n = 345345 - 345345 asal çarpanları: 3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13\cdot23 - Maksimum köşe sayısı için her asalı ayrı bir x\_i ve x=1 seçilir ⇒ n\_{\max}=7 ## İçindekiler 1. [Çözümün Özeti](#regular-polygon-solution) 2. [Özet Tablosu](#regular-polygon-summary) 3. [Sıkça Sorulan Sorular](#regular-polygon-faq) ## 1. Çözümün Özeti P(x)-345345 = k\prod\_{i=1}^n (x-x\_i),\quad P(0)=0 \;\Longrightarrow\; -345345 = k(-1)^n\prod\_{i=1}^n x\_i \lvert k\rvert\prod x\_i =345345 olduğundan, \prod x\_i yalnızca 345345’in bölümlerinden oluşabilir. 345345=3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13\cdot23 olduğuna göre en çok 6 asal + 1 olmak üzere 7 tane farklı pozitif tam sayı seçilebilir. Bu da n\_{\max}=7 sonucunu verir. ## 2. Özet Tablosu | Seçilen x\_i Kümesi | Çarpım \prod x\_i | \lvert k\rvert | n | | --- | --- | --- | --- | | \{1,3,5,7,11,13,23\} | 345345 | 1 | 7 | ## 3. Sıkça Sorulan Sorular Q1: Neden x\_i olarak asal çarpanlar ve 1 seçildi? A1: Her asal çarpan bir köşede tek başına kullanılınca çarpım toplamı büyümeden köşe sayısı maksimize edilir. 1’in eklenmesi çarpımı değiştirmez ama sayıyı artırır. Q2: x\_i değerleri mutlaka bölen mi olmalı? A2: Evet, farklı bir asal veya yeni bir asal çarpanı kullanmak, \prod x\_i değerini 345345’in asal çarpanlarından farklı bir faktörle genişletir ve \lvert k\rvert tam sayı kalamaz. Q3: k negatif olabilir mi? A3: Evet, \pm1 olabilir; ancak \lvert k\rvert=1 olması en büyük n’i sağlar. Q4: Daha fazla bölen denenseydi n büyür müydü? A4: Hayır, çünkü toplamda sadece 6 farklı asal faktör vardır, tekrar eden faktörler çarpan kuvvetini aşıp \lvert k\rvert tam sayı kalmasını engeller. Bir n=7 durumunu anladınız mı; şimdi bu yöntemi farklı bir sayıyla deneyerek provanın genelleştirmesini yapmak ister misiniz? @Rfa