Soruların çözümleri:
Soru 1:
A = 2^3 \cdot 3^5 ve B = 2^5 \cdot 3^2 sayılarının en büyük ortak katı (Ekok) kaçtır?
Çözüm:
Öncelikle verilen sayıların asal çarpanlara ayrılmış hallerine bakalım:
- A = 2^3 \cdot 3^5
- B = 2^5 \cdot 3^2
Ekok için her asalın en büyük üstü alınır:
- 2^{\max(3,5)} = 2^5
- 3^{\max(5,2)} = 3^5
Dolayısıyla,
Şimdi değeri hesaplayalım:
- 2^5 = 32
- 3^5 = 243
Böylece,
Cevap şıklarda yok. Ancak soruda “en büyük ortak katı” deniyor ve “kaçtır?” diye soruluyor, şıkları kontrol edelim:
Şıklar:
A) 120
B) 240
C) 300
D) 430
Yukarıdaki yöntem doğru, fakat şıklarda böyle büyük bir sayı yok. Muhtemelen soruda sonuç farklı istenmiş olabilir veya başka bir şey sorulmuş olabilir.
Alternatif yorum: Eğer soruda “en küçük ortak katı” ise cevabımız 7776 olur.
Eğer “en büyük ortak bölen (EBOB)” sorulsaydı:
Bu da değil.
Not: Resim net olmadığı için sorunun tamamına dikkat etmek şart.
Soru 2:
A ve B birer doğal sayı. B ile 36’nın en büyük ortak böleni, 2 ile 4’ün en küçük ortak katıdır. Buna göre aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) 20 B) 24 C) 28 D) 32
Çözüm:
Verilen:
- “B ile 36’nın en büyük ortak böleni”, yani \text{EBOB}(B, 36) = 2 ile 4'ün en küçük ortak katı (EKOK)
Öncelikle, 2 ile 4'ün ekokunu bulalım:
- 2 ile 4'ün EKOK’u = 4
O hâlde,
36’nın asal çarpanları: 36 = 2^2 \cdot 3^2
B sayısı için EBOB(B,36) = 4 = 2^2
Yani B sayısı 2 ve 3 asal çarpanları içerse bile en büyük ortak bölen 4 olmalı.
Bu demektir ki, B sayısının 3 asal çarpanı yönünden en az 3^0 veya 3^1 olması gerekmez, çünkü 36’nın 3^2'si var.
Şıklar A şıkkından başlamadan, verilen olası değerlerin 36 ile olan EBOB’unu hesaplayalım:
| Şık | Sayı B | B'nin asal çarpanları | \text{EBOB}(B,36) hesaplama | Sonuç | Olabilir mi? |
|---|---|---|---|---|---|
| A) 20 | 20=2^2 \cdot 5 | 2^2, 5^1 | \min(2^2,2^2)=2^2=4, 5^1 ile 36 arasında farklı asal var, ama önemli olmayan | 4 | Olabilir |
| B) 24 | 24=2^3 \cdot 3 | 2^3, 3^1 | \min(2^3,2^2) = 2^2=4, \min(3^1,3^2) = 3^1=3, Böylece EBOB = 2^2 \times 3^1 = 12 | 12 | Olmaz (Çünkü EBOB=4 olması lazım) |
| C) 28 | 28=2^2 \cdot 7 | 2^2, 7^1 | \min(2^2,2^2)=4 | 4 | Olabilir |
| D) 32 | 32=2^5 | 2^5 | \min(2^5,2^2)=2^2=4 | 4 | Olabilir |
Sonuç: Doğru cevap B) 24 çünkü bu sayının 36 ile EBOB’u 4 değil, 12’dir bu yüzden olamaz.
Soru 3:
A = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^4
B = 2^3 \cdot 3^5 \cdot 7
Yukarıda üstlü biçimde ifade edilen A ve B sayılarının en küçük ortak katının (EKOK), en büyük ortak bölenine (EBOB) oranı kaçtır?
Çözüm:
- EBOB için ortak asal sayılar alınır, en küçük üsleri seçilir:
- Asal 2 için: \min(2,3) = 2
- Asal 3 için: \min(3,5) = 3
- Asal 5,7: sadece birinde var, dikkate alınmaz çünkü ortak değildir.
EBOB(A,B) = 2^2 \cdot 3^3 = 4 \cdot 27 = 108
- EKOK için tüm asal sayıların en büyük üsleri alınır:
- 2 için: \max(2,3) = 3
- 3 için: \max(3,5) = 5
- 5 için: 4
- 7 için: 1
EKOK(A,B) = 2^3 \cdot 3^5 \cdot 5^4 \cdot 7^1
- İstenen oran:
Hesaplayalım:
- 2^1 = 2
- 3^2 = 9
- 5^4 = 5^2 \cdot 5^2 = 25 \cdot 25 = 625
- 7 = 7
2 \times 9 = 18
18 \times 625 = 11250
11250 \times 7 = 78750
Şıklarda bu değer yok. Soruda sadece oran sayısı istenmiş olabilir ve şıklarda da küçük sayılar var. Böyle durumda şıklardaki sayıların faktörlerine dikkat edelim:
Şıklar:
A) 7
B) 21
C) 42
D) 210
Bu sayılara bölelim:
Oranımız: 2 \cdot 3^2 \cdot 5^4 \cdot 7 = 2 \times 9 \times 625 \times 7
Büyük bir sayı, cevap şıklardan farklı.
Sorunun asıl amacı doğrudan üslerin farklarını mı soruyor? Oran = 2^{1} \cdot 3^{2} \cdot 5^{4} \cdot 7 yazabiliriz.
Bu ifadenin içinde çarpan olarak 7 \times 3 \times 7 var mı 
Bu soruda şıkların en büyük ortak bölenler veya EKOK ile ilgili olduğu düşünülebilir.
Burada başka bir yaklaşım: Bu oran, asal çarpanlar olarak
çok büyük. Belki yukarıdaki işlem yanlış okunmuş olabilir.
Soru 4:
10 ile doğal sayıların birbirine oranı 3’tür. Bu doğal sayıların EKOK'u 48 olduğuna göre, EBOB'u kaçtır?
Çözüm:
Verilen:
-
Sayıların oranı = \frac{10}{x} = 3 \implies x = \frac{10}{3} değil, doğal sayı olmalı.
-
Veya daha muhtemel soru: İki doğal sayı aralarında 3 katı ve EKOK’ları 48.
Ancak soru tam net değil.
Alternatif olarak aşağıdaki gibi anlayalım:
İki doğal sayının birbirine oranı 3. Yani sayılar 3k ve k.
EKOK(3k, k) = 48
En küçük ortak kat hesaplanırken:
Ama EBOB(3k, k) = k
(Bir sayının kendisine ve katına olan EBOB’u k’dır.)
O halde,
Buradan:
Dolayısıyla sayılar:
- 3k = 48
- k = 16
EBOB = k = 16
Cevap: 16
Soru 57:
Ortak katlarının en küçüğü 120 olan iki doğal sayının toplamı en az kaçtır?
Çözüm:
- Ortak katları en küçük sayı (EKOK): 120
İki sayının EKOK’u 120 ise, bu iki sayı 120’nin bölenleridir.
İkisini seçerken toplamı en küçük yapmak için iki sayıyı olabildiğince yakın seçmek gerekir.
120’nin bölenleri:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120
İki sayı seçelim a, b olsun:
- EKOK(a,b) = 120
- a, b 120’nın bölenleri olacak.
Örnek olarak, a ve b sayılarının EBOB'larını hesaplayalım. Çünkü:
Toplamı küçük olması için a ve b yakın olmalı.
Deneme yöntemi yapalım:
- 10 ve 12:
EKOK(10,12) = 60 (çok küçük) → değil - 15 ve 8:
EKOK(15,8) = 120
Toplam = 23 - 20 ve 6:
EKOK(20,6) = 60 → değil - 24 ve 5:
EKOK(24,5) = 120
Toplam = 29 - 30 ve 4:
EKOK(30,4) = 60 → değil - 40 ve 3:
EKOK(40,3) = 120
Toplam = 43 (daha büyük) - 60 ve 2:
EKOK(60,2) = 60 → değil - 120 ve 1:
EKOK(120,1) = 120
Toplam = 121 (çok büyük)
En küçük toplam ise 15 + 8 = 23
Cevap: 23
Soru 58:
14 ile x tam sayılarının en küçük ortak katı 126 olduğuna göre x'in alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözüm:
- EKOK(14, x) = 126
- 14’nin asal çarpanları: 14 = 2 \times 7
- 126’nın asal çarpanları: 126 = 2 \times 3^2 \times 7
EKOK, iki sayının asal çarpanlarının en büyük üslerinin çarpımıdır.
14’nin çarpanlarını ve x'in asal çarpanlarını göz önünde tutarak, EKOK(14, x) = 126 olmalı.
- EKOK’ta 3 asal faktörünün 3^2 bulunması için, x en az 3^2 = 9 içermelidir.
- x başka asal faktörler içerse EKOK daha büyük olur, bu yüzden sınırlı olmalı.
14’nin (2 ve 7) kuvvetleri EKOK içinde zaten var: 2^1 ve 7^1
Öyleyse,
- x'in 2 veya 7 kuvvetleri en az ya EKOK’taki kadar ya da daha az olabilir.
- Fakat EKOK, en büyük üstleri aldığı için 14’te olmayan 3^2 ancak x'de bulunur.
Öyleyse x'in formu:
Burada:
- a \le 1 (EKOK’ta 2^1 var, x'de daha fazla olsa bile EKOK’ta o üst alınır)
- b = 2 (Çünkü EKOK’ta 3^2 var)
- c \le 1
Şimdi, EKOK için asal üstler:
- 2^{\max(a,1)} = 2^1
- 3^{\max(b,0)} = 3^2
- 7^{\max(c,1)} = 7^1
EKOK=126 ise
- a en fazla 1 (ekok 2^1)
- b=2
- c en fazla 1 (ekok 7^1)
0 \le a \le 1, b=2, 0 \le c \le 1
Şimdi x'in alabileceği değerler:
-
a=0, c=0
$$x=2^0 \cdot 3^2 \cdot 7^0 = 9$$ -
a=0, c=1
$$x=2^0 \cdot 3^2 \cdot 7^1 = 9 \times 7 = 63$$ -
a=1, c=0
$$x=2^1 \cdot 3^2 \cdot 7^0 = 2 \times 9 = 18$$ -
a=1, c=1
$$x=2^1 \cdot 3^2 \cdot 7^1 = 2 \times 9 \times 7 = 126$$
Toplam değerleri:
Cevap: 216
Özet Tablosu
| Soru No | Konu | Çözüm Özeti | Cevap |
|---|---|---|---|
| 1 | EKOK | EKOK = 2^5 \cdot 3^5 = 7776 | Yukarıdaki şıklarda yok |
| 2 | EBOB ve EKOK ilişkisi | EBOB(B,36) = 4 olmalı; 24 olamaz | 24 (B şıkkı) |
| 3 | EKOK / EBOB oranı | 2^{1} \cdot 3^{2} \cdot 5^{4} \cdot 7 (çok büyük) | Şıklarda yok |
| 4 | EKOK ve sayıların oranı | Sayılar: 48 ve 16 | 16 |
| 57 | EKOK 120 olan iki sayının min toplamı | En uygun 15 ve 8 toplamı = 23 | 23 |
| 58 | EKOK 126 olan 14 ve x sayıları | x değerleri 9,18,63,126 toplamı = 216 | 216 |
Önemli Notlar:
- Matematikte EKOK ve EBOB problemlerinde asal çarpanların üslerini doğru karşılaştırmak başarı getirir.
- İki doğal sayının EKOK’u için her asal sayının en büyük üsleri alınır, EBOB için en küçük üsler.
- İki sayı aralarında tam katlar ya da ortak oran verildiyse dikkatle ayrıştırılmalı.
Eğer diğer soruların veya başka detayların çözümünü istersen, belirtmende fayda var @Irem_Kucuksayacigil