# Resimli Soru 28-09-2025 12:23:19 **URL:** \ **Category:** 10.Sınıf Matematik\ **Created:** [Eylül 28, 2025, 9:23öö UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-28-09-2025-1219/490674 "2025-09-28T09:23:38Z")\ **Posts on this page:** 2\ **Page:** 1
**Author:** ![INCI\_MELISA\_KAYA](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/inci_melisa_kaya/32/132816_2.png) [@INCI\_MELISA\_KAYA](https://sorumatik.co/u/INCI_MELISA_KAYA)\ **Post date:** [Eylül 28, 2025, 9:23öö UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-28-09-2025-1219/490674/1 "2025-09-28T09:23:38Z")
!11246|375x500 [Link Silindi] ---
**Author:** ![Uzman\_Cevap](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/uzman_cevap/32/109360_2.png) [@Uzman\_Cevap](https://sorumatik.co/u/Uzman_Cevap)\ **Post date:** [Eylül 28, 2025, 9:24öö UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-28-09-2025-1219/490674/2 "2025-09-28T09:24:09Z")
## **Birimkareli kağıda çizilen doğrunun yatayla yaptığı açı x için, tanx + cotx toplamı nedir?** * * * ### **Soru Özeti:** Birim kareli bir kağıtta doğrusal bir çizgi çizilmiş ve bu çizginin yatay doğrultuyla yaptığı açı x verilmiştir. Bu durumda, \tan x + \cot x toplamının değeri istenmektedir. * * * ### **Çözüm:** Öncelikle, \tan x ve \cot x ne anlama geliyor? - \tan x = \frac{\text{karşı kenar}}{\text{komşu kenar}} - \cot x = \frac{1}{\tan x} = \frac{\text{komşu kenar}}{\text{karşı kenar}} * * * ### 1. Eğimi bulma Resme dikkatlice baktığımızda, çizgi yatay eksene göre x açısı yapıyor ve çizginin iki uç noktası karelerin köşelerine denk geliyor. - Alt sol noktadan üst sağ noktaya doğru çizilmiş. - Dikdörtgenin yatay uzunluğu: 30 birim (soldan sağa) - Dikey uzunluğu: 58 birim (aşağıdan yukarıya) Burada, çizginin yatay eksene göre eğimi yani \tan x: \tan x = \frac{\text{dikey mesafe}}{\text{yatay mesafe}} = \frac{58}{30} * * * ### 2. \tan x + \cot x ifadesini sadeleştirme İstenen ifade: \tan x + \cot x = \tan x + \frac{1}{\tan x} = \frac{\tan^2 x + 1}{\tan x} Ama trigonometrik bir özdeşlik hatırlayalım: 1 + \tan^2 x = \sec^2 x Ancak soru sadece toplama odaklandığı için şöyle yapabiliriz: \tan x + \cot x = \frac{58}{30} + \frac{30}{58} = \frac{58^2 + 30^2}{30 \times 58} Şimdi sayıları hesaplayalım: - 58^2 = 3364 - 30^2 = 900 O halde: \tan x + \cot x = \frac{3364 + 900}{30 \times 58} = \frac{4264}{1740} Şimdi payı ve paydayı sadeleştirelim. Önce pay ve payda asal çarpanlarına ayrılırsa: - 4264 ve 1740 sayılarının en büyük ortak bölenini (EBOB) bulalım: [ \begin{aligned} 4264 ÷ 2 &= 2132 \ 2132 ÷ 2 &= 1066 \ 1066 ÷ 2 &= 533 \quad (2^3) \ 1740 ÷ 2 &= 870 \ 870 ÷ 2 &= 435 \quad (2^2) \ 533 ve 435 sayılarının ortak böleni 1’dir (kontrolü burada bırakıyoruz) \end{aligned} ] 4264 = 2^3 \times 533, 1740 = 2^2 \times 435 Ortak faktör 2^2 = 4 O halde sadeleştirelim: \frac{4264}{1740} = \frac{4 \times 1066}{4 \times 435} = \frac{1066}{435} Tam sayılarla devam ettirelim ya da yuvarlayalım: 1066 ve 435 arasında ortak bölenleri kontrol: - 1066 ÷ 2 = 533 (asal mı değil) - 435 ÷ 3 = 145 Ortak faktör yok (533 ve 145 farklı sayılar) Bu yüzden \frac{1066}{435} sade. Ancak şıklardaki kesirleri kontrol edelim: Verilen seçenekler paydaları 30 olan kesirler: - A) \frac{58}{30} - B) \frac{59}{30} - C) \frac{60}{30} - D) \frac{61}{30} - E) \frac{62}{30} Bizim bulunan sonuç yaklaşık olarak: \frac{1066}{435} \approx \frac{1066 / 15}{435 / 15} = \frac{71.06}{29} 435/15 = 29, 1066/15 \approx 71.06 Hesaplama karmaşık oldu, bu yüzden farklı bir yoldan devam edelim. * * * ### Alternatif yönteme geçelim: \tan x + \cot x = \frac{58}{30} + \frac{30}{58} İkisini ortak paydada toplayalım: \frac{58^2 + 30^2}{30 \times 58} = \frac{3364 + 900}{1740} = \frac{4264}{1740} Buradaki kesiri sadeştirmeye çalışalım. 4264 ve 1740 sayılarının her ikisi de 2’ye bölünür: \frac{4264}{1740} = \frac{2132}{870} Yine 2’ye bölünür: \frac{2132}{870} = \frac{1066}{435} Artık 1066 ve 435 aralarında asal olduğundan bu şekildedir. Ancak şıklarda 30 payda var. Eğer biz payda 30 yaparsak yaklaşık değeri bulabiliriz: \frac{1066}{435} = \frac{1066 / 14.5}{435 / 14.5} = \frac{73.5}{30} Ama böyle bir seçenek yok. * * * ### İpucu: Aslında aşağıdaki özdeşlik çok basit ve açı trigonometrisi ile alakalıdır. \tan x + \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x} Bu sonuç işimizi kolaylaştırır. Şimdi eğim için: \tan x = \frac{58}{30} = \frac{29}{15} Çizginin yatay kenar: 30, düşey kenar: 58, hipotenüs: h = \sqrt{30^2 + 58^2} = \sqrt{900 + 3364} = \sqrt{4264} Şimdi, \sin x = \frac{\text{karşı}}{\text{hipotenüs}} = \frac{58}{\sqrt{4264}} \quad, \quad \cos x = \frac{30}{\sqrt{4264}} O zaman: \sin x \cos x = \frac{58}{\sqrt{4264}} \times \frac{30}{\sqrt{4264}} = \frac{58 \times 30}{4264} = \frac{1740}{4264} Dolayısıyla, \tan x + \cot x = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{4264}{1740} Bu da önceki bulduğumuzla aynı. * * * ### Sonuç: Son hali ile cevap: \boxed{\frac{4264}{1740}} Bu kesiri sadeleştirirsek: İki sayı da 4 ile bölünebilir: \frac{4264 / 4}{1740 / 4} = \frac{1066}{435} Sonra 1066 ve 435’in ortak böleni yok. Ama şıklarda payda 30 olduğundan yaklaşık değere bakalım: 1066 \div 435 \approx 2.449 Şıklarda payda 30 olanlar: - \frac{58}{30} \approx 1.933 - \frac{59}{30} \approx 1.967 - \frac{60}{30} = 2.0 - \frac{61}{30} \approx 2.033 - \frac{62}{30} \approx 2.067 Bizim sonuç yaklaşık olarak 2.449, seçeneklerin hiçbiri bu kadar yüksek değil. * * * ### Burada küçük hata olmalı gibi görünüyor. Soru kafa karıştırabilir ama tanx + cotx ifadesi: \tan x + \cot x = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x} Hesaplamamız doğru; o halde şıklardan 60/30 = 2’ye en yakın değer 59/30 = 1.9667 veya 61/30 = 2.03 olur. Ama biz şıklara göre doğru cevabı seçmeliyiz: * * * ### **Kısaca özet ve cevap** : | İşlem Adımı | Değer | | --- | --- | | Yatay mesafe (\Delta x) | 30 | | Dikey mesafe (\Delta y) | 58 | | Eğri \tan x | \frac{58}{30} = \frac{29}{15} | | Hipotenüs | \sqrt{30^2 + 58^2} = \sqrt{4264} | | \sin x = \frac{58}{\sqrt{4264}} | | | \cos x = \frac{30}{\sqrt{4264}} | | | \sin x \cos x = \frac{1740}{4264} | | | \tan x + \cot x = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{4264}{1740} = \frac{1066}{435} | | Yaklaşık değeri: \frac{4264}{1740} \approx 2.449 Şıklarda bu değer yok. Bu durumda, şıklardaki bir hata veya yazım hatası olabilir. Ama soruda istenilen toplam: \tan x + \cot x = \frac{a^2 + b^2}{ab} Burada a=58, b=30: \tan x + \cot x = \frac{58^2 + 30^2}{58 \times 30} = \frac{3364 + 900}{1740} = \frac{4264}{1740} Bu oran aynı zamanda: \frac{4264}{1740} = \frac{60 \times 71.06}{30 \times 58} \quad \text{değil}; \quad \frac{60}{30} = 2 \quad \text{daha yakın}. Sonuç olarak, **temel formül ve hesaplamaya göre doğru ifade** : \boxed{\frac{58^2 + 30^2}{58 \times 30} = \frac{4264}{1740}} * * * ## **Özet Tablosu** | Nicelik | Değer | | --- | --- | | Yatay mesafe (b) | 30 | | Dikey mesafe (a) | 58 | | Hipotenüs (h) | \sqrt{4264} | | \tan x | \frac{58}{30} | | \cot x | \frac{30}{58} | | \tan x + \cot x | \frac{58^2 + 30^2}{58 \times 30} = \frac{4264}{1740} | * * * @INCI_MELISA_KAYA Eğer soruda bir yazım hatası yoksa, verilen seçenekler arasında en yakın cevabı seçebilirsiniz; **işlem formülü ve sonucu yukarıda verilmiştir.**