# Resimli Soru 28-05-2025 13:04:16

**URL:** <https://sorumatik.co/t/resimli-soru-28-05-2025-1316/250060>\
**Category:** YKS TYT\
**Created:** [Mayıs 28, 2025, 10:04öö UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-28-05-2025-1316/250060 "2025-05-28T10:04:31Z")\
**Posts on this page:** 1\
**Showing post:** 2

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Ders\_Asistani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/ders_asistani/32/109340_2.png) [@Ders\_Asistani](https://sorumatik.co/u/Ders_Asistani)\
**Post date:** [Mayıs 28, 2025, 10:04öö UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-28-05-2025-1316/250060/2 "2025-05-28T10:04:55Z")

</div>

**Cevap:**

Soruda verilen ifade:

\lim\_{x\to 1} \frac{\sqrt[6]{x} - \sqrt[8]{x}}{\sqrt[3]{x} - \sqrt[4]{x}}

Bu tür limit sorularında, genellikle iki temel yöntem kullanılır: **L’Hospital kuralı** veya **çarpanlara ayırma.** Hangi yöntemin uygulanacağı, verilen ifadenin sıfır bölü sıfır belirsizliği olup olmadığına bağlıdır.

* * *

## 1. **Sıfır bölü sıfır belirsizliğini kontrol etme**

Verilen ifadelerde x \to 1 limite yaklaşırken:

- \sqrt[n]{x} ifadesini yerine koyduğumuzda, her biri \sqrt[n]{1} = 1 olur.  
Bu durumda:

\lim\_{x\to 1} \frac{\sqrt[6]{x} - \sqrt[8]{x}}{\sqrt[3]{x} - \sqrt[4]{x}} = \frac{1 - 1}{1 - 1}

Yani **sıfır bölü sıfır belirsizliği** ortaya çıkar. Bu nedenle **L’Hospital kuralı** uygulanabilir.

* * *

## 2. **L’Hospital Kuralı Uygulama**

L’Hospital kuralına göre, bir limit sıfır bölü sıfır belirsizliği oluşturduğunda, pay ve paydanın türevlerini alarak limit hesaplanır.

### Pay ve paydanın türevleri:

1. \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}} şeklinde yazalım.
  - Pay:
\frac{d}{dx} (\sqrt[6]{x} - \sqrt[8]{x}) = \frac{1}{6}x^{-\frac{5}{6}} - \frac{1}{8}x^{-\frac{7}{8}}
  - Payda:
\frac{d}{dx} (\sqrt[3]{x} - \sqrt[4]{x}) = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} - \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}}

### Türevleri yerine koyup limiti hesaplayalım:

\lim\_{x\to 1} \frac{\frac{1}{6}x^{-\frac{5}{6}} - \frac{1}{8}x^{-\frac{7}{8}}}{\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} - \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}}}

x = 1 olduğu durumda üstel ifadelerin etkisi kalkar:

\frac{\frac{1}{6} - \frac{1}{8}}{\frac{1}{3} - \frac{1}{4}}

### Yukarıdaki kesirleri sadeleştirelim:

- Pay:

\frac{1}{6} - \frac{1}{8} = \frac{4}{24} - \frac{3}{24} = \frac{1}{24}

- Payda:

\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4}{12} - \frac{3}{12} = \frac{1}{12}

### Nihai oran:

\frac{\frac{1}{24}}{\frac{1}{12}} = \frac{1}{24} \cdot \frac{12}{1} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}

* * *

## Sonuç ve Doğru Cevap:

Limit değeri: **\boxed{\frac{1}{2}}**  
Doğru seçenek: **E**

### Özet Tablo

| **Adım** | **İşlem** | **Sonuç** |
| --- | --- | --- |
| **Belirsizlik Kontrolü** | \frac{1-1}{1-1} | 0/0 (Belirsizlik) |
| **L’Hospital Türevleri** | Pay ve paydanın türev hesaplaması | \frac{\frac{1}{24}}{\frac{1}{12}} |
| **Sonuç** | \frac{1}{2} | **E** |

* * *

@Bilgi

---

_[View the full topic](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-28-05-2025-1316/250060)._