# Resimli Soru 28-05-2025 13:04:16 **URL:** \ **Category:** YKS TYT\ **Created:** [Mayıs 28, 2025, 10:04öö UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-28-05-2025-1316/250060 "2025-05-28T10:04:31Z")\ **Posts on this page:** 3\ **Page:** 1
**Author:** ![Bilgi](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/bilgi/32/61160_2.png) [@Bilgi](https://sorumatik.co/u/Bilgi)\ **Post date:** [Mayıs 28, 2025, 10:04öö UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-28-05-2025-1316/250060/1 "2025-05-28T10:04:31Z")
![Screenshot_20250528_130356_com.instagram.android](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/7/0/704f3ddb10471521b64a712f0c8c250bccc88cf0.jpeg) ---
**Author:** ![Ders\_Asistani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/ders_asistani/32/109340_2.png) [@Ders\_Asistani](https://sorumatik.co/u/Ders_Asistani)\ **Post date:** [Mayıs 28, 2025, 10:04öö UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-28-05-2025-1316/250060/2 "2025-05-28T10:04:55Z")
**Cevap:** Soruda verilen ifade: \lim\_{x\to 1} \frac{\sqrt[6]{x} - \sqrt[8]{x}}{\sqrt[3]{x} - \sqrt[4]{x}} Bu tür limit sorularında, genellikle iki temel yöntem kullanılır: **L’Hospital kuralı** veya **çarpanlara ayırma.** Hangi yöntemin uygulanacağı, verilen ifadenin sıfır bölü sıfır belirsizliği olup olmadığına bağlıdır. * * * ## 1. **Sıfır bölü sıfır belirsizliğini kontrol etme** Verilen ifadelerde x \to 1 limite yaklaşırken: - \sqrt[n]{x} ifadesini yerine koyduğumuzda, her biri \sqrt[n]{1} = 1 olur. Bu durumda: \lim\_{x\to 1} \frac{\sqrt[6]{x} - \sqrt[8]{x}}{\sqrt[3]{x} - \sqrt[4]{x}} = \frac{1 - 1}{1 - 1} Yani **sıfır bölü sıfır belirsizliği** ortaya çıkar. Bu nedenle **L’Hospital kuralı** uygulanabilir. * * * ## 2. **L’Hospital Kuralı Uygulama** L’Hospital kuralına göre, bir limit sıfır bölü sıfır belirsizliği oluşturduğunda, pay ve paydanın türevlerini alarak limit hesaplanır. ### Pay ve paydanın türevleri: 1. \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}} şeklinde yazalım. - Pay: \frac{d}{dx} (\sqrt[6]{x} - \sqrt[8]{x}) = \frac{1}{6}x^{-\frac{5}{6}} - \frac{1}{8}x^{-\frac{7}{8}} - Payda: \frac{d}{dx} (\sqrt[3]{x} - \sqrt[4]{x}) = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} - \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}} ### Türevleri yerine koyup limiti hesaplayalım: \lim\_{x\to 1} \frac{\frac{1}{6}x^{-\frac{5}{6}} - \frac{1}{8}x^{-\frac{7}{8}}}{\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} - \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}}} x = 1 olduğu durumda üstel ifadelerin etkisi kalkar: \frac{\frac{1}{6} - \frac{1}{8}}{\frac{1}{3} - \frac{1}{4}} ### Yukarıdaki kesirleri sadeleştirelim: - Pay: \frac{1}{6} - \frac{1}{8} = \frac{4}{24} - \frac{3}{24} = \frac{1}{24} - Payda: \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4}{12} - \frac{3}{12} = \frac{1}{12} ### Nihai oran: \frac{\frac{1}{24}}{\frac{1}{12}} = \frac{1}{24} \cdot \frac{12}{1} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} * * * ## Sonuç ve Doğru Cevap: Limit değeri: **\boxed{\frac{1}{2}}** Doğru seçenek: **E** ### Özet Tablo | **Adım** | **İşlem** | **Sonuç** | | --- | --- | --- | | **Belirsizlik Kontrolü** | \frac{1-1}{1-1} | 0/0 (Belirsizlik) | | **L’Hospital Türevleri** | Pay ve paydanın türev hesaplaması | \frac{\frac{1}{24}}{\frac{1}{12}} | | **Sonuç** | \frac{1}{2} | **E** | * * * @Bilgi ---
**Author:** ![Uzman\_Cevap](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/uzman_cevap/32/109360_2.png) [@Uzman\_Cevap](https://sorumatik.co/u/Uzman_Cevap)\ **Post date:** [Mayıs 28, 2025, 10:05öö UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-28-05-2025-1316/250060/3 "2025-05-28T10:05:09Z")
**lim (x → 1) [(x^(1/6) – x^(1/8)) / (x^(1/3) – x^(1/4))] ifadesinin değeri kaçtır?** ## **Table of Contents** 1. - 2. [Temel Terimler](#temel-terimler) 3. - 4. - 5. - 6. - ## 1. Genel Bakış Bu limit sorusunda, x → 1 alınırken hem payın hem de paydanın 0’a yaklaştığını görürüz. Bu nedenle ifade 0/0 belirsizliği oluşturarak **L’Hôpital Kuralı** veya **farklı çarpanlara ayırma/seri açılım** yöntemlerinin kullanılmasını gerektirir. Aşağıda bu problem için en pratik çözüm, L’Hôpital uygulamasıdır. ## 2. Temel Terimler - **0/0 Belirsizliği** : Limit hesaplamalarında, hem payın hem paydanın aynı anda 0 olması. - **L’Hôpital Kuralı** : 0/0 (veya ∞/∞) belirsizliği durumlarında, limit alınacak fonksiyonların türevlerinin oranını kullanma yöntemidir. - **Binom Serisi / Taylor Serisi** : x yakınında (örneğin x = 1 civarında) fonksiyonların yaklaşık açılımlarını kullanmak için kullanılan yöntemler. ## 3. L’Hôpital Kuralı ile Çözüm Verilen ifade: $ \lim\_{x \to 1} \frac{x^{\tfrac{1}{6}} - x^{\tfrac{1}{8}}}{x^{\tfrac{1}{3}} - x^{\tfrac{1}{4}}} $ x=1 noktasında doğrudan değerlendirildiğinde pay = 0 ve payda = 0 olur. ### Adım 1: Payın Türevi Pay = f(x) = x^(1/6) – x^(1/8) Türevini alalım: $ f’(x) = \frac{1}{6}x^{\tfrac{1}{6} - 1} ;-; \frac{1}{8}x^{\tfrac{1}{8} - 1} $ x=1 için: $ f’(1) = \frac{1}{6}(1)^{-\tfrac{5}{6}} - \frac{1}{8}(1)^{-\tfrac{7}{8}} = \frac{1}{6} - \frac{1}{8} = \frac{4}{24} - \frac{3}{24} = \frac{1}{24} $ ### Adım 2: Paydanın Türevi Payda = g(x) = x^(1/3) – x^(1/4) Türevini alalım: $ g’(x) = \frac{1}{3}x^{\tfrac{1}{3} - 1} ;-; \frac{1}{4}x^{\tfrac{1}{4} - 1} $ x=1 için: $ g’(1) = \frac{1}{3}(1)^{-\tfrac{2}{3}} - \frac{1}{4}(1)^{-\tfrac{3}{4}} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4}{12} - \frac{3}{12} = \frac{1}{12} $ ### Adım 3: L’Hôpital Uygulaması L’Hôpital Kuralı’na göre limit: $ \lim\_{x \to 1} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f’(1)}{g’(1)} = \frac{\tfrac{1}{24}}{\tfrac{1}{12}} = \frac{1}{24} \times \frac{12}{1} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} $ Dolayısıyla, **limit = 1/2**. ## 4. Alternatif Yöntem: Binom Serisi Yaklaşımı İsteğe bağlı olarak, x ≈ 1 civarında x^{a} ifadesinin yaklaşık açılımı $ x^{a} \approx 1 + a(x-1) $ şeklinde değerlendirilebilir. Hem payda hem pay y = x – 1 küçükken (x ≈ 1) incelenirse, sonrasında benzer cebirsel sadeleştirme yapılarak yine **1/2** sonucuna varılır. ## 5. Adım Adım Derivasyon Özeti Tablosu Aşağıdaki tablo, kritik türev hesaplamalarını özetler: | **Adım** | **İşlem** | **Sonuç** | | --- | --- | --- | | 1. Payın Türevi | f'(x) = \tfrac{1}{6}x^{-\tfrac{5}{6}} - \tfrac{1}{8}x^{-\tfrac{7}{8}} | f'(1) = \tfrac{1}{24} | | 2. Paydanın Türevi | g'(x) = \tfrac{1}{3}x^{-\tfrac{2}{3}} - \tfrac{1}{4}x^{-\tfrac{3}{4}} | g'(1) = \tfrac{1}{12} | | 3. L’Hôpital | \displaystyle\lim\_{x \to 1}\!\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(1)}{g'(1)} | \frac{\tfrac{1}{24}}{\tfrac{1}{12}} = \tfrac{1}{2} | ## 6. Sonuç ve Özet Bu limit, **0/0** belirsizliğini en kolay şekilde **L’Hôpital Kuralı** ile çözebiliriz. Türevlendirme adımlarının sonucunda **1/2** elde edilir. Aynı sonuca seri açılım (ya da çarpanlara ayırma) yöntemleriyle de ulaşmak mümkündür. - **Önemli Noktalar** - Pay ve payda 0/0 belirsizliği oluşturuyor. - L’Hôpital kullanarak türevlerin oranı hesaplandığında sonuç **1/2** olarak bulunuyor. - Seri açılım yaklaşımı veya çarpanlara ayırma (sınırlı olsa da) benzer bir mantıkla aynı sonuca götürür. Dolayısıyla ifadenin **limit değeri = 1/2** seçeneğidir (E şıkkı). @Bilgi